钢桥设计中有限元分析手册-典尚设计

序 言4第一章 概 要51.1 FEM特性51.2 FEM的用途7第二章 FEM的基本事项112.1 FEM特性112.1.1 工程学的解释112.1.2 分析理论方程式的推导122.2 单元特性142.3 变位函数202.3.1 变位函数的要点202.3.2 变位函数的一般形式202.3.3 各种单元的精度及使用难易性232.3.4 其他单元272.4 应力分布28第三章 FEM的应用323.1 基本顺序323.2 分析计划353.2.1 基本构思353.2.2 FEM分析的必要性353.2.3 FEM分析目的353.2.4 单元模型的分类363.2.5 决定分析模型393.3 设定分析区域413.3.1 分析边界的种类413.3.2 取出分析区域的方法413.4 设定边界条件443.4.1 边界条件的种类443.4.2 边界条件设定法453.5 荷载条件的设定493.5.1 荷载条件的种类493.5.2 荷载条件设定法503.6 单元划分方法513.6.1 分析区域的块划分513.6.2 块内的单元划分523.7 附加构件的处理543.8 图形放大法56第4章 分析结果的评价574.1 单元划分产生的特性及其评价574.1.1 对输出结果的理解574.1.2 根据计算结果进行模型验证604.2容许值624.3分析结果的整理方法63第5章 FEM分析举例及应力检验67附属资料A 钢结构应用FEM分析举例67A.1北备濽濑户桥塔顶鞍座FEM分析67A.2 大鸣门桥索夹71A.3 主塔梁间的连杆75A.4 吊桥连续桁梁中间支点处77A.5 支座79附属资料B 简化成平面模型举例83B.1 忽略面外刚性的建模举例83B.2 板构件逐次分析举例84B.3 把求解中实体简化成平面模型举例86附属资料C虚拟构件使用例87附属资料D弯曲问题建模举例89附属资料E 应力集中处模型举例97附属资料F 边界条件建模举例102附属资料G 三维结构用二维模型求解举例106附属资料H 主应力和Von Mises的检验115附属资料I FEM的容许应力度118序 言近年来，由于计算机的长足进步，FEM通用分析程序的普及，结构设计中FEM分析法得到积极应用和推广，特别是复杂结构和应力急骤变化的部位，FEM分析法具有其他分析法不可替代的优越性。然而，在应用FEM进行结构分析中存在以下问题：由于在分析方法、建模方法、分析结果的评价等方面没有统一的基准，这些问题只能委托设计工程师自行去考虑和判断，因此FEM分析正确性如何，精度如何，还没有被认可的恰当评价，应该说目前情况下，这是不争的事实。其次，在建立FEM模型时，单元类型选用和划分、荷载和边界条件的设定、改变分析参数时的FEM计算方法等诸多方面，对设计者有很大的依赖性，即使采用相同的计算程序，由于每个人在相关知识和经验上的差异，也会因人而异得到不同的结果。再者，FEM只是结构分析的方法之一，在某些情况下，它不能排斥其他分析法（如解析法），特别是在应用大型通用程序和越来越多的专用程序进行FEM分析时，决不能忽略结构的力学行为，FEM的使用范围、FEM的基本原理、单元特性、建模技巧等，否则，不仅得不到较好的计算结果，甚至出现错误。基于以上原因，制定FEM分析的统一基准是非常必要的，尽管这是相当困难的。这里介绍日本本四联络桥公团起草的FEM应用手册，供应用时参考，也可以作为研究生的学习教材。本手册适用于弹性理论应力检验，主要内容如下：应用FEM的基础知识，以便应用者深入理解，FEM分析建模方法，以利于明确具体目标，FEM分析结果评价的具体规定，有关FEM分析结果的整理方法，代表性分析事例及主应力和Von Mises检验。121第一章 概 要FEM（finite element method）法，是把被分析部分从整体结构中取出，引入虚拟的边界线，并将其划分成有限个单元（图1.1），从单元相互间力的平衡出发，求得满足赋予结构条件的解。采用FEM法的前提是利用计算机。近年来，特别是计算机的发展及FEM通用程序的普及，用FEM进行钢结构设计逐渐增多。然而，FEM法中，因边界条件的复杂性等原因，分析中不能求解的问题可以简化求解，虽有其便利性，但是，边界条件的设定、单元选择、单元网格细划分、以及对分析结果的评价等，工程师在使用中必须主观作出判断，这也是不争的事实。本手册给出了处理这些问题的目标和判断依据。1.1 FEM特性FEM法是把连续体的平衡问题变换成可自由划分成单元模型的近似解法，随之将以下特性纳入分析理论中。（1）单元划分FEM法是在被分析结构中，引入虚拟的边界线，并把结构分割成很多的单元，在节点上以力学结合而成的结构模型（图1.1）图1.1 FEM模型举例（2）力与变形的关系为了计算简便容易，假定单元内的变形用简单的多项式表示。