高考数列通项公式研究毕业论文.doc

高考数列通项公式研究毕业论文目 录 引言11求通项公式的方法12求通项公式方法选择策略123求通项公式注意的问题13 参考文献15高考数列通项公式研究摘要 本文主要总结了求数列通项公式的一些常用方法及它们针对的题型，这些方法是通过对递推公式的变形，进一步把问题转化为等差数列或等比数列的性质去求通项公式.主要介绍的有常系数线性差分法等十几种方法，在总结的基础上对一些较好的方法进行了改进,并对应高考题，为了能更快更准的求数列通项公式，在文章的最后说明了各种方法的选择原则及应该注意的事项。关键词 高考；数列; 通项公式; The university entrance exam series the general term formula researchAbstract This paper mainly summarizes the sequence of the general term for some of the commonly used method and formulas which aimed at these questions, the method is based on the deformation of the recursive formula the problem into further compares sequences of contiguous Numbers or to ask the general term formula nature. Mainly introduced in a constant coefficient linear difference method in dozens of method, on the basis of summarizing some good methods were improved, and the university entrance exam questions, in order to corresponding faster and more accurate formula, the general term for sequence at the end of the article illustrates the choosing principle and various methods should pay attention to matters. Key words the university entrance exam; series; the general term formula;数学与统计学院2011届毕业论文引 言自1978年高考制度恢复以来，数列作为其中一个重要的章节和必考的内容，每年都有新的考题，从2004年到2010年的数学高考（数学卷总分是150）中，数列曾分别出现在选择题（每道5 分）、填空题（每道45分）、解答题（每道为12-14分）。尤其是近几年（06年10年）的高考，对数列考察尤其频繁，全国考卷在数列这一章分值为1722分的，其他其省份地的卷子有所不同，但都会相应的考到，分值至少是10分，多数情况下会综合函数的内容。选择题相对简单，出现在综合题里面一般比较难。而求数列的通项公式更是其中一个必考最关键的知识点。因此，求数列的通项公式需要掌握一些常规题型和方法。这样便于在高考中快速解题，省时省力。1求通项公式的方法1.1构造等差数等比列法1.1.1如果递推公式为=或=（分别为常数）等式右边前面的系数是，后面加的是常数与的积，都有，,所以等式两边同除以，等式变形为，或,移项为或，所以数列为以为首项，以或为公差的等差数列形式，再直接利用等差数列的通项公式求得其通项公式例1(09年全国理科卷)设数列的前项和为，求数列的通项公式.解 由可得, -可得，即即数列是以首相为以公比为2的等比数列，所以，移项得，等式两边同除以得则数列是以首相为，以公差为等差数列，所以数列的通项公式 1.1.2.如果递推公式为=（分别为常数） 等式右边前面的系数是，后面加的是常数,所以设由恒等式的性质可以求出常数,等式变形为，等式两边同除以，得所以数列是以为首相，以为公比的等比数列形式，利用等比数列求其通项公式例2.(07年全国理科卷 21题)设数列的首相求数列，（）求的通项公式解 由题意可设，由得数列,则数列是以首相为，以公比的等比数列，所以，即数列的通项公式为（07年全国理科卷 22题也是同类型的题）1.2累加累乘法1.2.1如果递推公式为=（分别为常数）移项变为-依次写出-把以上个式子依次相加，即可得数列的通项公式例3（09年全国理科卷）在知数列中, a=1, 设，求的通项公式解 由两边同除以得依次写出其他几项，以上各式累计相加得：1.2.2如果递推公式为=（分别为常数）依次写出其他项 （已知）把上边个式子依次相乘起来可得数列a的通项公式例4（09年江西理科卷）各项均为正数的数列a，满足的正整数都有（1）当，求通项解 （1）当时，由，得将代入上式化简得所以 = =即可验证，满足题设条件。1.3待定系数法如果递推公式为=（分别为常数，且）等式右边前面的系数是，后面加的是,所以设，由恒等式的性质可以求出常数,等式变形为，等式两边同除以，得所以数列是以为首相，以为公比的等比数列形式，再直接利用等比数列的通项公式求其通项公式。