广东省湛江市2019届高三数学模拟测试试题（二）理（含解析）.docx

广东省湛江市2019届高三数学模拟测试试题（二）理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义和几何意义即可得出【详解】设则即故解a=3,b=4,则复数在复平面内对应的点在第一象限故选：A【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义和几何意义，考查计算能力，属于基础题2.已知全集 ，则集合的子集个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求B.再求，求得则子集个数可求【详解】由题=, 则集合,故其子集个数为故选：C【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题3.已知实数是给定的常数，函数的图像不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令m=0,排除D,对函数求导，确定其极值点的正负即可判断.【详解】当m=0,C符合题意，当m00,设的两根为则0,得A,B坐标进而得k存在时，设直线方程与椭圆联立，由面积公式结合韦达定理化简得，进而得的值即可【详解】由题直线斜率k不存在时，设直线x=t0，则A(t,), B(t,),S=,解t= 则k存在时，设， 与椭圆联立得, ，点O到直线l的距离d=得，即又= 将代入得故选：B【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，面积公式，点在曲线上的代换，考查计算能力，注意斜率不存在的讨论，是中档题12.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题判断为奇函数且单调递增，转化为恒成立，利用单调性得,分离a求导求范围即可【详解】易知单调递增，则，故为奇函数，当时，不等式恒成立等价为即恒成立，故在时恒成立当x=0时，0恒成立，a当x0时，,设则设则单增，又，则当0x1,故即，故单调递增，当x,故，综上故选：C【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，导数求最值，利用导数研究不等式恒成立问题，考查转化能力，是中档题二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知函数，则曲线在点处的切线方程是_【答案】【解析】【分析】求导，x=0代入求k，点斜式求切线方程即可【详解】则又故切线方程为y=x+1故答案为y=x+1【点睛】本题考查切线方程，求导法则及运算，考查直线方程，考查计算能力，是基础题14.若实数满足不等式组，且的最小为，则实数_【答案】【解析】【分析】画出可行域，由z的几何意义确定其最小值，列m的方程求解即可【详解】画出可行域如图阴影部分所示：当过A时取得最小值，联立得A,则，解m=故答案为【点睛】本题考查线性规划，z的几何意义，数形结合思想，确定取得最小值的最优解是关键，是中档题15.设，且，则_【答案】【解析】【详解】故tan又=故，则【点睛】本题考查二倍角公式及两角和与差的正切公式，熟记公式，考查化简能力，是中档题16.圆锥的底面半径为，其侧面展开图是圆心角大小为的扇形.正四棱柱的上底面的顶点均在圆锥的侧面上，棱柱下底面在圆锥的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为_【答案】【解析】【分析】设圆锥的母线长为l，由侧面展开图求得,进而得圆锥高为，设正四棱柱的底面边长为2a,高为h,进而得，正四棱柱体积V=,设函数=，求导求其最值即可【详解】设圆锥的母线长为l,圆锥底面周长为=圆锥高为设正四棱柱的底面边长为2a,高为h,则得 正四棱柱体积V=,设=令得当,故的最大值为故答案为【点睛】本题考查棱柱的体积，圆锥的侧面积公式，正四棱柱的基本性质，利用导数求最值问题，考查空间想象及计算求解能力，是中档题三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.为数列的前项和，已知.（1）求的通项公式；（2）设，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，检验成立即可求解；（2）由=裂项相消求和即可【详解】（1）当时， 当时，满足上式，（2）由可得 【点睛】本题考查数列通项公式，裂项相消求和，考查计算能力，熟记求和的基本方法，准确计算是关键，是基础题18.三棱锥中，底面是等腰直角三角形，且为中点，如图.（1）求证：平面平面；（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）证明平面，即可证明平面平面（2）证明为二面角的平面角，得进而得为等边三角形，以为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量的线面角公式求解即可【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，为中点，平面平面平面平面（2）平面为二面角的平面角，为等边三角形，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 设平面的法向量，则即取设与平面所成角为，则故平面所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查面面垂直证明，线面垂直的判定及二面角的定义，考查空间向量的线面角求法，考查空间想象及计算求解能力，是中档题19.某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取个家庭，得到数据如下：家庭编号123456月收入x（千元）203035404855月支出y（千元）4568811参考公式：回归直线的方程是：，其中， .（1）据题中数据，求月支出（千元）关于月收入（千元）的线性回归方程（保留一位小数）；（2）从这个家庭中随机抽取个，记月支出超过千家庭个数为，求的分布列与数学期望.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）先求再利用公式求即可；（2）由超几何分布列分布列求期望即可【详解】（1） 所以月支出关于月收入的线性回归方程是：（2）可能取值为 故的分布列为： 0123P 数学期望.【点睛】本题考查线性回归方程，考查超几何分布的分布列及期望，考查古典概型，准确计算是关键，是基础题20.已知动圆过定点，且和直线相切，动圆圆心形成的轨迹是曲线，过点的直线与曲线交于两个不同的点.（1）求曲线的方程；（2）在曲线上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）由抛物线定义确定P轨迹方程，（2）设，直线的方程为，代入抛物线方程，整理得设存在定点，由，代入韦达定理整理得，利用即可得【详解】（1）设动圆圆心到直线的距离为，根据题意，动点形成的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，抛物线方程为.（2）根据题意，设，直线方程为，代入抛物线方程，整理得 若设抛物线上存在定点，使得以为直径的圆恒过点，设，则，同理可得 解得在曲线上存在定点，使得以为直径的圆恒过点.【点睛】本题考查由定义求轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，圆的性质的应用，考查计算能力，是中档题21.已知正实数，函数 .（1）讨论函数的单调性；（2）若在内有解，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）令，解得,讨论与的大小关系确定的符号变化求单调性即可；（2）在内有解，则，由（1）的讨论确定的正负变化确定其最小值即可求解【详解】令，解得当时，即时在上，函数单调递增，在上，函数单调递减；当时，即时，函数在定义域上单调递增；当时，即时，在上，函数单调递增，在上，函数单调递减.综上所述，当时，在上，函数单调递增；在上，函数单调递减；当时，函数在定义域上单调递增；当时，在上，函数单调递增，在上，函数单调递减.（2）若在内有解，则 由（1）可知，当，即时，函数在上单调递增，解得；当，即1a2时，在时，函数在上单调递减，在时，函数在上单调递增， 令 ，函数在上单调递增.恒成立，当，即时，函数在上单调递减，不成立，综上所述：.【点睛】本题考查导数与函数的单调性，利用导数求函数的最值，分类讨论的思想，考查分析推理能力，是中档题22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，点，直线（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用极坐标与普通的互化求解即可；（2）将直线的参数方程化为标准形式为：（为参数），与椭圆联立，利用t的几何意义求解即可【详解】（1）又曲线的直角坐标方程为：（2）将直线的参数方程化为标准形式为：（为参数），代入曲线方程，得恒成立 【点睛】本题考查极坐标与普通方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，考查计算能力，计算的值注意判断的正负是关键，是中档题23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若对于任意恒成立，求实数最小值，并求当取最小值时的范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）零点分段去绝对值化简解