专业课 作业习题 CCER的各种习题作业 07春季ccer中微讲义及试题 Notes on Slutsky equation

Notes on Slutsky Equation 我们需要先了解两个不同的需求函数 普通需求函数和斯勒 茨基需求函数1 它们是由两个类似但是不同的最优化模型得到的 对每一个模型 我们用 C D 效用函数为例 说明它的基本情况 我们了解了两个需求函数之后 就能够根据它们的含义建立恒等 式方程 对恒等式方程中的变量求导 就可以得到我们需要的定理 所以关键的是清楚需求函数的含义 知道恒等式为什么成立 那么剩 下只是简单的技术性问题了 模型 A 普通需求函数2 ordinary demand function 形式 需求量关于价格与名义收入的函数 产生函数的模型 12 12 1 122 max 0 0 0 x x UAx xA st p xp xm 外生变量 A p1 p2 m 要说明的是 A 是描述偏好 的外生变量3 p1 p2 m 是描述约束条件的外生变量 我 们说过 在 偏好 约束 行为 中 经济学主要关 注的是 约束 而 偏好 不研究4 因此一般假设 1 斯勒茨基需求函数这个名称并不正式 用在这里只是为了描述上的方便 2 又叫马歇尔需求函数 Marshall demand function 如果以后只说需求函数 前面没有其 他定语了 指的都是这种需求函数 3 在其他形式的效用函数中 比如完全替代 完全互补等等 同样会出现一些参数 它们都 是关于偏好的外生变量 4 主要是心理学研究的东西 而且很多貌似是由偏好的变化导致的行为变化 其实还是可以 用约束的变化来解释 偏好 0 即假设偏好稳定不变 具体到我们这个模型中 虽然 A p1 p2 m 都对内生变量有影响 但我们主 要关注 p1 p2 m 对内生变量的影响 内生变量 x1 x2 需要强调的是 内生变量是 x1 x2 而不是 x1 x2 也就是说 内生变量不是商品 1 的量和商品 2 的量 而是商品 1 的最优量最优量和商品 2 的最优量最优量 最优选择 1112 1 2212 2 m xxp p m p m xxp p m p 序数性质 我们以前说过 效用函数是用来描述偏好的 最优选择本 质上由偏好决定 效用函数只是借用数字来给不同的选择 排顺序的方式 因此只要不改变偏好顺序 不同的数字标 注不会带来任何变化 也就是说 我们允许对效用函数进 行正单调变换 不会影响最优的选择 我们允许对效用函数进 行正单调变换 不会影响最优的选择 大家可以验证一下5 零次齐次 我们知道决定最优选择的另一个重要因素是预算约束 具 体到本模型中 就是 1122 p xp xm 但是由于这 个线性的预算约束 具有零次齐次零次齐次的形式 也就是说 1 122 p xp xm 和 1 122 0 tp xtp xtm t 是等价的约 束 所有商品价格和收入以同样的倍数变化 不会对最优 选择有影响 这称为对价格与收入价格与收入的零次齐次性 在此同 5 12121212 InInAx xBx xAxxxx 的正单调变换有 学们可以对 C D 效用函数推出的普通需求函数验证 112112 x p p mx tp tp tm 这也是所有普通需求函数 应当具有的性质 这也是所有普通需求函数 应当具有的性质 以后同学们求出普通需求函数以后 也可以用这个性质检查自己的答案是否正确 比较静态 所谓比较静态 也就是研究外生变量的变化对内生变量的 影响 在这个模型中 我们关心的是 p1 p2 m 的变动对 x1 x2 的影响 也就是 p1 p2 m 导致的 x1 x2 由于这种关系 关系 的英文是 function function 的另 一个名字叫做函数 是逐点变动的 所以要考虑在一个给 定点的变化量比率的极限 导数 由于普通需求函数是 多元函数 所以求的导数是偏导数 111 2 1121 0 xxxm pppmp 221 2 2212 0 xxxm pppmp 我们以前说过 科学理论要求得到可被证伪的结论 在这 里 我们得到的六个偏导数实际上就是六个可证伪的结论 比如第一个偏导数 由于它小于零 说的是 若商品 1 的 价格上升 商品 1 的需求量会下降 第二个偏导数 说 的是 若商品 2 的价格上升 商品 1 的需求量不变 第 三个偏导数说的是 若收入上升 商品 1 的需求量上 升 这些都是 若 A 则 B 的形式 图形 我们用两个草图草图6来了解一下外生变量的变动是怎样影响内生变 量的 图一表示的是 12 11 xx pp 因为 p1变动时 p2与 m 不变 所 以这种变动反映在图中就是预算线绕着其纵截距的旋转 类似的 图 6 因为画图排版的水平有限 没能精确画出图来 画的图是用来说明直观的 X1 X2 图二 m x1 x2 X1 X2 图一 p1 x1 x2 二反映的是 12 xx mm 因为只有 m 变动 所以反映在图中就是预 算线的平行移动 以上是一个例子 