可以说把采用无限小的单元以严密的公式作为延伸至有限大小的单元。其结果，一般情况下，单元间的应力计算值是不连续的，对应力急剧变化的部位不能把输出的应力作为设计应力（图1.2）该区域任意点的变形应满足以下微分方程：划分单元，长方形时一个单元的变形假定：（1、2、3等每个单元都不同）图1.2 连续体与FEM概念的差别（3）力的传递实际连续体是连续传递应力的，而FEM中，传递单元间应力仅仅是通过单元的各个节点（见图1.3）节点Vi0图1.3 单元内节点力的平衡（4）模型化的范围FEM因受单元数量的制约和建立模型的假定。多数情况下是取出以着眼部位为中心的结构的一部分，即尽管同样材质的材料是连续的，但是，沿某一边界切断结构后取出的局部模型，由于其相邻结构的刚度和变形，必须给局部模型赋予某种合适的边界条件。同时，取出哪部分结构也是应考虑的问题，也会因此造成了结构分析因人而异的差别。（见图1.4）图1.4 取出结构局部的一例（5）单元的选择通常的钢结构，除主结构外，还有由加劲肋、横隔板等组成的复杂结构。加之多数情况下，由于外力作用状态及边界条件的复杂性，需要选择能按这些条件正确反映所求解结构真实应力状态的单元，（见图1.5）图1.5 结构构件FEM模型化举例1.2 FEM的用途求解结构应力变位等的分析方法，一般考虑以下4种：采用骨架模型的解法FEM解法采用板的公式解法对不同结构单独推导公式的解法这中间，通用的分析方法是前两种，但是FEM分析时，FEM建模存在着单元划分和模型化范围等各阶段中的差别，如因人而异的差别、分析中应用近似公式的差别，计算次数限定的差别，以及输出结果未确定等等。由此可见，在得到充分资料时，使用其它方法也是可行的。另外，FEM就其性质而言，不像振动分析那样以获知结构正确行为为目的，通常是以检验所考虑部分在应力上是否安全为主要目的。从而，由过去的经验可知，只要确认结构充分安全，可不必用FEM分析。作为分析方法，FEM应用的代表实例列举如下：P（1）预计有应力集中部位如图1.6所示，受拉的带圆孔板，如果应力均布，则为，实际上由于孔的边缘处产生应力集中，最大应力是无圆孔的2.43倍。从而，这种圆弧处，弧形切口处预计有应力集中时，应进行有限元分析。PP图1.6 有园孔板（2）应力流不明确处例如图1.7刚构隅角处，力的作用点和作为支撑点上下隔开时，水平方向应力由上向下流。如果为圆角，隅角处的边界条件与图1.7的下图大体相当，下支点因弯曲产生上下方向相反的力，上下方向应力上端为0，水平方向应力左端为0，所以，右下单元的应力变得非常大，且不明确。设计中，为削减该应力，需研究各种形状的隅角部，并对各种形状进行FEM分析，以求应力匀顺、应力集中较小的隅角形状。P图1.7 刚构隅角（3）应力分配不明时图1.8是腹板上设置悬臂托架的构造，托架右端作用荷载时，左侧腹板上由P传递的合计反力不明确。因为合力分布不均匀，如果按作为作用荷载分布来分析腹板将是危险的。腹板应力达到极限时，用FEM求反力分布是必要的。P图1.8 托架（4）因构造模型形状特殊，一般解析法不能分析时例如，吊桥的鞍座、索夹、主塔联杆（tower link）等，因边界形状复杂，不可能用连续体力学的微分方程式等来分析。这时，用FEM分析是唯一的计算方法。计算模型种类较多时，考虑结构安全性，设计中仅取出某种厚度的单元，用平面模型进行分析，这时应注意是平面应变而不是平面应力状态。说明：平面应力与平面应变当分析对象的结构可作为平面问题处理时，有以下两种方法： 当厚度方向与其它方向相比，板厚较薄时，在板厚方向的应力是均匀的，称为平面应力状态。这时，在垂直于板面方向的边界条件是自由表面，所以，该方向的应力z为0，但是，由于泊松比的原因，该方向的应变z不等于0，相应，板结构完全处于平面应力状态。图1.10 平面应力状态 对于某个较厚板结构，假定该部分的应力在厚度方向一样，当取出进行分析时，由于残存两侧的构造，在其表面起约束板厚方向变形的作用，所以，板厚方向的应变为0，但是，由于泊松比的原因，应力不等于0，这称为平面应变状态。鞍座，索夹等粗大结构的计算，即相当于此。图1.11 平面应变状态平面应力和平面应变在分析上是两个方向上的虎克定律不同。如果泊松比等于0时，两者在公式上完全一致。（5）连接多个构件时应力流和力的分配不明确的结构上述第（2）、（3）项是一条线上的应力分布问题，而本项则是方向不同的板间的应力分布问题。图1.11是桁架节点，桁架各构件的应力由节点完全分开，用以往的桁架理论近似地计算其近似值虽然可行，但是，在结合处相应于节点板形状，应力流是变化的，而且翼缘与腹板间的应力分配与构件中央部位理应是不同的。从而，不知道这部分应力正确状态时，需要用FEM法进行计算。