分数阶控制系统仿真研究毕业论文.docx

分数阶控制系统仿真研究毕业论文目录摘要.IAbatract.I1绪论.1 1.1 课题的背景和意义.1 1.2分数阶微积分的应用发展.2 1.3本文研究内容.3 2数学理论基础. .3 2.1数学基本函数.4 2.2 分数阶微积分的定义.8 2.3 分数阶微积分的性质.11 2.4 拉普拉斯变换.12 2.5分数阶微积分的仿真实例.13 2.6本章小结.17 3 分数阶控制系统的求解.18 3.1 分数阶微分方程.18 3.2分数阶微分方程的数值解法.20 3.3分数阶微分方程的解析解法.25 3.4 本章小结.31 4分数阶控制系统的仿真.32 4.1整数阶控制系统仿真实例.32 4.2分数阶控制系统仿真实例.36 4.3 本章小结.44 5结论. .45 致谢.46 参考文献.46 附录1外文资料翻译. .47 A1.1译文：分数阶控制系统的频域稳定性条件.47 A1.2原文：Frequency Domain Stability Criteriafor Fractional-order Control Systems.57附录2 附录程序. .68 I1绪论1.1 课题的背景和意义分数阶微积分是一个历史悠久且依然新颖的概念，其诞生于300年前，分数阶微积分主要研究的是任意阶次的微分和积分的算子特性以及应用问题。在分数阶诞生的时候，就有很多数学家及数学爱好者就开始对其进行研究，想要比较清晰地介绍分数阶微积分的数学定义，但是，在早期的研究中，由于缺乏一定的相应的应用背景，以及计算繁琐困难等方面的问题，分数阶微积分理论以及它的应用方面的研究问题一直没有太多的引起人们的关注，其研究大多停留在理论研究的方面，而没有得到系统的应用。这在一定的程度上限制了科学技术在实际工程中的应用。但是，进入20世纪之后，随着自然科学方面的极速发展，以及复杂工程对于其需求的急剧增加，特别是随着计算机技术的产生及其迅速的发展，分数阶微积分理论在许多领域都产生了巨大的影响，促进了这些领域的迅速发展，这些变化反过来有极大的促进了分数阶微积分理论的发展，现在分数阶理论及其应用研究已经成为国际研究领域中的热门领域，在自动控制领域也已出现分数阶控制理论等新的研究分支。这些研究分支的出现，使得分数阶微积分理论得以迅速的发展。在实际的应用系统中，多多少少都会受到非整数阶次一定的影响，尤其是一些扩散和传导等一些动态过程，都是一些所谓典型的非整数阶的系统过程，在分析这些过程的时候，需要运用非整数阶理论的分析方法才能很好地运动状态对系统进行分析，以获得系统的等方面的信息。在一些控制系统中，加入一些分数阶环节后，可以增加微分积分阶次，从而使系统控制方式灵活性大幅增加，可以得到较未加入时更好的效果，但是这同时也一定程度上增加了设计及实现的难度，这些年来自动控制理论在分数阶方面的研究俨然已经成为科学界的一大热点。吸引着来自各个领域越来越多的研究人员，也使得越来越多的资金及科技流向这一领域。一些西方的国家，由于科学技术的巨大领先优势，得以可以较早的摄入这一领域，投资巨大，已经在航天领域，材料加工，国防工业中深入地运用了分数阶理论，反之，由于国内科技及各方面起步比较晚，以致在分数阶理论研究领域与西方国家有很大的差距，但是在卫星运行，轨道交通等方面已有一定的运用，收获了极好的效果，分数阶控制系统方面的研究具有非常重大的研究意义，因此，这是一个值得研究的课题。1.2分数阶微积分的应用发展虽然分数阶控制理论还在不断快速发展中，还在慢慢的进一步达到完善状态，但是，这些年来，特别是最近十年来，随着计算机软硬件技术的极速的发展，分数阶理论在很多领域都得到了很好的应用，在金属冶炼，化工工业，机械工业等方面的应用发展，已经表明分数阶控制俨然已经成了自动控制理论领域一个全新的分支展现在人们的面前。在20世纪的末期，在控制系统设计及实施方面的应用中分数阶微积分理论得到了长足的发展，取得了令人瞠目结舌的成果，Podlubny教授在他书写的书里面，详细地介绍分数阶微积分具体的计算方法，及其分数阶微积分方程的具体的解法，并对分数阶微分积分理论方面提供了物理方面的理论解释，提到以矩阵的办法开始来进行分数阶微积分的运算，把拉氏变换，傅氏变换等数学基础工具带入到分数阶控制系统的计算及设计里来，对分数阶控制系统理论的极速发展进行了理论方面的铺垫。