类比推理与演绎推理.ppt

2 1 1合情推理与演绎推理 归纳推理 歌德巴赫猜想的提出过程 3 7 10 3 17 20 13 17 30 10 3 7 20 3 17 30 13 17 偶数 奇质数 奇质数 6 3 3 一个偶数 不小于6 总可以表示成两个奇质数之和 没有发现反例 8 3 5 10 5 5 12 5 7 14 7 7 16 5 11 1000 29 971 归纳推理的定义 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 称为归纳推理 简称归纳 简言之 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 例如 金 银 铜 铁受热后体积膨胀 它们是金属的部分小类对象 受热后分子的凝聚力减弱 分子运动加速 分子彼此距离加大 从而导致体积膨胀 所以 所有的金属受热后都体积膨胀 归纳推理的一般步骤 对有限的资料进行观察 分析 归纳整理 提出带有规律性的结论 即猜想 检验猜想 例1 已知数列 an 中 a1 1 且试归纳出这个数列的通项公式 费马猜想 任何形如 n N 的数都是质数 注意 归纳推理仅是猜想 其结论不一定正确 反例 可能存在生命 这种由两类对象具有某些类似特征 和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 简称类比 简言之 类比推理是由特殊到特殊的推理 类比推理的定义 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征 从而得出一个猜想 检验猜想 观察 比较 联想 类推 猜想新结论 类比推理的一般步骤 例2 试将平面上的圆与空间的球进行类比 圆的定义 平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合 球的定义 到一个定点的距离等于定长的点的集合 圆弦直径周长面积 球 截面圆 大圆 表面积 体积 球心与截面圆 不是大圆 的圆点的连线垂直于截面圆 与球心距离相等的两截面圆相等 与球心距离不等的两截面圆不等 距球心较近的截面圆较大 球的切面垂直于过切点的半径 经过球心且垂直于切面的直线必经过切点 经过切点且垂直于切面的直线必经过球心 课本P72探究 类比推理举例 可以从不同角度确定类比对象 构成几何体的元素数目 四面体三角形 例3 类比平面内直角三角形的勾股定理 试给出空间中四面体性质的猜想 3个面两两垂直的四面体 PDF PDE EDF 90 4个面的面积S1 S2 S3和S3个 直角面 S1 S2 S3和1个 斜面 S 2 1 2演绎推理 因为tan 三角函数 观察与思考 1 所有的金属都能导电 2 一切奇数都不能被2整除 3 三角函数都是周期函数 4 全等的三角形面积相等 所以铜能够导电 因为铜是金属 所以 2100 1 不能被2整除 因为 2100 1 是奇数 所以是tan 期函数 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等 如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论 这种推理称为演绎推理 注 演绎推理是由一般到特殊的推理 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情况 结论 据一般原理 对特殊情况做出的判断 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情况 结论 据一般原理 对特殊情况做出的判断 3 三段论推理的依据 用集合的观点来理解 若集合M的所有元素都具有性质P S是M的一个子集 那么S中所有元素也都具有性质P M S a 例4 如图 在锐角三角形ABC中 AD BC BE AC D E是垂足 求证 AB的中点M到D E的距离相等 1 因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形 在 ABC中 AD BC 即 ADB 900 所以 ABD是直角三角形 同理 ABD是直角三角形 2 因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 M是Rt ABD斜边AB的中点 DM是斜边上的中线 所以DM AB 同理EM AB 所以DM EM 大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论 证明 例 证明函数f x x2 2x在 1 上是增函数 满足对于任意x1 x2 D 若x1 x2 有f x1 f x2 成立的函数f x 是区间D上的增函数 任取x1 x2 1 且x10因为x1 x2 1所以x1 x2 2 0因此f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以函数f x x2 2x在 1 上是增函数 大前提 小前提 结论 证明 演绎推理是证明数学结论 建立数学体系的重要思维过程 数学结论 证明思路的发现 主要靠合情推理 合