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1 一 利用柱面坐标计算三重积分 二 利用球面坐标计算三重积分 9 5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 柱面坐标 柱面坐标系的坐标面 直角坐标与柱面坐标的关系 柱面坐标系中的体积元素 柱面坐标系中的三重积分 球面坐标 球面坐标系的坐标面 直角坐标与球面坐标的关系 球面坐标系中的体积元素 球面坐标系中的三重积分 2 一 利用柱面坐标计算三重积分 设M x y z 为空间内一点 则点M与数r q z相对应 其中P r q 为点M在xOy面上的投影的极坐标 这里规定r q z的变化范围为 0 r 0 q 2 z r z P r q M x y z x y 三个数r q z叫做点M的柱面坐标 3 一 利用柱面坐标计算三重积分 坐标面r r0 q q0 z z0的意义 r0 z0 设M x y z 为空间内一点 则点M与数r q z相对应 其中P r q 为点M在xOy面上的投影的极坐标 这里规定r q z的变化范围为 0 r 0 q 2 z 三个数r q z叫做点M的柱面坐标 4 直角坐标与柱面坐标的关系 柱面坐标系中的体积元素 dv rdrdqdz 柱面坐标系中的三重积分 5 解闭区域W可表示为 r2 z 4 0 r 2 0 q 2 于是 z x2 y2 或z r2 例1 6 二 利用球面坐标计算三重积分 这样的三个数r j q叫做点M的球面坐标 设M x y z 为空间内一点 则点M与数r j q相对应 其中r为原点O与点M间的距离 j为有向线段与z轴正向所夹的角 q为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角 这里r j q的变化范围为0 r 0 j 0 q 2 z P M x y z x y 7 坐标面r r0 j j0 q q0的意义 r 8 点的直角坐标与球面坐标的关系 球面坐标系中的体积元素 dv r2sinjdrdjdq 柱面坐标系中的三重积分 9 例2求半径为a的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立体的体积 2a 10 例2求半径为a的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立体的体积 解该立体所占区域W可表示为 0 r 2acosj 0 j a 0 q 2 于是所求立体的体积为 2a 11 例3求均匀半球体的重心 解取半球体的对称轴为z轴 原点取在球心上 又设球半径为a 显然 重心在z轴上 故 x y 0 12 解取球心为坐标原点 z轴与轴l重合 又设球的半径为a 例4求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量 则球体所占空间闭区域W可用不等式x2
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