图1.9 节点板（6）多方向不同板结合时如吊桥塔顶部，配置了多方向不同板，目的是使力流匀顺传给塔柱结构，这就特别需要了解应力流的情况，为了确认该构造部分的合理设计和安全性，需要进行FEM分析。第二章 FEM的基本事项2.1 FEM特性2.1.1 工程学的解释FEM分析的工程学解释是把结构分析分成以下三阶段构成（参见图2.1）： 在结构内引出边界线划分成多个单元。 把各单元作为独立的结构构件进行分析。搞清力与变形的关系。 对于整体结构，被划分的单元用节点连接成整体,外荷载作用下，由稳定平衡条件求解。第一步：单元分离第二步：UFP 及PKU建立每个单元的平衡方程式（最小势能原理）第三步：在各节点上，力的合力外荷载（已知），而节点变位对各单元是共同的。因此，将节点变位作为未知数建立联立方程组。图2.1 FEM的各阶段概念上述工程学解释中，FEM分析基于以下假定：1. 把单元内的变形近似为简单的变位函数，2. 仅在节点处输入力。并由此建立理论。从而，为了使FEM分析中所得到的计算结果十分近似实际结构的行为，主要还应注意以下各点：单元的选择；单元的大小和边界条件的设定。既有的程序中，各单元均有一定的意义，用户虽然没有必要知道其详细内容，但为了进行所达目的的FEM分析，必须知道各种单元的特性，并进行合适的单元选择。2.1.2 分析理论方程式的推导FEM分析方法是把对象结构的边界条件、刚度分布等，任意设定的问题变成引入虚拟的边界线，分成多个单元（第一步），按以下的顺序，使各个单元力的平衡和整体力的平衡条件定式化（第二步）。 单元应用边界位置上的节点互相连接起来。即单元间的力仅在节点传递。这些节点的变位作为未知参数。这样，问题就可归结为求变位参数（参见图1.2） 各单元内的变形状态由节点变形函数的意义决定，选择一组函数作为变位函数。并且，单元内的应变状态及应力状态根据该变形函数确定（参见图1.2）。通常，变位函数采用相应于单元形状和节点自由度的多项式。依据该变位函数的内容，由于各单元的近似变形状态是变化的。所以应选择近似于实际变形的单元形状和大小。 按作用在各单元上的外力（荷载及来自相邻单元传来的力）用最小势能原理求得产生在单元上的变形。如果明确各单元受力后产生什么样变形的关系式，独立的单元也能成为可进行分析的结构构件，则整体结构与这些单元集合组成的骨架同样可以进行分析。图2.2为FEM分析流程图。全部势能变位参数例如：f多项式图2.2 FEM分析流程图2.2 单元特性单元按其节点自由度和形状不同各有其特征。应针对适应性选择合适的单元。这里，为了有助于选择合适的单元，把在FEM中采用的主要单元列举如下。参见表2.1表2.8。但是，结构骨架分析采用的单元早已众所周知，因此在此不予列出。表2.1 平面问题采用的各单元单元名称节点自由度单元自由度变位函数/单元特点用途三角形单元UxUy3261次式单元内的应力应变一定。任何情况下，该单元都适用。应力应变突变处应细化单元长方形单元UxUy4282次式应变在该单元内直线变化，而沿同一坐标的线上，平行于该轴线的应力一定。应力直线变化的部分，精度较高，可适用。整体为非长方形状适应困难。四边形单元UxUy428斜交坐标二次式斜坐标时，与长方形单元统一。直角坐标时较复杂，需进行坐标变换。三角形隅角以外处也可适用，精度与长方形一样。单元划分处易不规则，与相邻单元的大小是变化的，有不均一性。高次三角形单元UxUy62122次式变形、应变、应力呈曲线变化。该单元与划分成4个三角形单元自由度相同，但精度高很多可应用于把整体仿形为高次单元结构。但与低次单元并用困难。高次四边形单元UxUy8216斜交坐标系的3次式变形、应变、应力呈曲线变化。该单元与划分成4个四边形相比，精度高。可用于把整体建模成高次单元结构及隅角以外的部位。但与低次单元并用困难。因为单元较大，应力等图表比较粗糙。杆单元Ux212直角坐标系1次式应力、应变在轴向一定，刚性用EA输入。用于垂直于主板的加劲肋构件单元。为了代表支撑条件、抗弯结构等，可作为假想的构件而使用。表2.2 平面弯曲问题采用的各单元（变位函数所代表的单元）单元名称节点自由度单元自由度变位函数/单元特点用途三角形单元Uz339用面积坐标的3次式与边缘垂直方向相邻的单元，变位微分不连续（非适合函数）任何情况下该单元都适用，但不能确定应力修正的计算方法。即使细分单元，也不能保证严密值收敛。但从工程学角度，可使足够的误差范围内的值收敛。长方形单元Uz4312缺少项的4次式与边缘垂直方向相邻的单元，变位微分不连续（非适合函数）如细分单元，严密值收敛。应力值容易修正计算，所以该问题虽适用，但只有整体在长方形处才可应用。梁单元Uz224弯曲3次式微分方程式的解严密用于肋等补强部位。与板的中性轴不一致时可忽略。四边形单元Uz4312取板厚1/2的4个三角形单元叠加进行分析。