高等代数教案第一章基本概念.doc

第一章 基本概念一 综述 1本章是本门课程所需要的最基本概念（集合、映射、整数的一些性质、数环和数域）和方法（数学归纳法、反证法）.所需位置不同,可根据课时安排及进度分散处理.如集合、整数的一些整除性质、数学归纳法、数环和数域可先讲,映射可放在线性空间前讲.2从内容上讲,除集合中的卡氏积的概念及数环、数域的概念外,其它内容是学生在中学数学当中熟知的,只不过是将有关内容的系统化、理论化（如整数的整除性、映射、数学归纳法,其在中学中熟知其一些事实,今在理论上加以严密论证）.3新的知识点是集合的卡氏积、数环、数域的概念,数学归纳法作为定理的论证.4学习本部分的难点是：从概念出发进行推理论证,这需要从具体例子引导训练,逐步培养.二 重点、难点1. 重点在于所有基本概念,特别是引入的新概念.2. 难点是可逆映射、整数的整除性、数学归纳法本身的证明.11 集 合一 教学思考1集合可以作为不定义的概念来处理,有些教材上给出了一个简单刻化.2确定一个集合A,就是要确定哪些是集合的元素,哪些不是集合的元素.说明一个集合包含哪些元素时,常用“列举法”、“示性法”（描述法）.3中学代数大部分的内容是计算,因此一开始遇到证明题时,往往不知从何入手,此需注意培养学生的推理能力,这里应通过证明“集合相等”来加强这方面的训练.4为稍拓宽知识,可讲解一下补集、幂集等概念.二 重点、要求1重点、难点：卡氏积的概念及从概念出发（集合相等、子集等）进行推理.2要求：使学生了解有关集合的刻化及运算,培养推理能力.三 教学过程 1集合：简称集,在此是一个不定义的原始概念,通常可给出如下描述性的解释：即所谓集合,是指由某些确定的事物（或具有某种性质的事物）组成的集体.其中每个事物称为这个集合的元素.常用大写字母A、B、C表示集合,用小写字母a、b、c表示集合的元素.若a是集合A的元素,就说a属于A,记作,或者说A包含a.若a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作aA,或者说A 不包含a.常采用两种方法： （1）列举法：列出集合的所有元素（包括利用一定的规律列出无限集）的方法.如.（2）示性法（描述法）：给出集合所具有的特征性质.如表示方程的解集.2集合的分类（按所含元素的个数分）：有限集：只含有有限多个元素的集合.无限集：由无限多个元素组成的集合.空集：不含任何元素的集合.用表示.约定：是任何集合的子集.3集合间的关系：（1） 设A、B是两个集合.子集：若A的每个元素都是B的元素,则称A是B的子集.（即若）.记作（读作A属于B）；或者（读作B包含A）.相等：若集合A和B是由完全相同的元素组成的,则称A与B相等,记为A=B.（2）性质：（由定义易得） A）；（反身性） B）若；（传递性） C）且A=B.（反对称性）4几个常用的数集（略）5集合的运算（由两个集合得到一个新的集合）交、并、补、卡氏积：设A、B是两个集合（1）并：由A的一切元素和B的一切元素组成的集合叫做A与B的并集,简称并.记作.即.（2）交：由集合A与B的公共元素组成的集合,叫做A与B的交集,简称交.记作.即.（3）余（差、补）：由一切属于A而不属于B的元素组成的集合,叫做B在A中的余（补）集,或称为A与B的差集.记作A-B.即.（4）积（卡氏积）：由一切元素对所成的集合称为A与B的笛卡儿积（简称为积）.其中第一个位置的元素取自A,第二个位置的元素取自B.记为.即.12 映 射一 教学思考1映射是近代数学中的一个基本概念.