二元一次不等式(组)与.ppt

要点梳理1 二元一次不等式 组 表示平面区域作二元一次不等式Ax By C 0 或Ax By C 0 表示的平面区域的方法步骤 1 在平面直角坐标系中作出直线Ax By C 0 2 在直线的一侧任取一点P x0 y0 特别地 当C 0时 常把 作为此特殊点 二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 原点 基础知识自主学习 3 若Ax0 By0 C 0 则包含点P的半平面为不等式 所表示的平面区域 不包含点P的半平面为不等式 所表示的平面区域 2 线性规划的有关概念 1 线性约束条件 由条件列出一次不等式 或方程 组 2 线性目标函数 由条件列出一次函数表达式 3 线性规划问题 求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题 4 可行解 满足 的解 x y 5 可行域 所有 的集合 Ax By C 0 Ax By C 0 线性约束条件 可行解 6 最优解 使 取得最大值或最小值的可行解 3 利用线性规划求最值 一般用图解法求解 其步骤是 1 在平面直角坐标系内作出可行域 2 作出目标函数的等值线 3 确定最优解 在可行域内平行移动目标函数等值线 从而确定 4 求最值 将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 目标函数 最优解 4 线性规划实质上是 数学思想方法在一个方面的体现 将最值问题借助图形直观 简便地寻找出来 是一种较快地求最值的方法 5 在求解应用问题时要特别注意题意中的 不可将范围盲目扩大 数形结合 变量的取值 范围 基础自测1 下列各点中 不在x y 1 0表示的平面区域的是 A 0 0 B 1 1 C 1 3 D 2 3 解析将选项A B C D中的坐标代入x y 1验证可得C符合题意 C 2 若点 1 3 和 4 2 在直线2x y m 0的两侧 则m的取值范围是 A m10B m 5或m 10C 5 m 10D 5 m 10解析由题意可得 2 1 3 m 2 4 2 m 0 即 m 5 m 10 0 5 m 10 C 3 设A x y x y 1 x y是三角形的三边长 则A所表示的平面区域 不含边界的阴影部分 是 解析由已知得答案A 4 不等式组所表示的平面区域的面积等于 A B C D 解析不等式组表示的平面区域如图所示 由得交点A的坐标为 1 1 又B C两点的坐标为 0 4 答案C 5 完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成 请木工需付工资每人50元 请瓦工需付工资每人40元 现有工人工资预算2000元 设木工x人 瓦工y人 请工人的约束条件是 解析由题意可得 题型一二元一次不等式 组 表示的平面区域 例1 画出不等式组表示的平面区域 并回答下列问题 1 指出x y的取值范围 2 平面区域内有多少个整点 题型分类深度剖析 思维启迪 1 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集 因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 但要注意是否包含边界 2 整点是指横 纵坐标均为整数的点 解 1 不等式x y 5 0表示直线x y 5 0上及右下方的点的集合 x y 0表示直线x y 0上及右上方的点的集合 x 3表示直线x 3上及左方的点的集合 所以 不等式组表示的平面区域如图所示 结合图中可行域得 2 由图形及不等式组知当x 3时 3 y 8 有12个整点 当x 2时 2 y 7 有10个整点 当x 1时 1 y 6 有8个整点 当x 0时 0 y 5 有6个整点 当x 1时 1 y 4 有4个整点 当x 2时 2 y 3 有2个整点 平面区域内的整点共有2 4 6 8 10 12 42个 本题主要考查不等式表示的平面区域 数列求和及不等式的应用等基础知识 考查了数形结合的方法和逻辑推理能力 1 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集 因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 2 在封闭区域内找整点数目时 若数目较小时 可画网格逐一数出 若数目较大 则可分x m逐条分段统计 探究提高 知能迁移1如图 ABC中 A 0 1 B 2 2 C 2 6 写出 ABC区域所表示的二元一次不等式组 解由已知得直线AB BC CA的方程分别为 直线AB x 2y 2 0 直线BC x y 4 0 直线CA 5x 2y 2 0 原点 0 0 不在各直线上 将原点坐标代入到各直线方程左端 结合式子的符号可得不等式组为 题型二求目标函数的最值问题 例2 2009 海南 宁夏 6 设x y满足则z x y A 有最小值2 最大值3B 有最小值2 无最大值C 有最大值3 无最小值D 既无最小值 也无最大值先作出可行域 然后作出与直线x y 0平行的直线 通过平移 在可行域内找到最优解 从而求出最大 最小值 思维启迪 解析如下图作出不等式组表示的可行域 