圆柱型砂轮对单调凸曲线外轮廓加工的数学建模研究.pdf

2 0 1 1 年 1 2月 第 3 9卷 第 2 3期 机床与液压 MACHI NE TOOL HYDRAUL I CS De c 2 01 1 Vo 1 3 9 No 2 3 D OI 1 0 3 9 6 9 j is s n 1 0 0 1 3 8 8 1 2 0 1 1 2 3 0 0 5 圆柱型砂轮对单调凸曲线外轮廓加工的数学建模研究 何慧凡 赵彪胆 刘勇 1 河南农业大学机 电工程学院 河南郑州 4 5 0 0 0 2 2 中国石油集团东方地球物理勘探有限责任公 司 河南开封 4 7 5 0 0 2 3 南京航空航天大学经济与管理学院 江苏南京 2 1 1 1 0 6 摘要 在给出加工零件外型的基础上 采用直线逼近与坐标变换的方法对工件外轮廓曲线进行逼近 求得加工时间与 加工误差 采用数据采样法进行两坐标联动直线插补 在插补算法的基础上给出步进电机的控制次序 为了提高加工精度 和加工效率 根据刀具 砂轮 固定的具体条件 通过调整工件的位置和姿态实现对工件外形的加工 并对方案进行了误 差分析及合理性分析 关键词 数控插补 直线逼近 坐标变换 中图分类号 T B 3 9 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 1 3 8 8 1 2 0 1 1 2 3 0 1 8 5 The St ud y o n t h e M a t h e ma t ics M o de ling o f t h e Ou t e r Pr o fi le Pr o ce s s ing o n M o no t o no u s Co nv e x Cur v e wit h Co lumn Gr in din g W he e l HE Hui f a n Z HAO Bia o d a n LI U Yo n g 1 C o lle g e o f M e ch a n ica l E le ct rica l E n g in e e rin g H e n a n A g r icu lt u r a l U n i v e r s i t y Z h e n g z h o u H e n a n 45 0 0 0 2 Ch in a 2 BGP I NC Ch in a Na t io n a l Pe t r o le u m Co r p o r a t io n Ka if e ng He n a n 47 5 0 0 2 Ch in a 3 C o ll e g e o f E co n o m ics a n d Ma n a g e m e n t N a n j in g U n i v e r s it y o f A e r o n a u t ics a n d A s t r o n a u t i cs N a n j i n g J ia n g s u 2 1 l 1 0 6 C h in a Ab s t r a ct On t h e b a s is o f t h e g iv e n p r o fi le o f t h e p r o ce s s p a r t t h e p r o fi le cu r v e s w e r e a p p r o a ch e d b y u s in g lin e a r a p p rox ima t io n a n d co o r d in a t e t r a n s f o r ma t io n me t h o d S O t h a t t h e p roce s s t ime a n d t h e p r o ce s s e r r o r we r e o b t a in e d B y a d o p t in g t h e s t r a ig h t lin e in t e r p o la t i o n o f t w o co o r d i n a t e li n k a g e w it h d a t a s a mp li n g me t h o d t h e co n t r o l s e q u e n ce o f t h e s t e p mo t o r wa s g i v e n o n t h e u n d a t i o n o f i n t e r p o l a t i o n a l g o r i t h m I n o r d e r t o i m p r o v e t h e p r o ce s s in g a ccu r a cy a n d e ffi ci e n cy t h e p r o fil in g p r o ce s s W a S r e a li z e d b y a d j u s t in g t h e w o r k p i e ce S p o s it io n a