从而，具有三角形单元的特点。应力仅取上下两个三角形单元的平均值，近似程度较好。用于不是长方形的隅角部位。表2.3 平面问题采用的各单元（节点变位和应力）变 位应 力杆单元平面板单元表2.4 平面弯曲问题采用的各单元（节点变位和应力）变 位应 力梁单元板弯曲单元注： 表2.5 包含面外弯曲和面内变位的单元（代表例）单元名称节点自由度单元自由度变位函数/单元特点用途平面壳单元UxUyUz节点数5已述两种平面单元自由度相叠加与各平面单元项相同，且可用于圆壳分析表2.6 包含面外弯曲和面内表位的单元（节点变位和应力）变 位应 力壳单元表2.7 实体变形分析采用的单元（未列出高次单元）单元名称节点自由度单元自由度变位函数/单元特点用途四面体单元UxUyUz43121次式单元内的应力和应变一定。可表现为任意单元，但不能简单划分。用于直方体单元不能用的隅角部位，其他均可用。与平面的三角形单元相同，如不能细分，则精度降低。直方体单元UxUyUz8324缺少项的3次式应变呈直线变化，但在平行其一个轴的平行线上其轴向应变是一定的。单元划分容易，着眼处易确认。只有直方体部分可适用。表2.8 实体变形分析采用的单元（节点变位和应力）变 位应 力实体单元2.3 变位函数2.3.1 变位函数的要点相应于单元的形状、节点数及节点的自由度，各单元的变位函数就已确定。例如：平面问题时，变位函数的一般要点如下：相应于单元内坐标X、Y的一阶函数，变位函数在单元内连续且可微分。单元内各节点的变位一旦确定，则变位函数也随之确定。换言之，变位函数含有的未定系数的数量与单元节点变位的自由度总数是一致的。与相邻单元的边界的边上，变位分布与相邻单元是连续的。如果边上的变位分布采用完全取决于边上节点变位的函数，将满足边上变位的连续性。例：4节点四边形单元含有4个未定系数，如果取，代入4个顶点的X，Y，该值由给出的顶点变位条件，则可求得、。单元为刚体变形时，则单元内全部点的变位为0，即一个单元内的节点变位全都一样时，则变位函数用X及Y微分的应变分布必须是至该单元处为0。这就意味着变位完全一样时，变位函数为常数，从而变位函数中必须含有所需要的常数项。（缺少常数项的函数，系数中输入任意值，也不得取0以外的常数）。二维坐标X、Y时，具有各向同性。即，即使在变位函数中换成X、Y，也象同类型函数一样，如有、项，必然也含有、项。高次单元和板弯曲单元的变位函数的项数如果较多，完全满足这些条件是困难的，可采用放宽第3）条的非合适单元。该要点中，变位函数是用板的微小部分的平衡条件得到的微分方程式求解，应注意这是必然的要求。这样求解函数是困难的。如非要求解函数，不必将FEM细分也是可以理解的。另外，要尽可能推荐简单的多项式，即把变位关系微分，推导应变，从应变、应力、外力与节点变位的关系，来简单追踪这样的变换过程。2.3.2 变位函数的一般形式变位函数是用单元内互为垂直的X、Y坐标表示成多项式，但是，实用上需转换成其它坐标。一般用以下形状函数N达到这一目的。两者是一对一的对应，而单元内的变位分布两者不得变换。平面问题时，任意点在X方向的变位U和Y方向的变位V可由节点X方向的变位矢量u和Y方向的变位矢量v表示成下式：m：一个单元内的节点数各Ni是用绝对坐标X、Y或斜交坐标、等的多项式表示的函数，着眼点的坐标（X、Y或、）在节点i一致时为1，在其他节点上时为0。而且对于各Ni以下性质成立：任意点的坐标X、Y把给定的各节点坐标的矢量作为x、y，并表示成：由此，把N用、表示时的坐标系与XY坐标系转换来确定。就代表单元而言，构成变位函数的Ni的形状表示成表2.9表2.9 构成变位函数的Ni的形状三角形单元四边形单元高次四边形单元整体的变位函数形状为乘上各Ni的节点i的变位ui，然后累计。另外，ui均为一定值u0时，变位在单元整体时u0为一定值。变位函数及对其微分可得各单元的应力分布及应变分布的大概形状表示如表2.10所示：表2.10 应力分布及应变分布三角形单元四边形单元高次四边形单元变位分布u应变分布x应力分布x特点变位分布为平面。应变、应力在单元内为一定值。变位函数在单元内部为2次曲线。但是，沿边缘为直线。应变、应力呈直线分布。变位函数在单元内是3次多项式，沿边缘是抛物线。应变、应力为2次曲线。2.3.3 各种单元的精度及使用难易性（1） 精度对于高次单元，单元内的变位可用较高次多项式，因为只有在单元内变位是连续的，所以将简单的单元更细分，也可得到较好的精度。例如，把图2.3的四边形分割3次时的节点数和自由度越向右越多，相反，精度越向左越好图2.3 单元的划分图2.4是把悬臂梁的弯曲问题用4种单元建模，增加单元的划分同时与向理论值收敛状况进行了比较。出发值是，在高次四边形单元中是单一单元，高次三角形单元中是2单元，长方形和三角形单元中是纵横等分成23单元模型。