Podlubny教授在进行分数阶控制系统的研究的基础之上，系统的提出分数阶P控制器，由于在原有存在的基础上又增加了，这两个参数变量，整个控制系统又增加了两个可调参数变量，也就是控制器更加灵活的对受控对象进行控制，因此，这一理论的提出，对分数阶控制理论的长足全面的发展产生了巨大的促进，这一理论也就成为分数阶控制系统具有里程碑性质的理论，对于分数阶控制系统的研究具有重大的意义。现在，Podlubny教授依然走在分数阶控制研究领域的最前沿，因为分数阶微积分方程可以对受控对象进行更为精确的描述，而分数阶PID控制器在其相应的范围之内受被控的对象及其本身的参数变化影响较小，在描述系统的动态特性及其稳态性能的方面，分数阶PID控制器跟整数阶控制器相比是有着非常大的优势的，另外，随着分数阶PID控制器在航天领域，国防工业等控制方面的相当成功的应用，进而也在一定方面促进了分数阶微积分理论长足全面的发展。但是，需要明确认识的是，分数阶控制理论现在还远远不能满足所有对其有需求的各个领域的需求，而且理论还有些方面还不够完善，需要进一步的研究以适应科学技术的发展对其的需求。1.3本文研究内容本文的主要内容是分数阶控制理论在数学方面相关的基础知识，分数阶控制系统的求解以及分数阶控制系统的具体仿真实例。第二章为数学理论基础，主要介绍了分数阶微积分要用到的数学方面的知识，介绍了三种基本的数学函数Gamma函数和Bata函数以及Mittag-Leffler函数，分数阶微积分中常用到的拉普拉斯变换。给出了分数阶微积分的三种定义形式，Grnwald-Letnikov定义与R-L定义及其Caputo定义1。以及分数阶微积分的相关性质；给出了分数阶微积分的具体仿真实例。第三章为分数阶控制系统的求解，分数阶控制系统的求解，即为分数阶微分方程的求解。主要给出了分数阶微积分方程的两种求解方法，包括数值解法和解析解法2。并分别进行了具体的仿真实例分析。第四章为分数阶控制系统的仿真，主要介绍了整数阶控制系统和分数阶控制系统，并对这两种控制系统分别进行了仿真实例分析，以观察整数阶控制系统和分数阶控制系统的不同特点。2 数学理论基础本章主要介绍的是分数阶控制系统的数学基础，在现阶段的自然科学研究中，分数阶微积分扮演者非常重要的角色，本章将着重介绍分数阶微积分中需要用到的数学基础知识，以便在后面的讨论中得以更加的得心应手。 分数阶微积分的数学基础包括数学常用基本函数，在本章第一节中将着重介绍三种函数Gamma函数，Bata函数及其Mittag-Leffler函数，在第三第四节中将介绍拉普拉斯变换，这三种函数及变换形式是第二节学习分数阶微积分定义时所必须要了解的，只有理解这三种函数，我们才能更好地理解分数阶微积分的定义。随着分数阶的发展，不同的数学家们分别提出了不同的定义形式，这些定义形式大都在实践中得到了检验，在第二节中将着重介绍三种常见的定义形式，根据这些定义形式我们可以对分数阶微积分有着清晰的认识。在第五节中，将举一个分数阶微积分的仿真实例，通过这个例子，通过参数变化而引起的图形变化，在这里可以了解分数阶微积分的作用。2.1数学基本函数本小节就将介绍分数阶微积分中常用到的这三种数学基本函数。1.1.1 Gamma 函数毫无疑问，分数阶微积分中最常用的的数学基本函数就是欧拉的Gamma 函数，它是用n!来表示的，这里的n可以是实数也可以是复数。Gamma 函数的积分形式的定义形式如下： (2.1)式中：Re(z)0。Gamma 函数的极限形式的定义形式如下： (2.2)其中：Re(z)0, 它在复平面右半平面内是收敛的。Gamma 函数具有下面的性质： (2.3)其中由以上中前两个可以推导出下面一个：(2)=1*(1)=1(3)=2*(2)=2*1!=2!(4)=3*(3)=3*2!=3!所以，以此类推，可以得到如下式子：(n+1)=n*(n)=n*(n-1)! =n! (2.4)记为(n) =n!,这个性质在以后的推导是会经常用到，在这里应该了解它的推导过程。Gamma 函数还有非常重要的一个性质，即为在z=-n(n=0，1，2)时是单极点，可以用下面的式子表示： (2.5)这其中，积分形式可以表示一个广义范围内的积分。