n d g e s t u r e a cco r d in g t o t h e co n cr e t e t e rm o f t h e cu t t in g t o o l g r in d in g w h e e 1 fix e d T h e e rr o r a n a l y s i s a n d t h e r a t io n a l a n a ly s is w e r e ma d e Ke y wo r d s N u me ri cal co n t r o l in t e r p o la t io n L in e a r a p p r o x ima t io n C o o r d in a t e t r a n s f o rm a t io n 数控机床的核心问题之一就是如何控制刀具或工 件的运动 插补就是数据密化的过程 在对数控系统 输入有限的坐标点的情况下 计算机根据曲线的特征 直线或圆弧等 运用一定 的算法 自动地在有限 坐标点之间生成一系列的坐标数据 即所谓的 数 据密化 从而自动地对各坐标轴进行脉冲分配 完 成整个线段的轨迹运行 以满足加工精度要求 数控 机床加工 的零件轮廓一般 由直线 圆弧组成 也有一 些非圆曲线轮廓例如高次曲线 列表曲线 列表曲面 等 但都可以用直线或圆弧取逼近 文 中采用 圆柱型砂轮加工外 表面母线 为 Y 一 6 0 0一 0 4 5 6 0 0一 0 6 0 0 1 8 1 0 的某旋转体工件 给出一个加工方案 并对方案作了 误差分析及合理性分析 1 模型假设 不考 虑各组 步进 电机 变速器 功放伺服机构和 精密丝杠 一 螺母副的各种误差 认为控制脉冲宽度的 时间尺度不大于毫秒级 三工作台的可移动范围足够 大 能保证被加工工件 的加工 工件在预加工后留给 磨削的加工余量可确保一次磨削成形 砂轮尺寸可任 意选择 砂轮与工件开始接触磨削前 工作台应有一 小段预运动 以便与后续的磨加工运动平稳衔接 称 这一小段运动为预动 文中的加工方案从预动后开 始 收稿 日期 2 0 1 0 1 1 1 6 基金项目 国家 自 然科学基金 9 0 9 2 4 0 2 2 人文社会科学规划基金 0 8 J A 6 3 0 0 3 9 作者简介 何慧凡 1 9 8 4 一 女 硕士研究生 主要研究方向为信息技术在农业领域的应用 建模系统 E ma i l h h f b e s t 1 6 3 co m 通信作者 赵彪胆 E m a i l z b d 1 9 8 2 1 9 1 6 3 co m 第 2 3期 何慧凡 等 圆柱型砂轮对单调凸曲线外轮廓加工的数学建模研究 1 9 1 1 符号说 明 为 中台转轴到工作台的控制丝杠 一螺母副中 心线的距 离 L为基座 坐标系到砂 轮中轴线 的距 离 为砂轮直径 0 为上 台的转动角度 为上 台的角速度 h为直线逼近步距 为沿 方向的 进 给量 n为 步 距 倍 数 6为 脉 冲 当 量 e 为 加 工 误 差 1 2 绘制所要 求的曲线 为了清晰知道所加工曲线的轮廓与外形 绘制轮 廓曲线与工件外形如图 l 2 示 O l00 200 300 4 00 500 600 x mm 图 1 所要求加工的工 图2 所要求加工 件轮廓曲线外形 的工件外形 由图 1 与 2可知 所要磨削加工的工件外轮廓是 凸的单调曲线 可以用直线段逼近非圆曲线 2直线逼近法 由于数控机床中有直线和圆弧插补程序 一般来 说 通过两个直线坐标的联动来插补直线和圆弧非常 简单 有多种成熟的直线和圆弧插补算法 只要 对所加工 的曲线划分为一系列直线或 圆弧就可 以加工 出工件轮廓来 由于所要加工的为凸的单调曲线 可 以采用直线逼近 下面采用等间距法来逼近所加工的 工件 轮廓 等间距法的基本思想 沿 轴方向取 A x h 为等 间距长 若已知 则 由曲线方程 Y 可计算出 Y 由 h 可求得 Y 厂 h 如此进行下去 即可求得一系列 Y i 即为所求 的节点 步长 h的确定 步长 h越小 加工精度越高 误 差越小 但加工速度将越慢 成本越高 合理选择步 长 十分重要 图 3为不 同步长的直线 逼近 0 1 O 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 xlm m 图3 不同步长的直线逼近 误差是实际轮廓曲线到插补直线的最大距离 由 图3可知最大误差点出现在 h 2处 即 与 的中点 最大误 差为 e h 2 一 1 由于连接线为直线 所 以 一 2 e i 2 一 3 取曲线误差 E m a x e 由于数控机床所运动 的最小位移是一个脉冲 所以h应该为机床一个脉冲 的倍数 最小脉冲指步进电机转动 1 动平台 文 中指 中台 下台 所移动 的距离 由于各组步进 电机的 步进角度 每输入一个控制脉冲的主轴转动角 均 为 1 各组变速器的传动比为 1 0 1 即步进电机转 1 则变速器输出 0 1 丝 杆的螺距 为 1 2 m m 则 最小脉冲占 1 1 2 m m 0 0 0 