由分析结果可见，弯曲应力变化很急剧时，三角形单元即使增至150节点，其精度仍不及8节点长方形高次单元模型。另外，因为三角形单元内应力一定，如果使弯曲边缘应力的误差控制在1以下，理论上纵向必须分割为100来计算。另一方面，高次单元划分为23左右给出近似值，即使扣除该计算模型的特殊性，在应力急变部位其精度差是明确的。（参照附属资料D）图2.4节点数与精度的关系（2） 使用难易性一般而言，使用的难易性涉及精度和相反的倾向。低次单元中线与线交叉处是节点，除此之外没有节点。即，一看就知划分图就是单元的配置。另一方面，高次单元在边的中间有节点，在何处使用高次单元，不能立即确认。另外，由于单元本身较大，仅用一个图表示其代表点的应力不能充分看出全体应力倾向，必须把代表单元应力的点设成多处。然而，仅仅把某一部分设成高次单元，在下述情况下是困难的。首先，高次单元与标准单元之间象图2.5左图需要设置连接的过渡单元。这种过渡单元有取中点为节点的边或不取中点为节点的边的两种划分方法，各边不等。该分析和输入输出也需要作特别的处理。如果是标准单元，在图2.5的中间图中插入三角形单元，可简单连接细分单元和粗分单元。另外，如图2.5右图那样从高次单元向标准单元建立过渡单元，用三角形单元就不合适。那是因为在两者共同的边上，三角形单元侧的变形呈折线，由于高次单元侧的变位为匀顺的抛物线，变形后两者间产生间隙。从而，除非所有单元都设成高次单元，否则高次单元使用的机会将很少。图2.5 高次单元和标准单元连接处理（3） 使用单元的选择原则由上述可得出使用单元的选择原则：从钢结构模型整体看，总有多处局部的应力急剧变化，从而，在这种结构模型整体上采用高次单元是不经济的。另外，由于应力变化部位的区域窄小，高次单元即使使用较小的单元，使用数量少的大尺寸的高次单元就会失去其优越性。在应力急变区采用三角形单元可得较高得精度，但必须细分单元。另外，如同样大小得四边形单元分成两个三角形单元，单元数虽增至两倍，但是精度却要降低。所以，除非特别需要时一般不用。钢结构用FEM分析的单元模型的划分，基本上用长方形或四边形单元，在应力急剧变化区，可更细的划分该单元。比较单元尺寸，原则上在应力变化较小的区域使用三角形单元，限于以下情况使用：粗划分与细划分单元间的连接板的角部等处，用四边形单元分割后残留的部分四边形单元中的椭圆形部分2.3.4 其他单元以下介绍几种特殊单元：（1） 等参数单元（Isoparametric element）当采用高次四边形单元时，确定单元坐标和形状的节点（称为形状节点）有4个，推算变位函数值的节点（称为函数节点）有8个。这虽能适应单元边界线上的复杂变形，但是对于复杂的边界形状则不能适应。因此，需对该高次四边形单元进行改良，使形状节点数与函数节点数相等，对有曲线边界的结构也有很好的适应性，这种单元称为等参数单元。从广义上看，把形状节点数与函数节点数相等的单元称为等参数单元，简单的三角形单元和四边形单元虽然符合这一点，但通常对具有大于边数的节点数的高次单元才用这一名称。另外，作为用曲线坐标系的变位函数的同种类单元，形状节点数大于函数节点数时，在边界形状近似重点处设超参数单元（super parametric element），当形状节点数小于函数节点数时，在变形近似重点处设次参数单元（sub parametric element），可针对各种目的分别使用（参照图2.6）图2.6 等参元及其同种类单元（2） 正交各向异性单元（Orthotropic element）这是在X方向和Y方向刚度不同的板单元。例如，把某个方向密布加劲肋的板包括在分析模型内时，可以把所有的肋作为杆单元输入，也可把配置肋的方向的厚度t和弹性模量E换算成包括肋的等效正交各项异性板单元。（参照图2.7）图2.7 正交各向异性单元2.4 应力分布用FEM分析的单元应力与连续体分析值多少显示出不同的应力分布状态。以下是平面FEM分析时应注意的特点。（1） 在相邻单元间单元应力不连续三角形单元在单元内的应力是一定的，所以，相邻接合的单元间，由于把边的应力清除了，该处应力就不是定值。最终，单元显示了每个三角形高度不同的阶梯状的应力分布（参见图2.8）。就此，推算边和节点上的真实应力，采用哪一侧的应力呢？工程学尚没有根据。从而，在着眼部位，细化单元，减少单元间的应力差是必要的。四边形单元应力在单元内呈直线变化。从而，在边和节点上虽不产生较大的应力差，但是，因为理论上是不连续的，在单元两侧产生若干应力差。与三角形单元一样，在工程学上也是没有根据的。即使高次单元也是同样的。经验上，对于弯曲问题，为获得三角形单元与四边形单元同等精度，该部分4倍单元数量。