2.1.2 Bata函数Bata函数也是常用的数学基本函数之一，其可以看成是Gamma 函数的特殊形式，在许多情况下，使用Bata函数来代替Gamma 函数可以收获更加方便快捷的运算效果。Bata函数的数学定义形式如下： (2.6)其中式子中的Re(z)0， Re()0。可以用拉式变换在Bata函数和Gamma 函数的之间来建立特定的联系，用积分形式表示如下所示： (2.7)其中式子中的Re(z)0， Re()0。由以上两个式子我们可以得到= (2.8) 由拉式变换在Bata函数和Gamma 函数的之间来建立特定的联系如下： (2.9) 而且在这里根据式子还可以得到改变参数顺序不改变结果。根据Bata函数以及Gamma 函数在这里还可以得到以下两个非常重要的关系表达式如下： (2.10) 在这个式子中如果让z=1/2的话，那么在这里就可以得到Gamma 函数的一个特殊的定值形式，即为： (2.11) 另外一个为： (2.12) 其中2z0，-1，-2，如果对于以上式子中令z=n+1/2的话，那么在这里可以得到 (2.13) 2.1.3 Mittag-Leffler函数无论是在整数阶的微分方程还是在分数阶的微分方程中，指数函数都在扮演着非常重要的角色，Mittag-Leffler函数是一种非常特殊的数学指数函数类型，在分数阶微分方程之中同样也扮演着相当重要的角色，指数函数可以看成是由Mittag-Leffler函数在特殊情况下的特殊形式。由于参数变量个数的不同情况，Mittag-Leffler函数可以有单个参数，双参数等这些表现形式3。 单个参数变量的Mittag-Leffler函数的数学表达式为： (2.14) 其中0。 双参数变量的Mittag-Leffler函数的数学表达式为： (2.15) 其中0,0.当=1的时候，式子(2.14) 可以表示成为： (2.16) 广义范围内的Mittag-Leffler函数的数学表达式为 (2.17) 其中式子中的，C;Re()0. 如果对式子(1.15) 中求其k阶次的导数，就可以得到以下的式子： (2.18) 其中k=0,1,2为了更加方便的叙述和表达，在这里引入新的函数： (2.19) 其中k=0,1,2在这里可以对这个函数式子进行拉式变换，可以得到： (2.20)其中Re(s)。 在这里对函数来求导可以得到： (2.21)其中和满足关系式 0)的函数形式来转换成为一个引数为复数s的函数形式。拉普拉斯变换可以在许许多多的工程科学技术方面以及科学技术研究领域的方面都有着非常广泛的应用和体现。在力学系统研究，电力学系统，自动控制系统研究，可靠性相关系统等这些学科中得以尤其起着非常重要的作用。同时，在本文中，在对分数阶微积分方程的求解方面，会特别用到拉普拉斯变换方面的知识。拉普拉斯变换的定义式为：函数f(t)满足：t0时f(t) 是连续的并且满足时，函数f(t)的拉普拉斯变换存在，且数学表达式为： (2.40) 函数分数阶积分数学表达式的拉式变换是： (2.41) 函数分数阶微分数学表达式的拉式变换是： (2.42) 特殊情况下，如果函数f(t)和其各阶导数初试的值全是0，那么： (2.43) 通过这些变换，以及拉普拉斯变换的一些定义及其性质，本文在后续的研究中可以运用拉普拉斯变换来对一些式子进行变换，已达到比较好的运算效果，来求解和分析系统。2.5分数阶微积分的仿真实例由以上章节的具体的讨论，对于分数阶微积分有了大概的了解，在这里可以根据分数阶微积分的定义作出一些简单函数的分数阶导数图像，同时也可以通过这些特殊函数的图像来间接验证分数阶理论的正确性。本小节在这里就将通过对特殊的三角函数进行仿真实验来间接验证分数阶理论。对于特定的三角函数sin(t)，在这里可以通过之前的定义来表示函数sin(t)的阶微分如下： (2.44)其中上述式子中是h表示图像的步长。而由之前的一些定义可知系数的计算式子为： (2.45)所以在这里可以得到三角函数sin(t)的阶微分的计算MATLAB程序，见附录程序1，其中的p即为。在程序中，我们令p=1，即为求三角函数sin(t)的一阶微分，即为函数cos(t)。