§16.3 一维定态薛定谔方程的建立和求解举例.doc

16.3 一维定态薛定谔方程的建立和求解举例（一）一维运动自由粒子的薛定谔方程波函数随时间和空间而变化的基本方程，是薛定谔于1926年提出的，称为薛定谔波动方程，简称波动方程或薛定谔方程，它成为量子力学的基本方程将（16.2.14）式分别对t和x求导，然后从这两式消去E、p、和，便可得到一维运动自由粒子的薛定谔方程：即 （16.3.1） （16.3.3）即 （16.3.2） 方程（16.3.3）中不含有能量E和动量p，表明此方程是不受E和p的数值限制的普遍方程请同学们自己试一试，如果上述波函数不用复数表式（16.2.14），改用类似于（16.2.1）式的余弦函数或正弦函数表式，就不会得到合乎要求的薛定谔方程（16.3.3）式 郭敦仁量子力学初步1617页，人民教育出版社1978年版.这薛定谔方程不是根据直接实验结果归纳而得，也不是由经典波动理论或其他理论推导出来的，它是在物质波假设的基础上，参照经典波动方程而建立起来的薛定谔方程在微观领域中得到广泛的应用，它推导出来的结果，都与相关实验结果符合得很好，这才是薛定谔方程正确反映微观领域客观规律的最有力的证明（二）一维运动自由粒子的定态薛定谔方程 郭敦仁量子力学初步2122页，人民教育出版社1978年版. 周世勋编量子力学3233页，上海科学技术出版社1961年版.上述薛定谔方程（16.3.3）是偏微分方程，从此方程可解出波函数（x，t）在量子力学中最重要的解，是可把波函数（x,t）分离成空间部分u（x）和时间部分f（t）两函数的乘积的特解，即一维运动自由粒子的定态波函数 （x,t）=u（x）f（t）（16.3.4）将此式代入（16.3.3）式得：两边除以=uf得：此式左边是时间t的函数，右边是坐标x的函数已知t与x是互相独立的自变量，左右两边相等，必须是两边都等于同一常量E，即 （16.3.5）因此，一个偏微分方程（16.3.3）可分解成两个常微分方程（16.3.5）以求解如附录16C所示，（16.3.5）式的E就是粒子的能量E上述两个常微分方程的解分别为：时间波函数f（t） （16.3.6）空间波函数u（x） （16.3.7）将上式的待定常量C合并到A和B中，便可得到下式：（16.3.8）（16.3.9） 从此式可知，特解=uf使得几率密度|2与时间t无关，这是粒子的几率分布与时间无关的恒定状态，因此称为定态=uf称为定态波函数，其中空间部分u（x）可称空间波函数，时间部分f（t）可称时间波函数如（16.3.9）式所示，定态的几率密度|2决定于空间波函数u，与时间波函数f无关（16.3.5）式中空间波函数u满足的方程，称为定态薛定谔方程，此方程重写如下： （16.3.10）（16.3.7）式表明，空间波函数u（x）的表式中有三个待定常量A、B、，它们要由实际例子中的边界条件和归一化条件来确定下面就要介绍确定常量A、B、的一个实际例子（三）一维矩形深势阱中，自由粒子的薛定谔方程定态解（1）金属中自由电子的运动金属中自由电子的运动，假设可简化为自由粒子的一维运动在外界条件不变的情况下，可设想自由电子的几率分布是恒定的，不随时间而变这就是上述定态的一维运动自由粒子的一个例子上述（16.3.3）至（16.3.10）诸式均可应用于此例子上述待定常量A、B、，可按此例的边界条件和归一化条件确定之（2）边界条件确定常量B与(图16.3a)一维矩形深势阱上述自由电子只能在金属中运动，可设定它的运动范围为0xb在此范围内，设它的势能为零，即Ep=0，E=Ek在此范围外，它的势能必须达到无限大，即Ep，E所谓Ep，就是用势能条件表示自由电子不能越出金属之外，也就是说，这些自由电子被限制在矩形无限深势阱中运动，如（图16.3a）所示按几率来说，在金属表面以外没有自由电子，就是说，在x0和xb的范围中，这些电子的几率密度|2=0因此，在此范围中，波函数=0，u=0这就是边界条件，或称边值条件将此边值条件代入（16.3.7）式便可确定B与的数值，计算如下：在x=0处：u（0）=Asin0+Bcos0=B=0 （16.3.11）u（x）=Asinx （16.3.12）在x=b处：u（b）=Asinb=0，b=n即=n/b， n=1,2,3, （16.3.13）（x,t）=Asin（nx/b） （16.3.14）在（16.3.13）式中，u（b）=0不选用A=0的答案这因为A=0，则u（x）=0，|2=0这是x等于任何数值，都使|2=0的不合理答案在（16.3.13）式，不选用n=0的答案因为n=0则=0、u（x）=0、|2=0，这也是处处都没有电子的不合理答案在（16.3.13）式，如果选用n=1,2,3，所得值，与选用n=1,2,3,求得的值，绝对值相等、正负号相反因此，在计算|2时，不必要保留n的负值（3）归一化条件确定常量A将波函数表式（16.3.14）代入归一化条件式（16.2.11），按上述一维情况进行积分，并考虑到自由电子只在0xb范围内运动，可得结论如下：即（16.3.16）（16.3.17）， （16.3.15） （四）一维矩形无限深势阱中、自由粒子的几率分布从（16.3.17）式可得上述自由粒子的几率密度|2的表式： （16.3.18）上述空间波函数u和几率密度|2的图线，如（图16.3b）所示自由粒子的运动范围限制在0xb，因此（16.3.18）式的角度x=nx/b的变化范围为0xn(图16.3b)一维矩形深势阱中、自由粒子的几率密度与能级当量子数n=1时，u1（x）=；=(2/b)sin2(x/b)如（图16.3b）所示，曲线u1和的最高点都在x/b=/2，即x=b/2处这就是说，当n=1时，在势阱中x=b/2处，粒子的几率密度最大这与经典理论所说自由粒子应是均匀分布的结论不同经典理论不能说明微观粒子的情况当n=2时，角度的变化范围是0x2曲线u2的最高点在2x/b=/2，即x=b/4处曲线u2的最低点在2x/b=3/2，即x=3b/4处曲线u2还有一个零点在2x/b=，即x=b/2处，如图所示当n=2时，几率密度的曲线应有两个最高点，在x=b/4和x=3b/4处，有一个零点在x=b/2处当n=3和n=4时的曲线图，由同学们在习题中计算分析（图16.3b）所示曲线形状，与两端固定的弦线中，形成驻波的形状相似虽然粒子的物质波与弦线中机械波的驻波，在本质上是不同的现象但是人们仍然喜欢引用驻波中的熟悉名词描写微观粒子的几率分布，把=0的位置叫做波节或节点，把|2的最大位置叫做波腹或腹点（五）一维矩形无限深势阱中、自由粒子的能级从（16.3.7）与（16.3.13）式可得到能量E的表式：= n=1,2,3,， 0xb（16.3.19）（16.3.20）En是能量E的本征值粒子的能量E只能具有这一系列分立的数值En，也就是说，能量E是量子化的上述的n值相当于玻尔理论中的量子数虽然能级En和量子数n都是玻尔先提出的，但他只作为一种假设提出而在量子力学中，从薛定谔方程解出波函数的过程，很自然地得出En和n，不必求助于人为的假设最低的能级E1是为基态能级，相当于n=1的E1值其他各级能量En=n2E1，如（图16.3b）所示粒子的能量不能小于E1但经典理论原以为，粒子的最小能量为零，所以最小能量E1也被称为零点能例题16.3A已知原子核的线度为b=1014米的数量级，质子的静质量为m=1.671027千克假设质子在原子核内作线性自由运动求：（1）此质子的能量E和速率v（2）它的动量p和物质波波长（3）它的总能和频率（4）它的空间波函数u(x)和几率密度|2解（1）把此质子看做是在线度为b的无限深矩形势阱中，作线性自由运动应用（16.3.20）式可求得它的能量E（即动能Ek）：E=n2（h2/8mb2）=n26.6321068/81.6710271028=n23.291013焦E=Ek=mv2/2， v2=2E/m=2n23.291013/1.671027=n23.941014，v=n1.98107米/秒当vc时，可应用上述计算和下面的计算（2）p=mv=1.671027n1.98107=n3.311020千克米/秒=h/p=6.631034/n3.311020=(1/n)2.001014米（3）=Ek+mc2=n23.291013+1.67102791016=n23.2910131.501010=1.501010焦=/h=1.501010/6.631034=2.261023赫，或=c2/v=91016/n1.98107(1/n)21014=2.