图2.8 单元的应力分布（2） 如果细分单元最大应力一般较大如果把一个单元细分成两个单元。两个单元应力与一个单元相比，可区分为较大应力和较小应力。比较两者的应力，前者较小，相当于作用在两种单元上的断面力，前者也较小，限于应力整体流不变化，所以，在力的平衡上不会引起问题。这一倾向，特别是三角形单元中比较显著。在应力集中区单元细分到一定程度，应力大到一定值才收敛（参照图2、9）。这是用FEM分析求得的近似值比精确值小的事实。图2.9 细分单元对应力的影响（3） 在连接加载点和支点处的单元，其单元应力较大支点和加载点是由结构体系外作用集中力的点，直接承受该集中力的单元必须抵抗外力。随着离加载点距离增大，节点力被分散到多个单元上，并在节点间均等化，从而使应力分散变小。应力特别大的单元是连接始端外力作用点的单元和终端支撑点的单元。在连续单元间，无序的设支点和加载点的单元，因支点处的应力较大，这是不令人满意的（参照图2.10）。图2.10 支点附近单元的划分（4） 如错误使用杆构件将产生应力集中例如，在加载点或支点设置的加劲构件等，如果杆未达到支点而在中途切断，与其相接的单元的应力将变大。这是由于传递给杆单元的轴力与外力有相同的作用效果。另外，以减少杆构件为目的的情况下，如果跨过途中的单元直接连到远处节点上，由于杆构件的集中力没有被途中单元吸收而直接传给远处的节点，其应力分布与实际情况是不同的。图2.11所示的杆构件是在途中终止的结构，随着单元划分加密，杆构件的节点与确实的单元节点一致，以谋求应力的均等化。差（单元与杆的节点无序）良（单元与杆的节点完全一致）图2.11 杆单元使用例图2.12是表示不约束旋转的节点所采用的杆构件例，如果杆单元轴力不平衡，将产生应力集中。图2.12的右图是个改良的例子。把虚拟的使应力平滑的单元插入其中过渡。因为该虚拟的缓冲单元实际上不存在，没有必要知道其应力。缓冲单元图2.12 缓冲单元使用例（5） 在自由边缘与相邻单元边不平行处产生应力集中这虽然是经验，但由于弯曲等原因，节点端应力较大，且沿最外侧单元边流向，单元边界呈折线弯曲。该应力方向为曲线，其主应力方向由X、Y两个方向组合而增大。图2.13右图单元边为平行的边界，则不产生应力集中。图2.13 自由表面近旁的应力分布（6） 在同一板厚单元内，整体最大应力产生在上述（3）（5）项的任何一点这从连续体的性质上大体可明白，如果在该点以外点上产生最大应力，由于输入的误差，可视为在非预期的部分已出现前述的状态。第三章 FEM的应用3.1 基本顺序设计者建立FEM模型时，必须研究以下事项，大体流程如图3.1所示。（1）编写分析计划对于给定结构，判断FEM分析是否必要，如果必要，用什么种类的FEM分析模型？并对此进行判断。另外，想用该分析得到什么数值？并明确分析目的。（2）设定分析区域从作为设计对象的结构中，取出哪一部分作为FEM模型。需考虑单元数量的制约，边界条件处理的难易性，为解消从着眼部分至边界处的应力杂乱所必要的距离等。（3）设定边界条件这是把分析区域的边界放在什么样的力学条件下的问题。与刚性基础连接时，与空气和水连接的部分等，虽然简单，但是，从结构中切取一部分的部位，应研究与未被取出部分之间转换成什么力，所以，需决定边界条件。给出力学的边界条件，仅有以下3种：l 指定变位，但不知反力（一般的支点）。l 指定作用力，但不知变位（一般加载点或自由端）。l 指定力与变位的关系，把一方作为另一方的函数（一般的弹簧支点）。（4）设定荷载条件这是评价作用在取出结构模型上的外力的问题。FEM分析时，除温度荷载外，活载与风载同时作用是极少的。来自相邻结构的反力和切取结构的一部分时，把作用在切断面上的应力作为荷载给出。从而，在FEM分析前，一般用骨架模型和其他模型进行结构整体分析，把作用在切取断面上的轴力、剪力和弯矩等换算成等效集中力。（5）单元划分方法这是要解决对给定的分析部分如何划分单元的问题。对于平面问题，有三角形单元、四边形单元、杆单元、梁单元等，采用什么形状的单元，单元尺寸多大等，必须在充分理解各种单元的特性后加以判断。除此外，有可以粗划分的部位也有必须要细分的部位，预测应力流至某种程度并加以判断，可用由粗划分模型试算，到对必要部位进行细划分计算等方法（6）附加构件的模型化被取出的FEM模型，只有一块板的情况很少，往往是由方向不同的板连接在一起。是考虑这些构件或忽略这些构件，如果考虑，采用什么单元模型，都是需研究的课题，一般而言，在考虑方向对力的平衡影响较小的构件可偏于安全而忽略，当有足够刚度时，应取与板共同工作的单元，并吸收在结构模型中，这样的构件与板单元相比，尺寸相差较大，所以，作为杆单元处理较多。（7）计算结果的评价FEM计算结果是一个近似值，它是否能充分体现结构的受力行为，而且，把FEM计算结果与杆构件分析同时考虑时，能否反映到设计中去，都是当下应该研究的问题。