为使本部分内容更加系统化,可作必要的调整及层次化,按映射的概念（包括相等）及例子、映射的合成、几种特殊的映射来处理.2概念多且成系列,注意 帮助学生弄清概念的实质（包括概念的转述、注释、否定概念的描述、以及新概念与已有概念的联系,如映射的合成是函数与函数的合成的概念的推广）,注意训练从定义验证有关问题（给定一个法则是否为映射、分辨一个映射是不是单射、满射、可逆映射）的方法,语言要准确、清楚、有条理.同时初步领会怎样举例包括正例和反例（内容与作业中皆有此问题）.二 内容、重点、要求1 内容：映射、单、满、双（可逆）映射的概念、映射的合成等.2 重点：映射及有关概念,举例及由定义验证有关问题的方法.3 要求：理解并记住上述概念,学会举例与用定义的条件进行验证问题的方法.三 教学过程1概念与例子定义1. 设A、B是两个非空集合,A到B的一个映射指的是一个对应法则,通过这个法则,对于与它唯一对应.例子： （1）对令. （2）. （3）. （4）设A是任一集合,对. 这是A到自身的一个映射（称为A的变换）,称为恒等映射（此为恒等变换）,记为.定义2. 设都是A到B的映射,若对都有,则称映射与相等,记为.如：.有.2映射的合成（1）定义3. 设是两个映射,对,有,从而,这样,对就有C中唯一的与之对应,就得到A到C的一个映射,这个映射是由和所决定的,称为与的合成.记作.即：. 例子： .则. （2）映射合成满足结合律： 设则由合成映射的定义可得的两个映射：,则.3几类特殊映射定义4. 设对有,则所有这样的象所作成B的子集,用表示,即,叫做A在下的象,或叫做映射的象.（1）满射: 定义5. 设是一映射,若,则称是A到B上的一个映射,也称是一个满射.（2）单射: 定义6. 设是一个映射,若对,只要,就有,则称是A到B的一个单射,简称单射.（3）双射（1-1对应）:定义7. 若既是单射又是满射,即 1）若 ； 2）.则称是A到B的一个双射.特别若是A到A上的一个1-1对应,就称为A的一个一一变换；有限集A到自身的双射称为A的一个置换.如：是A的一个一一变换,同样是B的一个一一变换.由映射合成及相等：若,则有.TH1.2.1令是一个映射,则：下述两条等价：1）是双射；2）存在使得.且2）成立时,其中的由唯一决定.（4）可逆映射及其逆映射定义8. 设,若存在,使得,则称是可逆映射,且称为的逆映射.求其逆的方法由定理知：可逆是双射.而验证双射有具体方法,所以可先证可逆（双射）,再求其逆.而由TH1证知可逆时其逆唯一为（若（即对,找在下的原象）.（5）代数运算引例：我们常说整数加法是整数的一个“代数运算”.其意思是说对任一对整数,有确定的唯一一个整数（通过相加）与之对应,用映射的观点来说整数加法是的一个映射：.同样实数乘法亦然.一般地：定义9. 设A是一个非空集合,我们把的一个映射叫做集合A的一个代数运算.若集合A 有代数运算,也说A对封闭.1.3 数学归纳法一 教学思考1. 本节主要介绍了数学证明中的一种非常重要的方法数学归纳法；对于该内容学生不感陌生,因在中学内容中曾会应用.问题在于数学归纳法自身的理论证明,为此需要一个原理（自然数集的）最小数原理.2. 本节主要讲清最小数原理（给出分析证明及必要的说明）,以及在此基础上的数学归纳法的证明.但更重要的是归纳法的解释从特殊认识一般的思想方法,及数学归纳法应用中的关键（第二步）的突破.二 内容、重点、要求1. 内容：最小数原理、数学归纳法（第一、第二）.2. 重点：数学归纳法的证明、应用,归纳思想的建立.3. 要求：了解最小数原理、理解数学归纳法的证明、掌握数学归纳法的应用.三 教学过程引言：现实生活中经常使用这种方法：即首先考察、研究某些个别特殊的事物,再由这些事物总结和抽象出带有一般性规律和结论.这样的方法叫归纳法.1. 数学归纳法的基础自然数集的一个基本性质：最小数原理最小数原理：自然数集的任一非空子集必含有一个最小数,即,对都有.2. 