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经济数学基础综合练习及参考答案第一部分 微分学我们的课程考试时间：08年7月12日下午14：00-15：30方式：闭卷笔试，90分钟题型：单项选择题，填空题，计算题和应用题。第1章函数一、单项选择题1函数的定义域是（） AB CD 且2函数的定义域是（ ）。A B C D答案：C3下列各函数对中，（）中的两个函数相等 A， B，+ 1C， D，答案：D4设，则=（）A B C D答案：C 5下列函数中为奇函数的是（）A B C D答案：C 6下列函数中为偶函数的是（）A B C D答案：D练习册：不是基本初等函数的（ ）二、填空题1函数的定义域是答案：(-5, 2 )2若函数，则答案：3设，则函数的图形关于对称答案：y轴第2章，极限、导数与微分一、单项选择题1. 已知，当（ ）时，为无穷小量.A. B. C. D. 答案：A2函数 在x = 0处连续，则k = ()A-2 B-1 C1 D2 3. 函数 在x = 0处连续，则（ ）A. 1 B. 0 C.2 D. 答案：A4曲线在点（0, 1）处的切线斜率为（ ）A B C D 答案：A5. 曲线在点(1, 2)处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 答案：B 6若函数，则=（ ） A B- C D- 二、填空题1已知，当 时，为无穷小量答案：2已知，若在内连续，则 .答案23函数的间断点是 答案：4. 函数的连续区间是答案：5曲线在点处的切线斜率是答案： 6. 已知，则= 答案：0三、计算题1已知，求 解： 2已知，求 解： 3已知，求；解：4已知，求dy 解： dy=5设 y，求dy解：6设，求 解：第3章，导数应用一、单项选择题1下列函数在指定区间上单调减少的是（ ）Asinx Be x Cx 2 D3 x答案：D 2下列结论正确的有（ ） Ax0是f (x)的极值点，且(x0)存在，则必有(x0) = 0 Bx0是f (x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点 C若(x0) = 0，则x0必是f (x)的极值点D使不存在的点x0，一定是f (x)的极值点答案：A 3. 设需求量q对价格p的函数为，则需求弹性为Ep=（ ）A B C D答案：B二、填空题1函数的单调增加区间为答案：（2. 函数的驻点是 .答案：3需求量q对价格的函数为，则需求弹性为。答案：三、应用题 1设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,求：（1）当时的总成本、平均成本和边际成本； （2）当产量为多少时，平均成本最小？解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：， 所以， ， （2）令 ，得（舍去） 因为是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当20时，平均成本最小. 2某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少.解 由已知利润函数 则，令，解出唯一驻点.因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大， 且最大利润为 （元） 3某厂每天生产某种产品件的成本函数为（元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 解 因为 = （） = 令=0，即=0，得=140，= -140（舍去）.=140是在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以=140是平均成本函数的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为 =176 （元/件） 4某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为（为需求量，为价格）试求： （1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？解 （1）成本函数= 60+2000 因为 ，即， 所以 收入函数=()= （2）因为利润函数=- =-(60+2000) = 40-2000 且 =(40-2000=40- 0.2令= 0，即40- 0.2= 0，得= 200，它是在其定义域内的唯一驻点 所以，= 200是利润函数的最大值点，即当产量为200吨时利润最大第二部分 一元函数积分学一、单项选择题1在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 3）的曲线为（ ）A B C D答案：C 2. 下列函数中，（ ）是的原函数A- B C D答案：C 3下列等式不成立的是（ ） A B C D选择D 4若，则=（ ）.A. B. C. D. 答案：D 5. （ ） A B C D 答案：B 6. 若，则f (x) =（ ）A B- C D-答案：C 7. 若是的一个原函数，则下列等式成立的是( ) A BC D答案：B 8下列定积分中积分值为0的是（ ） A B C D 答案：A 9下列无穷积分中收敛的是（ ） A B C D答案：C 10下列微分方程中，（ ）是线性微分方程 A B C D答案：D 11微分方程的阶是（ ）.A. 4 B. 3 C. 2 D. 1答案：C二、填空题1答案：2。答案：3函数f (x) = sin2x的原函数是答案：4若，则.答案：5若，则= .答案：6. 答案：07答案：08无穷积分是答案：1 9. 是 阶微分方程.答案：二阶10微分方程的通解是答案：三、计算题2.