说明了中级微观经济学中分析模型的一个基本 的思考过程 第一步要厘清变量中哪些是外生变量 哪些是内生变量 目标函数和约束条件 第二步通过最优化得到内生变量与外生变量的 关系 即 内生变量 f 外生变量 第三步分析外生变量的变化对 内生变量的影响 既比较静态 得到可被证伪的结论 模型 B 斯勒茨基需求函数 Slutsky demand function 形式 需求量关于商品价格和商品禀赋 实际收入 的函数 产生函数的模型 12 12 1 1221122 max 0 0 0 x x UAx xA st p xp xp wp w 外生变量 A p1 p2 w1 w2 同样 我们主要关注来自约 束条件的外生变量 p1 p2 w1 w2 内生变量 x1 x2 最优选择 1122 111212 1 1122 221212 2 p wp w xxp p w w p p wp w xxp p w w p 序数性质 同样的 任何时候 效用函数应该经得起正单调变换 或 者叫保序变换 零次齐次 这个性质能否继续成立主要通过约束条件的性质来判断 由于 1 1221122 p xp xp wp w 与 1 1221122 tp xtp xtp wtp w 是等价的 所以应该有 1121211212 xp p w wxtp tp w w 即所有价格以同 样的倍数变化 需求量不变 这称为对价格对价格的零次齐次性 比较静态 主要关注 p1 p2 w1 w2对 x1 x2 的关系 其 中 w1 w2对 x1 x2 的影响与模型 A 中 m 对 x1 x2 的影响类似 我们就不再赘述 模型 A 与模型 B 主要 的区别在于 p1 p2对 x1 x2 的影响不同 12212 2 1121 xp wxw pppp 112 121 xxp wwp 21211 2 1222 xwxp w pppp 212 122 xpx wpw 由于在此模型中 名义收入 m p1w1 p2w2 将此式带入上 面的偏导数中 比如商品 1 对价格 1 的偏导数后 发现还 是与模型 A 的结果有所不同 这提供了普通需求函数形式 下 Slutsky Equation 与带有禀赋的需求函数形式的 Slutsky Equation 不同不同的一个直观例证 图形 带有禀赋 模型 B 的比较静态的图形与普通需求函数 模型 A 的图形不同 主要是由于预算约束形式的不同 因为两个模型中偏好 是完全相同的 所以结论的不同都是由于预算约束的不同造成的 具体地说 在模型 A 中 外生变量是价格和名义收入名义收入 m 在模型 B 中 外生变量是价格和实际收入 实际收入 w1 w2 所以在模型 A 中 价格 X1 X2 图二 w1 或 w2 x1 x2 X1 X2 图一 p1 或 p2 x1 x2 变时 名义收入不会变 实际收入会变 在模型 B 中 价格变时 实 际收入不变 名义收入会变 表现在图中 在模型 A 中 价格 1 或 价格 2 变动时 预算线绕着纵截距 或横截距 转动 在模型 B 中 价格 1 或价格 2 变动时 预算线绕着给定的禀赋点 w1 w2 转 动 两个模型中的收入变动时 无论名义收入或者实际收入变动 表 现在图形上 都是预算线的平移 没有什么区别 现在我们就可以来看普通形式的 Slutsky Equation 是怎样得出的了 首先为了防止混淆 我们按照课本上的符号来说明一下变量及函数 普通需求以 xm表示7 斯勒茨基需求以 xs表示8 以商品 1 为例写出函 数形式 1112111212 mmss xxppmxxppw w 看恒等式 112121121122 sm xppwwxppp wp w 它的含义是 给出一组外生变量 p1 p2 w1 w2 我们可以通过模型 B 得到一组最优选择 x1s和 x2s 我们上面只给了商品 1 的表达式 商 品 2 类似 我们另外给一组外生变量 p1 p2 m 使 1 第二组中 的p1 p2与刚才第一组给出的价格p1 p2相同 且使 2 m p1w1 p2w2 由此通过模型 A 得到一组最优选择 x1m和 x2m 此最优选择会恰好等 于刚才的最优选择 x1s和 x2s 本质上 这个结论的成立是由于 两个本质上 这个结论的成立是由于 两个 7 M 是 Marshall 的首字母缩写 8 S 可以看作是 Slutsky 的首字母缩写 条件 条件 1 2 保证了两组变量描述的预算约束是相同的 保证了两组变量描述的预算约束是相同的 恒等式对于一切 p1 p2 w1 w2都成立 所以对于特别的 w1 w2也 会成立 1212 11221212 mm xxp p m xxp p mwx wx 记带入 我们有 1212 11211212 sm xppx xxppp xp x 此时 这恒等 式对于一切 p1 p2仍然成立 因此 可以在等式两边分别对 p1 p2 求导 至此 我们已经做好了一切准备 终于可以 求导了 我们以 对 p1求导来说明 1