3 3 m m 则最小 1示 图4 插补示意图 表 1 间隔取值与逼近误差的关 系 mm 由于误差最大点发生在曲线曲率半径最小的位 置 因此可以通过求解加工轮廓曲线的曲率半径点来 求解误差最大点 设最小的曲率半径 R R 曲 1 Y y 4 所 以 3 1 Y y y 一 1 Y Y 5 令 R 0 经化简可得到 3 y Y 一 1 Y Y 0 l 6 0 0 一 一 0 4 5 1 4 一一一 1 8 1 0 Y 0 6 7 加 鲫 砷 加 0 g目 霄 2 0 机床与液压 第 3 9 卷 求解得 2 1 4 2 8 6 e f 2 1 4 2 8 6 h 2 一 2 1 4 2 8 6 厂 2 1 4 2 8 6 h 2 误差与 r 的关系为 8 一 5 7 8 5 7 1 4 0 0 0 3 3 盟 6 5 0 8 9 3 由公式 9 可以绘制出逼近误差与最小间距设 定倍数 7 的关系如图 5 可知 当设定倍数加大 用 直线逼近外轮廓曲线的逼近误差也加大 并且当设定 倍数 n较大时 误差 变化 较 大 考 虑设 定 百 倍数较小 时 加工速 言 度较慢 为 了提高加 工效 率 取 逼 近 误 差 为 1个 脉 冲 当量 由 公式 9 和 图5可 以 得 到 当逼近误差 e 0 0 0 3 3 m m 6时 间 距设定倍数 7 1 7 6 0 图 5 误差与最小间距 设定倍数的关系 步进电机进给量 对步进电机的控制脉冲的最高 工作频率不大于 1 0 0 P S 步进电机的进给量 f 1 0 0 6 0 6 1 9 8 m i n m in 1 0 为保证表面的加工质量 要求工件每转动 1 0 0 转 工件与砂轮 的切点在工件工作箱的旋转轴方向上 的移动量不超过4 m m 工件工作箱主轴转动速度设 定为2 5 0 3 0 0 r m in 所以 轴进给量 孟 2 5 0 3 0 0 m m m i n 1 0 1 2 m m m i n 1 1 加工时间 在提高加工速度且误差小于 1 个脉冲 当量6时 取 n 1 5 0 0 此时间隔h 0 0 0 3 3 n m m 4 9 5 m m 则整个工件的间隔数 一1 2 1 一个 间隔所需要的时间 m in 0 2 4 7 5 0 4 9 5 m in 那 么加工 整个 零件 所 需要 的 时 间为 T NA t 1 2 1 0 2 4 7 5 0 4 9 5 ra i n 2 9 9 4 7 5 5 9 8 9 5 mi n 加工方案评价 指标 为 了衡 量加 工方案 的好坏 文中以最大误差与加工时间的乘积作为评价指标 即 评价指 标 P y L e t 上 文所 给加工 方案 的 P Y L 0 0 0 3 3 2 9 9 4 7 5 5 9 8 9 5 0 0 9 8 8 0 1 9 7 7 优化算法 为了取得较好的加工方案 文中将加 工方案的评价指标作为 目标函数进行优化 将允许误 差作为 mi n PY L e t 限制条件 得优化函数如下 e P B 因此称 坐标为主 坐标 Y坐 标 为 非 主 坐 标 确 定 主 坐 标 的 目 的 是要确定斜线与主 坐标的夹角 O l角 图6 两坐标联动直线插补 第 2 3期 何慧凡 等 圆柱型砂轮对单调凸曲线外轮廓加工的数学建模研究 2 1 一 次插补进给量与进给速度和插补时间有关 f一 一 6 0 1 0 0 0 式中 为每个插补周期的进给量 单位为 m m 讲 为进给速度 单位为 m m m in A t 为插补时间 单位 为 m s 直线插补时 要计算每一插补周期 内的 Y坐 标方向的增量 A y 由图知 t a n P B P B和 A B的长度可由已知点a x Y A 和 P Y 的坐标值 求得 A B P P B Y P Y A C O S ff 1 1 t a n O L 1 1 Y 一 Y A x 一 因此 A x f c0 s y 尸一 两个坐标方向的速度之 比为 y a A A x YP YA 由于在 同一个 插补周期 内 刀具 在 x y方 向同 时按上述计算的距离和速度运动 因而刀具运动的轨 迹与理想斜线是吻合的 由于上述直线逼近是等间隔 的 A x h 4 9 5 m m 3 坐标变换法 首先对机床底座以及工件工作箱分别建立基座坐 标系 0 Y o 及工件坐标系 0 Y 轴与砂轮旋转 轴线距离为 坐标原点在夹具基准面处的工件旋转 中心上 且两者的坐标系初始位置重合 同时在中台 上建立与基座坐标系相平行的坐标系 0 Y 原点在 中台的转轴 中心线与基座坐标系 X 0 0 Y o面交点处 具体如图7所示 底座 3 1 坐标 变换 矩 阵 相邻两坐标系之间的齐次坐标变换矩阵为 0 6 y 1 j 3 c 一 s 一 6 R I s 0 e 0 0 I 1 4 l 0 0 1 J 式 中 c0 co s O s O s in O 则工件坐标系在基座坐标系中表示的齐次坐标变换矩 阵为 r c0 一 s O x q I s O c0 Y l 1 5 L 0 0 1 j 式中 0是上台相对于中台的转动角度 是中台