不定积分定、积分的计算积分基本公式，牛顿莱布尼茨公式，积分计算方法：直接积分法，换元积分法和分部积分法计算下列积分（1） 解 = = （2） 解： （3）解：= (4) 解： =（答案： (5) 解： （6） 解 =四、应用题用不定积分或定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量。平均成本最小和利润最大步骤：（1）找出求最值的函数（如果是平均成本最小，要先从边际成本得到成本函数，再得到平均成本函数；如果是求利润最大，经常可以直接得到边际利润）；（2）求其一阶导数，找出驻点（唯一）（3）说明1投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 = 100（万元） 又 = = 令 ， 解得. x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.2已知某产品的边际成本为(万元/百台)，x为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 解：因为总成本函数为 = 当x = 0时，C(0) = 18，得 c =18即 C(x)= 又平均成本函数为 令 ， 解得x = 3 (百台)该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为 (万元/百台) 3生产某产品的边际成本为(x)=8x(万元/百台)，边际收入为(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？ 解：已知(x)=8x(万元/百台)，(x)=100-2x，则令，解出唯一驻点 由该题实际意义可知，x = 10为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为10百台时利润最大. 从利润最大时的产量再生产2百台，利润的改变量为（万元）即利润将减少20万元. 4设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中x为产量，单位：百吨销售x百吨时的边际收入为（万元/百吨），求： (1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？ 解：(1) 因为边际成本为 ，边际利润 = 14 2x 令，得x = 7 由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为 =112 64 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1万元. 线性代数部分第2章，矩阵一、单项选择题1设A为矩阵，B为矩阵，则下列运算中（ ）可以进行.AAB BABT CA+B DBAT答案:A2设为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）A. B. C. D. 答案：B 3设为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ ）A. 若AB = I，则必有A = I或B = I B.C. 秩秩秩 D.答案：D 4设均为n阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是（ ）A B C D答案D5设是可逆矩阵，且，则（ ）.A. B. C. D. 答案C6设，是单位矩阵，则（ ）A B C D答案 D7设下面矩阵A, B, C能进行乘法运算，那么（ ）成立.AAB = AC，A 0，则B = C BAB = AC，A可逆，则B = CCA可逆，则AB = BA DAB = 0，则有A = 0，或B = 0答案：B 二、填空题1两个矩阵既可相加又可相乘的充分必要条件是 .答案：同阶矩阵2若矩阵A = ，B = ，则ATB=答案3设，当 时，是对称矩阵.答案：4当 时，矩阵可逆.答案：5设为两个已知矩阵，且可逆，则方程的解 答案：6设为阶可逆矩阵，则(A)= 答案：7若矩阵A =，则r(A) = 答案：2加作业的单选22.计算题（1）设矩阵 A =，B =，计算(BA)-1解 因为BA= (BA I )= （2）设矩阵，是3阶单位矩阵，求解：由矩阵减法运算得利用初等行变换得即 （3）设矩阵，求解：利用初等行变换得即 由矩阵乘法得 第3章 线性方程组一、单项选择题1若线性方程组的增广矩阵为，则当（）时线性方程组有无穷多解A1 B C2 D(答案D) 2 若非齐次线性方程组Amn X = b的( )，那么该方程组无解A秩(A) n B秩(A)m C秩(A） 秩 () D秩(A）= 秩()(答案C) 3线性方程组 解的情况是（ ）A. 无解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解答案 A4 线性方程组只有零解，则（ ）.A. 有唯一解 B. 可能无解 C. 有无穷多解 D. 无解答案B5设线性方程组AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（ ）A有唯一解 B无解 C有非零解 D有无穷多解答案B6设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（ ）A无解 B有非零解 C只有零解 D解不能确定答案C二、填空题1若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组AX = b答案：无解2若线性方程组有非零解，则答案：3设齐次线性方程组，且秩(A) = r n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 答案：4齐次线性方程组的系数矩阵为则此方程组的一般解为 .5线性方