例5（08四川理科卷20题）设数列的前项和为，已知，(）求的通项公式解 由题意可得 可得-整理得设可求得（时与例1中的做法相同，在这不赘述），则数列是以为首项，以为公比的等比数列，则所以1.4迭代法如果递推公式为=（为常数,且）则把上面各式依次迭代到=可求得的通项公式例6（08年广东理科卷21）已知是方程的两个根，数列满足（）求数列的通项公式解 （）由从而可写成 所以 令则有故当时， 而所以当时故对都有故1.5对数法如果递推公式为=分别为常数，且对等式两取对数设,由恒等式的性质可得得数列是以为首相，以为公比的等比数列，由等比数列的性质即可求的通项公式。（），（），两边取指数可以求得a的通项公式例7已知数列满足a=，a=5，求数列的通项公式.解：因为a=，a=5，所以a，在a=式两边取常用对数得设，把此式代入上式可得两边消去并整理，得则，故代入得则1.6数学归纳法如果递推公式是较为复杂的的多次式子，先写出几项，有规律，则通过猜想得出一般式，然后选择用数学归纳法证明可使问题很快迎刃而解.例8（07天津高考理科卷）在数列中，（）求数列的通项公式解：由 由此可猜想出数列的通项公式为以下用数学归纳法证明这个结论：（1）当时，等式成立.（2）当时等式成立，即那么， 这就是说，当时等式也成立。根据（1）（2）可知等式对任何都成立。08天津高考理科卷22题（）也可用数学归纳法求的通项公式九换元法如果递推公式是带根号的式子，用换元法把根号换掉，用构造新数列的形式解决。例9已知数列满足a=, a=1,求数列的通项公式解 令=，则a=得，也即则，可化为 所以是以为首项，以为公比的等比数列。因此，即=得1.7常系数线性差分如果递推公式为，设,这是一元二次方程，可解得 则的通项公式为：可通过特殊值解方程组解得例（年陕西文科高考卷）已知数列满足：（）求数列的通项公式解 由 得则有，解得则数列的通项公式为由解得则当时，所以1.8解方程法 如果已知题中是关于常数或字母的方程或方程组，那么通过求解方程或方程组得到数列的通项公式。注意对方程的根进行取舍，使得通项公式符合题意。例10 （09年广东理科卷21）已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（1）求数列的通项公式。解 (1)设直线得则 即 1.9直接代入分类讨论1.9.1如果已知题中是关于字母的递推式子，且字母的值给出，那么通过直接带入可得到数列的通项公式。注意归纳一一列出，使得通项公式符合题意。例 11 （08年上海卷）已知以为首项的数列满足： （）当，求数列的通项公式解 （）由带入得所以1.92分类讨论如果已知题中递推式中对的取值不定时，其通项公式也不同，那么需要对的取值一一分类进行讨论，归纳一一列出，使得通项公式符合的不同取值。例12（08全国湖南理科卷18）数列满足（）求，并求的通项公式解（）因为所以一般地，当时，即所以数列是以首项为1、公差为1的等差数列，因此当 时，所以数列是以首项为2、公比为2的等比数列，因此所以的通项公式为： 2求通项公式方法选择策略2.1若给出一个数列的前项和，则其通项为，若满足此通项公式，则通项公式可直接写成 . 2.2上述方法中公式法（例1和例2）的考题比较频繁，可以说这就是重要的考点，尤其是全国卷和卷。这样类型的题目较多，通过转换或有技巧的变形，都可以转化为构造新数列，并通过已知等差数列和等比数列的性质直接求得通项公式，在学习过程中，要多多练习，及时总结和体会。2.3对累加法和待定系数法在高考中的考察也相对也比较频繁，累加法比较简单高考真题类型固定，相应的做几道高考真题应该不成问题，但待定系数法相应较难，这样的高考真题也很多，收集起来类比去练习。这些题形式大都不相同，但最后通过转化可以待定系数法。2.4数学归纳法作为一个重要的证明方法，在求某些数列通项公式时，用处非常广泛方便，在一些省份（尤其是天津卷）和市区对数学归纳法很是偏重。迭代法不太常考，但相应的题目和思想还是应该掌握。对数变化法考的概率非常小，因为这样的题目太难，做起来费时费力。但对这样的题型还是要学会把握。2.5解答数列问题，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是数列复习应达到的目标和要求：函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是特殊的函数问题，因此某些等差等比数列可以化为函数问题解答. 分类讨论：用等比数列求和公式应分为类讨论；整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整体思想求解. 26解答有关的数列应用题，认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错. 可以要学好说数列这一章，最主要的还是要多做题实践，题做多了，思想就开阔了。对数列中的思想把握就比较到位了。3求通项公式注意的问题数列中的考点具有重视教材和基础知识、基本方法基本技能。重视两纲的导向作用。求数列通项公式是高考命题的必考主体内容，作为数列的一个基础内容，它是求数列某些项的基础，是求数列前项和关键和突破口。作为数列最重要的内容，学生必须切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，注意下述几个问题：3.1高考试题中一般会给出递推公式（少数情况下会给出与或与的关系），先观察题目类型，切勿匆忙动手做。3.2用等差数列或等比数列性质时，务必弄清楚其首相、公差或公比。如果首项或前几项不满足所求出的通项公式，应该这样写通项公式 或者 3.3在学习和复习过程中，注意课本基本概念与公式的熟练掌握和应用。在数列这一章复习过程中，可以相应的把十年高中的数列考题分类去做，注意比较和归纳总结。也可以