机理分析模型ppt课件.ppt

1 第五章机理分析建模法 机理分析方法立足于揭示事物内在规律 机理分析是根据对现实对象特性的认识 分析其因果关系 找出反映内部机理的规律 的认识来源对现实对象 与问题相关的物理 化学 经济等方面的知识 通过对数据和现象的分析对事物内在规律做出的猜想 模型假设 模型特点 有明确的物理或现实意义 2 5 1微分方程的建立 实际问题需寻求某个变量y随另一变量t的变化规律 y y t 直接求很困难 建立关于未知变量 未知变量的导数以及自变量的方程 建立变量能满足的微分方程 哪一类问题 3 在工程实际问题中 改变 变化 增加 减少 等关键词提示我们注意什么量在变化 关键词 速率 增长 衰变 边际的 常涉及到导数 建立方法常用微分方程 运用已知物理定律 利用平衡与增长式 运用微元法 应用分析法 机理分析法 4 建立微分方程模型时 应用已知物理定律 可事半功倍 例5 1 1一个较热的物体置于室温为180c的房间内 该物体最初的温度是600c 3分钟以后降到500c 想知道它的温度降到300c需要多少时间 10分钟以后它的温度是多少 牛顿冷却 加热 定律 将温度为T的物体放入处于常温m的介质中时 T的变化速率正比于T与周围介质的温度差 一 运用已知物理定律 5 分析 假设房间足够大 放入温度较低或较高的物体时 室内温度基本不受影响 即室温分布均衡 保持为m 采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似 建立模型 设物体在冷却过程中的温度为T t t 0 T的变化速率正比于T与周围介质的温度差 翻译为 数学语言 6 建立微分方程 其中参数k 0 m 18 求得一般解为 ln T m kt c 代入条件 求得c 42 k 最后得 T t 18 42 t 0 7 结果 T 10 18 42 25 870 该物体温度降至300c需要8 17分钟 二 利用平衡与增长式 许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性 如封闭区域内的能量 货币量等 利用变量间的平衡与增长特性 可分析和建立有关变量间的相互关系 续例2 3人口增长模型 对某地区时刻t的人口总数P t 除考虑个体的出生 死亡 再进一步考虑迁入与迁出的影响 8 在很短的时间段 t内 关于P t 变化的一个最简单的模型是 t时间内的人口增长量 t内出生人口数 t内死亡人口数 t内迁入人口数 t内迁出人口数 t时间内的净改变量 t时间内输入量 t时间内输出量 般化更一 基本模型 不同的输入 输出情况对应不同的差分或微分方程 9 输入量 含系统外部输入及系统内部产生的量 输出量 含流出系统及在系统内部消亡的量 此类建模方法的关键是 分析并正确描述基本模型的右端 使平衡式成立 例5 1 2战斗模型两方军队交战 希望为这场战斗建立一个数学模型 应用这个模型达到如下目的 1 预测哪一方将获胜 2 估计获胜的一方最后剩下多少士兵 3 计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗 10 模型建立 设x t t时刻X方存活的士兵数 y t t时刻Y方存活的士兵数 假设 1 双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗 x t 与y t 都是连续变量 2 Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X方军队a名士兵 3 X方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队b名士兵 t时间内X军队减少的士兵数 t时间内Y军队消灭对方的士兵数 平衡式 11 即有 x ay t 同理 y bx t 三 微元法 基本思想 通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况 12 例5 1 3一个高为2米的球体容器里盛了一半的水 水从它的底部小孔流出 小孔的横截面积为1平方厘米 试求放空容器所需要的时间 对孔口的流速做两条假设 1 t时刻的流速v依赖于此刻容器内水的高度h t 2 整个放水过程无能量损失 分析 放空容器 容器内水的体积为零 容器内水的高度为零 13 模型建立 由水力学知 水从孔口流出的流量Q为通过 孔口横截面的水的体积V对时间t的变化率 即 S 孔口横截面积 单位 平方厘米 h t 水面高度 单位 厘米 t 时间 单位 秒 当S 1平方厘米 有 14 h t h h 在 t t t 内 水面高度h t 降至h h h 0 容器中水的体积的改变量为 V V h V h h h 3 r12 r22 o h r2 h o h r1 r2 15 令 t0 得 dV r2dh 2 比较 1 2 两式得微分方程如下 积分后整理得 0 h 100 16 四 分析法 令h 0 求得完全排空需要约2小时58分 基本思想 根据对现实对象特性的认识 分析其因果关系 找出反映内部机理的规律 例5 1 4 独家广告模型 广告是调整商品销售的强有力的手段 广告与销售量之间有什么内在联系 如何评价不同时期的广告效果 分析广告的效果 可做如下的条件假设 1 商品的销售速度会因广告而增大 当商品在市场上趋于饱和时 销售速度将趋于一个极限值 17 2 商品销售率 销售加速度 随商品销售速度的增高而降低 3 选择如下广告策略 t时刻的广告费用为 建模记S t t时刻商品的销售速度 M 销售饱和水平 即销售速度的上限 0 衰减因子 广告作用随时间的推移而自然衰减的速度 直接建立微分方程 18 称