由于z x y的斜率大于2x y 4的斜率 因此当z x y过点 2 0 时 z有最小值 但z没有最大值 答案B 探究提高 1 首先把二元一次不等式所表示的平面区域在平面中准确地表示出来 然后求交集 就是不等式组所表示的平面区域 但要注意是否包括边界 求目标函数的最大值或最小值 必须先求出准确的可行域 作出目标函数的等值线 根据题意 确定取得最优解的点 从而求出最值 一般直线的交点是最值点 特殊的当表示线性目标函数的直线与可行域的某边平行时 其最优解可能有无数多个 2 目标函数为线性时 目标函数的几何意义与直线的截距有关 若目标函数为形如可考虑 a b 与 x y 两点连线的斜率 若目标函数为形如z x a 2 y b 2 可考虑 x y 与 a b 两点距离的平方 知能迁移2 2009 浙江 若实数x y满足不等式组则z 2x 3y的最小值是 解析作出不等式表示的可行域如图所示 由于2x 3y z的斜率故z 2x 3y在点 2 0 处取得最小值4 4 题型三线性规划的简单应用 例3 某公司仓库A存有货物12吨 仓库B存有货物8吨 现按7吨 8吨和5吨把货物分别调运给甲 乙 丙三个商店 从仓库A运货物到商店甲 乙 丙 每吨货物的运费分别为8元 6元 9元 从仓库B运货到商店甲 乙 丙 每吨货物的运费分别为3元 4元 5元 问应如何安排调运方案 才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少 由于题目中量比较多 所以最好通过列出表格以便清晰地展现题目中的条件 设出仓库A运给甲 乙商店的货物吨数可得运到丙商店的货物吨数 列出可行域 即可求解 思维启迪 解将已知数据列成下表 设仓库A运给甲 乙商店的货物分别为x吨 y吨 则仓库A运给丙商店的货物为 12 x y 吨 从而仓库B运给甲 乙 丙商店的货物分别为 7 x 吨 8 y 吨 5 12 x y x y 7 吨 于是总运费为z 8x 6y 9 12 x y 3 7 x 4 8 y 5 x y 7 x 2y 126 商店 仓库 每吨运费 线性约束条件为目标函数为z x 2y 126 作出上述不等式组表示的平面区域 其可行域如图中阴影部分所示 作出直线l x 2y 0 把直线l平行移动 显然当直线l移动到过点 0 8 时 在可行域内 z x 2y 126取得最小值zmin 0 2 8 126 110 即x 0 y 8时总运费最少 安排的调运方案如下 仓库A运给甲 乙 丙商店的货物分别为0吨 8吨 4吨 仓库B运给甲 乙 丙商店的货物分别为7吨 0吨 1吨 此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少 解线性规划应用问题的一般步骤是 1 分析题意 设出未知量 2 列出线性约束条件和目标函数 3 作出可行域并利用数形结合求解 4 作答 探究提高 知能迁移3某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用A原料3吨 B原料2吨 生产每吨乙产品要用A原料1吨 B原料3吨 销售每吨甲产品可获得利润5万元 每吨乙产品可获得利润3万元 该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨 B原料不超过18吨 那么该企业可获得的最大利润是 A 12万元B 20万元C 25万元D 27万元 解析设生产甲产品x吨 乙产品y吨 则获得的利润为z 5x 3y 由题意得可行域如图阴影所示 由图可知当x y在A点取值时 z取得最大值 此时x 3 y 4 z 5 3 3 4 27 万元 答案D 题型四线性规划的综合应用 例4 12分 实数x y满足 1 若求z的最大值和最小值 并求z的取值范围 2 若z x2 y2 求z的最大值与最小值 并求z的取值范围 1 表示的是区域内的点与原点连线的斜率 故的最值问题即为直线的斜率的最大值与最小值 2 z x2 y2的最值表示的是区域内的点与原点的两点距离的平方的最大值 最小值 思维启迪 解作出可行域如图阴影部分所示 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率 4分因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率 OA斜率不存在 zmax不存在 zmin 2 z的取值范围是 2 7分 2 z x2 y2表示可行域内的任意一点与坐标原点的两点间距离的平方 9分因此x2 y2的范围最小为 OA 2 取不到 最大为 OB 2 由得A 0 1 OA 2 02 12 1 OB 2 12 22 5 zmax 5 z无最小值 故z的取值范围是 1 5 12分 探究提高本例与常规线性规划不同 主要是目标函数不是直线形式 此类问题常考虑目标函数的几何意义 常见代数式的几何意义主要有以下几点 1 表示点 x y 与原点 0 0 的距离 表示点 x y 与 a b 的距离 2 表示点 x y 与原点 0 0 连线的斜率 表示点 x y 与点 a b 连线的斜率 理解这些代数式的几何意义 往往是解决问题的关键 知能迁移4在如图所示的坐标平面的可行域内 阴影部分且包括边界 若目标函数z x