Cantor集与Cantor函数.doc

Cantor集与Cantor函数【摘要】：主要介绍Cantor集与Cantor函数的定义、基本性质与其分形【关键词】：Cantor集、Cantor函数、分形1、 Cantor集与Cantor函数的定义1.1、Cantor集的定义将基本区间0，1用分点1/3，2/3三等分，并除去中间的开区间I11=13,23,把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间I21=19,29, I22=79,89,然后再将余下的四个闭区间用同样的方法处理。 这样，当进行到n次时，一共去掉2n-1 个开区间In,k如此下去，就从0,1中去掉了可数个不相交的开区间G=(13, 23)(132, 232)(732, 832)(133, 233)(733, 833)(1933, 2033)(2533, 2633).而康托尔集C=0，1 - G。1.2、Cantor函数的定义将基本区间0，1用分点1/3，2/3三等分，并除去中间的开区间I11=13,23,同时令fx=12, xI11把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间I21=19,29, I22=79,89,同时令fx=2k-122, xI2,k然后再将余下的四个闭区间用同样的方法处理。 这样，当进行到n次时，一共去掉2n-1 个开区间In,k此时令fx=2k-12n, xIn,k下面我们定义如下函数： fx= 0, x=02k-12n x In,k,1k2n-1,n11, x=1 这个函数f(x)就是Cantor函数。2、 Cantor集与Cantor函数的基本性质2.1、Cantor集的性质2.1.1、完备性Cantor集是完备集：引理：FG，则F是完备集的充分必要条件是Fc=R-F是至多可数个两两不相交且无公共端点的开区间的并，既Fc=k1k,kk,kk1两两不相交且无公共端点。证明：Cantor集明显满足上述条件G=0,1C故：R-C=G-,01,+而：G=(13, 23)(132, 232)(732, 832)(133, 233)(733, 833)(1933, 2033)(2533, 2633).为两两不相交且没有公共端点的开区间的并。故C为完备集2.1.2、Cantor集是疏集，没有内点证明：假设x0是C的内点，则存在0使得x-,x+G这样Gx-,x+含于0,1中且这个开集的各个构成区间互不相交，这些区间的长度之和大于1，矛盾。由C=CC=C=C是疏集。2.1.3、G=0,1C是0,1中的稠密集既证明G=0,1证明：易得G0,1,下证0,1G反证法，任取x0,1且xG，则存在x的一个邻域，其中不含有G的点。可得这个领域在C内。又GG，故xC，所以x是C中的内点。与C是疏集矛盾。所以0,1G。故G=0,1，G是0,1中的稠密集，证毕。2.1.4、C具有连续统势由上述性质，似乎Cantor完备集中没有多少点了！但事实上不然，下面证明其有连续统势。证明：由定理可得，(0,1)与无限n元数列全体等价。所以，(0,1)中每一点x，有惟一的一个无限三元数列ann1，使x=n=1an3n (1)现在对I1,1=(13,23)中的所有点x必定a1=1，对I2,1=(19,29)及I2,2=(79,89)中的所有点x必定a2=1，I3,k1k4中的所有点x必定a3=1，等等。即对G中所有点x，(1)中所有对应的an中必有等于1的项。因此(1)中仅由0和2构成的无限三元数列an所对应的x都在C中。而这样的an全体有连续统势。证毕.2.2、Cantor函数的性质2.2.1、Cantor函数是0,1上的单增函数由其构造方法易得这个性质，在这里就不证明了2.2.2、Cantor函数是0,1上的连续函数引理：f是a,b单增实值函数，f(a,b)是区间f(a),f(b)的稠子集，则f连续证明：首先证明f在x=a连续。由假设知对于任意的0，存在ya,b，使得fa-f(b)利用f的单调性知道：当axfx-fa0这样f在x=a连续，同理可证明f在x=b连续。现在取x0(a,b)我们只要证明：fx0-=fx0=fx0+明显：fx0-fx0+,假如二者不相等，则有fx0-0，使得fx0-+00,12n-1的一个自然数n.不妨设2k-32n0使x-,x+E中，而G是两两不相交的开区间的并，故x-,x+中不含有除x外的F中的点，由x的任意性，F是孤立点集。下证F=C对任意的xF，x的任邻域中有F的无限个点,所以xG,xC；反过来，我们记：E1=0,1323,1记E2为构造Cantor集的过程中第二次去掉开区间后剩下的0,1区间中的部分，也就是说：E2=0,1929,3969,7989,1一般地，记En为构造Cantor集的过程中第n次去掉开区间后剩下的0,1区间中的部分，En=0,13n23n,33n3n-33n,3n-23n3n-13n,1则En+1表示En的各个闭区间去掉中间1/3长度的开区间后剩下的部分，不难发现：C=n=1En假如xC，则对于任意的0，以及满足23n的一个自然数n，由于xEn，x一定属于组成I n的某个闭区间I n(x-,x+)，注意到I n包含了G的无限多个构成区间，所以(x-,x+)中有F的无限个点。于是xF，这样就证明了F=C4、 从Cantor集到分形4.1、分形简介分形Fractal，来自拉丁文的Fractus，意思是含有断裂和碎片。它的创始人是美籍数学家曼德尔伯罗特。他在1967年发表了题为英国的海岸线有多长？的著名论文。海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的，呈现蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的,也就是局部形态和整体态的相似。目前对分形还没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。粗略地说：1.分形是对没有特征长度但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称； 2.分形是整体与局部在某种意义下的对称性的集合；3.分形是具有某种意义下的自相似集合;4.分形是其豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数的集合。 分形可以是自然存在的，也可以是人造的。树木、山川、云朵、闪电、星系、大脑皮层都是典型的分形标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如Koch雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。4.2、分形的基本性质总的说来分形一般有以下特质： 在任意小的尺度上都能有精细的结构； 太不规则，以至难以用传统欧氏几何的语言描述； （至少是大略的或任意的）自相似；有着简单的递归定义。 （1）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。 （2）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。 （3）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 （4）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 （5）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。4.3、一些常见分形4.3.1、Koch 曲线给定线段，科赫曲线可以由以下步骤生成：1将线段分成三等分。2.以中间为底，向外或向内画出一个等边三角形。3.将底边移去。分别对每边重复步骤1-3.。该曲线是第一个人为构造的具有局部与整体相似的结构，被称为自相似结构。4.3.2、门格尔海绵门格尔海绵由以下步骤生成：从一个正方体开始。把正方体的每一个面分成9个全等正方形。这样，原正方体将会被分成27个小正方体。把每一面的中间的正方体去掉，中间的正方体也去掉，这样留下20个小正方体。把每一个留下的小正方体都重复第1-3个步骤。4.3.3、塞宾斯基三角塞宾斯基三角有以下步骤生成：1.取一个实心的三角形。（多数使用等边三角形）2.沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形。3.去掉中间的那一个小三角形。4.对其余三个小三角形重复1-3。4.3.4塞宾斯基地毯。生成方法：将一个实心正方形划分为9个小正方形，去掉中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作便能得到谢尔宾斯基地毯。4.3.5此外还有其他的分形，比如：三位谢氏塔、洛伦次曲线、四方内生树、曼德勃罗集等。4.4分形感悟分形作为一个新的概念被提出，对世界科学产生了巨大的影响。无论是在几何学、生物学、物理学、地理学，还是在哲学、社会科学抑或其他领