（8）分析结果的整理由于FEM分析给出的二维资料，给出数值的部位不能判别其单元和节点编号等原因，FEM分析结果需用图表的形式表示。为使该图表将来能直接利用，希望制成某种规格化的形式。从而，依其目的应全部输出所必要的最小限度的结果，并需作某种校核。图3.1 FEM分析判断流程3.2 分析计划3.2.1 基本构思在结构设计等中，实际应用FEM分析前，必须明确以下三点：FEM分析的必要性FEM分析的目的选定应用哪一种FEM模型分析3.2.2 FEM分析的必要性作为计算，必须研究取什么样的FEM对象，一般而言，以下情况不必要进行FEM分析。对于想知道的数值，用骨架模型及其他分析计算有较好的精度并容易计算时。已经实施的同类计算中，如果采用其结果，该问题可进行理论推导时。根据实验和经验，特别是即使不进行FEM分析也能确认其安全性时。3.2.3 FEM分析目的相应于FEM分析目标，因变化模型化的方法，在设计等中应用FEM分析前，必须明确FEM分析目标。一般FEM分析有以下目的（参照第1章FEM的用途）应力流的方向有断面狭窄的部位，预计应力集中时（应力集中问题）。为使应力流匀顺，设有圆弧部等，根据圆弧部的形状需求得什么样应力流的问题（应力缓和的问题）。应力流向支点等扩展至较大的范围，主应力流经什么部位不明确（应力分配问题）。索夹、鞍座、销轴板等构造和形状特殊，用FEM以外的分析方法按所要求的精度又没有求解应力分布的方法时（特殊结构模型）。节点板等处，来自各方向构件的力交汇于此，产生最大应力的位置不明确（节点应力检验）。塔顶是由多方向不同板接合的复杂结构，各板之间的应力流和分配不明确（三维板结构）。3.2.4 单元模型的分类FEM分析的结构，按其变形和荷载情况分类，如图3.2所示。图3.2 分析模型分类对于通常钢结构，给出了a1至b3五种FEM分析模型，相应于每种模型，可各用至种单元，或二种以上单元的混合。从而，为了建立FEM分析模型，首先需判定哪一种分析模型合适，然后，以着眼部位为中心，考虑板和荷载方向、力流等，判定选用哪一种单元。以下是图3.2种各用语的简单说明。a. 两维问题这是求解全部单元处于一个平面内的结构的问题。a1.面内变形模型二维面内变形是指各单元的变形都限于其面内的结构模型，当然，荷载也应转换为平行于该平面的荷载。在FEM分析中面内变形模型是最基本的模型。a2.面外变形模型二维面外变形是指各单元的变形限于垂直于该面的方向。荷载也限于垂直于该平面。b.三维问题这是求解2个以上平面组成的结构，或在三个方向有大尺寸结构的问题。b1.面内模型的接合面内模型接合是指作为三维结构的整体由各方向的平面构成，三维变形仅视为在构成各平面的本身产生面内变形。通常是用于结构的钢材作为抵抗所设置平面内的变形，垂直于该平面方向的另一平面用另外钢材来抵抗其变形。三维FEM通常多指这种情况。b2. 面内和面外模型的接合这是指面内面外均有变形的板组合在一起的结构。由平板组成的结构，如不采用这种自由度最大的单元模型，就不能求得充分解的例子很少，可用于圆管等独特形状的结构。同样根据板荷载方向，既可视为面内模型，也可视为面外模型，这时可各自独立求解。b3. 实体模型结构由三维方向的中实体组成时，应使用有三轴变位自由度的单元。用于鞍座、索夹支承部等铸造制品的内部应力分析。实际上，在近似于力的作用方向切取一平面部分，作为a1的面内处理者较多。这样建立模型是容易的，选择这样的模型和荷载其结果的安全性是没有问题的。各模型的形状概要如图3.3所示。图3.3 FEM分析模型举例各单元定义概要如下：平面单元：平面单元是指仅在设置的平面2个方向有变形自由度，并且一个单元的材质和厚度一定。应力也只在平面内产生，在板厚方向，2个方向产生的轴向应力和剪应力是一样的。平面弯曲单元：单元形状与平面单元虽然一样，但是，如桥面板，在其平面内和垂直平面内都产生变形，这种单元称平面弯曲单元。应力为弯曲应力，板厚方向应力是变化的，中性轴处为0，单元的上下缘产生正、负最大应力。输出通常是2个方向单位长度的弯矩Mx、My、扭矩Mz。平面壳单元：平面壳单元是指上述二个方向自由度共有的单元，但是，在平面板结构分析中，可把二个方向单独分析的结果叠加，所以，这种同时考虑二个方向自由度单元的使用例很少。通常是把圆管状结构作为平面单元的集合求解时采用。这种结构形状大体明确时才用该单元分析，由于断面对称性，取1/2、1/4模型就已足够精确。曲面壳单元：曲面壳单元是指单元本身在一个方向或二个方向具有曲率，用于圆筒、球、圆顶屋面等结构的分析，这时与其他单元并用的情况很少。实体单元：实体单元是为分析中实体模型而采用的单元，有三个方向变位自由度。一般仅从所考虑的中实体取出进行分析，与其他单元并用的情况很少。