ay取得最小值的最优解有无数个 则的最大值是 A B C D 解析目标函数z x ay可化为由题意a 0且当直线与lAC重合时符合题意 此时kAC 1 a 1 的几何意义是区域内动点与P 1 0 连线的斜率 显然kPC 最大 答案B 1 平面区域的画法 二元一次不等式的标准化与半平面的对应性 对于A 0的直线l Ax By C 0 Ax By C 0对应直线l右侧的平面 Ax By C 0对应直线l左侧的平面 由一组直线围成的区域形状常见的有 三角形 四边形 多边形以及扇形域和带状域等 方法与技巧 思想方法感悟提高 2 转化 求二元一次函数z ax by ab 0 的最值 将函数z ax by转化为直线的斜截式 通过求直线的截距的最值间接求出z的最值 3 实数最优解一定在顶点或边界取得 经过区域内整数最优解的直线距实数最优解最近 4 线性规划应用题建模的思路 一般以 资源 产品 收益 为主线 设元时将产品数量设为x y 将收益多少设为z 资源数量为常数a b c等 这样z与x y之间的关系就是目标函数 而x y与a b c等之间的关系就是约束条件 1 二元一次不等式与半平面的对应关系 比如 二元一次不等式Ax By C 0 当A 0时表示直线l Ax By C 0右侧的平面 当A0时 截距取最大值时 z也取最大值 截距取最小值时 z也取最小值 当b 0时 截距取最大值时 z取最小值 截距取最小值时 z取最大值 失误与防范 一 选择题1 2009 福建 在平面直角坐标系中 若不等式组 a为常数 所表示的平面区域的面积等于2 则a的值为 A 5B 1C 2D 3 定时检测 解析由得A 1 a 1 由得B 1 0 由得C 0 1 ABC的面积为2 且a 1 S ABC a 1 2 a 3 答案D 2 若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分 则k的值是 解析不等式组表示的平面区域如图所示 由于直线y kx 过定点因此只有直线过AB中点时 直线y kx 能平分平面区域 因为A 1 1 B 0 4 所以AB中点答案A 3 若实数x y满足条件目标函数z 2x y 则 A zmax B zmax 1C zmax 2D zmin 0解析如图所示 当z 2x y过时 C 4 已知点P x y 满足点Q x y 在圆 x 2 2 y 2 2 1上 则 PQ 的最大值与最小值为 A 6 3B 6 2C 5 3D 5 2解析可行域如图阴影部分 设 PQ d 则由图中圆心C 2 2 到直线4x 3y 1 0的距离最小 则到点A距离最大 得A 2 3 dmax CA 1 5 1 6 B 5 在 家电下乡 活动中 某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇 现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用 每辆甲型货车运输费用400元 可装洗衣机20台 每辆乙型货车运输费用300元 可装洗衣机10台 若每辆车至多只运一次 则该厂所花的最少运输费用为 A 2000元B 2200元C 2400元D 2800元 解析设需甲型货车x辆 乙型货车y辆 由题意知作出其可行域如图所示 可知目标函数z 400 x 300y在点A处取最小值 zmin 400 4 300 2 2200 元 答案B 6 点P x y 在直线4x 3y 0上 且x y满足 14 x y 7 则点P到坐标原点距离的取值范围是 A 0 5 B 0 10 C 5 10 D 5 15 解析如图所示 可知直线4x 3y 0分别与直线x y 14 x y 7的交点为P1 6 8 P2 3 4 易知 OP1 10 OP2 5 故 OP 的取值范围为 0 10 B 二 填空题7 设x y满足约束条件则z x 2y的最小值是 最大值是 解析如图所示 由题意得A 3 4 由图可以看出 直线x 2y z过点 1 0 时 zmin 1 过点 3 4 时 zmax 3 2 4 11 1 11 8 某公司租赁甲 乙两种设备生产A B两类产品 甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件 乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件 已知设备甲每天的租赁费为200元 设备乙每天的租赁费为300元 现该公司至少要生产A类产品50件 B类产品140件 所需租赁费最少为 元 解析设需租赁甲种设备x台 乙种设备y台 目标函数为z 200 x 300y 作出其可行域 易知当x 4 y 5时 z 200 x 300y有最小值2300元 答案2300 9 已知实数x y满足不等式组目标函数z y ax a R 若取最大值时的唯一最优解是 1 3 则实数a的取值范围是 解析如图所示 依题意直线x y 4 0与x y 2 0交于A 1 3 此时取最大值 故a 1 1 三 解答题10 若a 0 b 0 且当时 恒有ax by 1 求以a b为坐标的点P a b 所形成的平面区域的面积 解作出线性约束条件对应的可行域如图所示 在此条件下 要使ax by 1恒成立 只要ax by的最大值不超过1