数学归纳法TH1.3.1（第一数学归纳法）设有一个与自然数有关的命题,若满足下列两条：1）当时成立；2）假设时成立,则当时也成立.则命题对于一切自然数都成立.TH1.3.2（第二数学归纳法原理）设有一个与自然数有关的命题,若满足下列两条：1）当时成立；2）假设命题对于一切小于的自然数都成立时,命题对于也成立.则命题对于一切自然数都成立.1.4 整数的一些整除性质一 教学思考1. 整数的性质是学生熟知的,本节只是将其系统化、理论化.主要从整除的定义、性质、带余除法,最大公因数及性质,互素三方面作了介绍.新的问题是有些概念较之在中学的概念有所区别,理论证明中运用最小数原理还不适应.2. 本节的目的主要为在多项式部分有与之平行的内容,助于学生对多项式类似内容的理解.作为自身的内容,需要将该部分层次化得清晰些.二 内容、重难点、要求1. 内容：整数的整除性、带余除法、最大公因数及性质、互素.2. 重难点：带余除法、最大公因数的性质定理的证明.3. 要求：掌握有关概念、证明整除的方法、反证法的运用.三 教学过程引言: 整除是研究整数性质的最基本的概念,从这个基本概念出发引进带余除法和辗转相除法,然后利用这两个工具建立了最大公因数（和最小公倍数）的理论（进一步证明了非常有用的算术基本定理）,这些都是初等数论的基本内容.注意：本节所述的概念在小学、中学是熟知的事实,但未加以严格的叙述,因而不要盲目地相当然,要从中体会严格的推理论述.此与多项式相应的问题平行,到时应对照学习.1. 整除、带余除法（1）整除A）定义1. 设,若使得,则称整除（或被整除）.用符号表示.这时叫做的一个因数,而叫做的一个倍数.若不整除（即对）,记作.B）整除的性质：1）； （传递性）2）3）；4）由2）、3）；5）；由此任意整数有因数,它们称为的平凡因数；6）若；7）且或.（对称性）(2) 带余除法 “整除”是整数间的一种关系,任意两个整数可能有这种关系,可能没有这种关系,一般地有：TH1.4.1(带余除法) 设,且；那么使得 且.满足上述条件的是唯一的.2. 最大公因数、互素（1）最大公因数A）定义2. 设,若满足：1）且（即是与的一个公因数）；2）若且（即能被与的任一个公因数整除）.则称为与的一个最大公因数.最大公因数的概念可推广至有限个整数.B）最大公因数的存在性（及求法）TH1.4.2 任意个整数都有最大公因数；若为的一个最大公因数,则也是；的两个最大公因数至多相差一个符号.C）性质TH1.4.3 设为的一个最大公因数,那么使得.略证：若,则,从而对都有；若不全为0,由证明过程知结论成立. （2）互素定义3. 设,若,则称互素；一般地设,若,则称互素.TH1.4.4 个整数互素使得.3. 素数及其性质（1）定义4. 一个正整数叫做一个素数,若除外没有其他因数.（2）性质1）若是一个素数,则对有或.（注意转换为语言叙述,证易；略）2）且；则可被某一素数整除.3）TH1.4.5 设是一个素数,若,则或.15 数环和数域一 教学思考1. 数环、数域是本章引入的两个新概念,其是鉴于很多数学问题不仅与所讨论的范围（数集）有关,而且与数集所满足的运算有关.也就是说需论及所具有的运算.为体现这个问题,引入了数环、数域的概念.2. 数环、数域简而言之是分别关于加、减、乘和加、减、乘、除封闭的非空数集,这可知之联系与区别,且由于对于不同的运算的封闭性,可讨论各自具有的简单性质.3. 本节内容简洁,不难理解,需要注意的是：一、“任意数域都包含有理数域”的证法归谬法；二、给定一个数集验证是否是数环、数域；三、关于数环、数域的深入的问题因数环、数域都是数集,而集合有所谓的运算：交、并,那么