另外，在求解整体结构的骨架模型中，中实体是作为刚体处理。各单元的力学性能参照第2章中的单元特性。3.2.5 决定分析模型必须考虑荷载作用状态、边界条件、组成构件的变形性能等，选择合适的模型。（1）二维模型：现实结构均呈三维分布，但是，实际计算时，仅取出某个特定平面进行分析，实用上求得足够精度解者较多，这里把二维模型和三维模型作一比较。制成的二维模型与三维模型进行比较，容易较少出错误。因取较多的单元数量，可达到二维部分范围内的精度。因在一个平面上输出结果，视觉上易于理解，也容易追踪最大应力的由来。电算程序简单、便于普及。由于二维模型有以上优点，尽可能采用平面FEM模型。但是，为了用二维模型求解三维结构，力学上应满足以下条件为前提：该平面与在同一结构的其他平面可视为独立的行为。具体地说，必须确认或保证来自其他平面作用在被评定平面上的力均为0或已知。作为分析对象而被取出的板上连接加劲肋、翼缘等板时，视肋、翼缘与板一起工作，以及把其刚度吸收到平面模型中的方法是明确的。依据上述条件，把三维结构变换成二维模型的基本形式有以下3种。荷载作用在一方向产生较大的面内行为，抵抗面内方向的板是否可视为独立的，或者在何种形状下力的分配是明确的，这种情况时，消去面外弯曲的板或者仅把其面内刚度作为吸收在杆构件等中而进行评价，据此可简化成二维模型。但是，抵抗面内方向的主要构件是复数且刚性不同，不能进行力的分配时，必须用三维模型进行分析。虽然是不同方向的板连接的结构，一块板刚性支撑另一板，或刚度有显著差异，根据这些理由，从一板到另一板的荷载途径很明确。能把各板逐个分析。首先是对承载板进行二维FEM分析，这时，在整体结构体系中垂直于该板为承受反力的板，在对象模型上作为全部支点，将该支点的反力作为残留板上的荷载进行加载。图3.4例中，可按板A、B、C顺序进行分析。图3.4 将结构的每块板逐次分析但是各板之间是弹性支撑，当板的数量较多时，此分析只能理解为大体的应力流。想知道更精确的应力时，应用三维模型等方法，并校核其分析精度。对于实体结构，力作用在一个方向，且厚度方向视为均等分布时，可用二维模型分析。例如，索夹、鞍座分析中，可取其断面进行分析。当三维结构转换成二维模型的条件不存在时，应按下述的三维模型进行分析。（2）三维模型：带有加劲肋等由平板构成的结构，其三维行为属于下面的哪一种，应把握荷载及变形状态，必须选定与此相应的分析模型。设置在各平面内的所有板均在平面内发生的面内变形。 （b1）一部分板发生面外变形，其余板发生面内变形。 （b1）一部分板发生面外、面内变形，残留板在面内发生的变形。 （b2）所有板在面外面内均发生变形。 （b2）材料有三维尺寸，并在三个方向发生变形。 （b3）但是，项可简化成前述的二维模型时，应进行研究。另外，当单元数受一定限制时，可用粗分单元进行三维模型分析，以特别着眼的平面板的边界条件的结果作为输入，用二维FEM模型精确求解时可使用图形放大法求解。3.3 设定分析区域进行有限元分析时，首先应决定从研究结构中取出哪一部分作为分析区域。3.3.1 分析边界的种类分析区域必然要赋予以下某种条件，实际上选择靠近该区域的边或点是重要的。应力和应变为0（数值计算中虽然不是0，但单元划小，收敛为0）。变位为0或指定值。0时为固定支座，指定值时为移动支座。作用的外力已知。满足变位与反力有某种比例关系（弹簧支座）。3.3.2 取出分析区域的方法从结构整体中取出局部区域的选定方法大体分类如下，以及各自应注意事项。（1）根据自由端或不同方向的板至被支承处的取出方法这是三维板的集合，往往是对每块板进行单独分析时使用。例如图3.5所示的吊桥塔顶处，这里是由顶板、侧板、加劲肋等多种板的集合，可将此划分为顶板与4面侧板，各自单独进行平面FEM分析。作为这种取出方法，分析区域的边界虽然明确，但需预测其边界的应力流、设置等效荷载或支点，而且，必须明确边界的设定条件。如不是这样的情况，该边界假定条件应根据其计算结果或用三维分析确认。例如，取出图3.5的侧板进行平面FEM分析时，顶板的影响，两侧侧板的影响，肋的处理等各边界应研究的问题虽有许多，但是，与三维分析相比平面分析的优点是，因为单元数量富裕，可以增加开孔等重要部位的单元细划分。根据荷载方向，顶板、两侧侧板，以及方向不同板的存在，原则上应作以下处理：顶板等荷载流经的板作为荷载条件处理。应把来自顶板的分布反力作为荷载。侧板等分担一部分荷载的板可作为固定支点或弹性支点处理，或者作为加劲杆构件吸收到分析体系中。把在横隔板等处主荷载流经的板作为支点。图3.5 三维结构取出方法举例这样取出的板多数整体上是对称的，这时，实际计算中，如沿中线排列设置支点，只用一半单元就可解决。（参照图3.6）图3.6 对称结构模型化举例（2）从结构切取一部分的取出方法对