图2.1 sin(t)函数的1阶微分图像当p从变化时图像也在变化，当p=0.5时，图像为：图 2.2 sin(t)函数的0.5阶微分图像由上图可知，图像的幅值降低，当p分别取0.25，0.5，0.75时函数图像为：图 2.3 sin(t)函数的各阶微分图像对比当p取负值时，求出的图像即为函数sin(t)的分数积分曲线取p等于-0.75，-0.5 ，-0.25是，函数sin(t)的分数积分曲线为：图 2.4 sin(t)函数的各阶积分图像对比2.6本章小结分数阶微积分理论研究的就是求解函数的微分和积分，在求解函数的分数阶微积分运算的时候，通常会用到一些基本的数学函数，Mittag-Leffler函数和Bata函数及其Gamma函数，这三种函数在本章的2.1小结中有详细的介绍，同时还会用到拉普拉斯变换和这种数学中常用的运算工具，这两种变换的定义在本章的2.3中有详细的介绍。随着数学家们对分数阶微积分的研究，分数阶微积分有着多种的定义，本章介绍了G -L定义与R-L定义及其Caputo定义这三种定义形式，见本章2.2小结，在本章的2.5小结中还对特殊三角函数进行了分数阶微分和积分的仿真实验，通过仿真图像就可以对分数阶微分和积分运算有比较直观的了解。在本章的讨论中，还可以看到分数级微积分理论是要用到Mittag-Leffler函数和Bata函数及其Gamma函数这三种高等数学的基本函数的，这三种函数是常用到的基本函数的推广，同时也可以看出这三种基本函数的复杂程度要比常用的数学基本函数复杂得多，这也就间接地看出分数阶微积分理论比整数阶微积分理论复杂的多。3 分数阶控制系统的求解本章主要内容是分数阶控制系统的求解，现在在工程实际中，有很多系统都是分数阶而不是属于整数阶的，这些系统在近年来的研究中出现在很多种不同的模型，比如实域传递函数的数学描述，频域传递函数的数学描述，状态空间的数学描述，矩阵多项式的数学描述等分数阶控制系统的描述模型。尽管描述模型的多种多样，但是通常在实际的工程实际及实际操作中，人们总是运用分数阶微分方程来表示描述系统，通过分数阶微分方程表示的分数阶控制系统，可以让人们比较清晰的分析分数阶控制系统的运行及实际操作情况。 分数阶控制系统的求解实际上就是对分数阶微分方程的求解，通过对分数阶微分方程的求解，可以来分析整个系统。在本章中将着重来介绍分数阶微分方程的求解问题，本章关于分数阶微分方程求解将介绍两种方法，本章的3.2和3.3小结，即为分数阶微分方程的数值解法和解析解法，通过这两种解法，就可以比较方便的求解分数阶微分方程，另外，在这两小结中，还将介绍具体的例子，以便可以更好地理解这两种解法。3.1 分数阶微分方程分数阶微分方程是为微分方程在分数阶范围内的推广，分数阶微分方程即为用分数阶来表示的微分方程，近年来随着分数阶微积分在工程实际及研究领域的重要作用，分数阶微分方程的研究也成为人们研究的热点问题。分数阶微分方程有多种的表达形式，其中在工程实际运用过程中常见的就是线性定常系统，其数学通用表达式如下： (3.1)在上式子中，参数变量和为任意的正实数，当在这里来假设和满足式子以及式子，这样的假设同样满足分数阶微分方程成立的条件，系数a和b都是任意的常数，u(t)为此系统的出入函数，y(t)是此系统的输出函数。对式子(3.1)两边同时求拉普拉斯变换，其中这里假设函数的初始条件都为零，那么在这里可以得到此系统的传递函数如下所示： (3.2)因为分数阶微分方程具有重要的现实意义，在实际的控制系统中，可以看到很多的系统都选择使用分数阶微分方程这一工具来建立系统的数学模型。在建立这样的数学模型之后，随之而来的就是分数阶微分方程的求解问题。下面就将介绍分数阶微分方程的两种求解方法，解析解法和数值解法4。关于分数阶微分方程的解有常见并且很重要的定理，即为解的存在性和唯一性定理，下面就简单地介绍一下这一定理。关于这一定理在这里可以作以下的描述：对于一个设定的函数f(t)，这里假设其在(0.T)的范围内是可积的，然后函数f(t)是满足式子： (3.3)那么方程 (3.4)在这个区间里面有且只有一个解。关于这一定理这里给出以下的证明：唯一性： 如果y1(t)和y2(t)都是式子(3.4)的解，那么z(t)=y1(t)-y2(t)也应该是方程的解，z(t)的拉普拉斯变换是Z(s)=0，也就是z(t)=0在(0.T)的范围内都是成立的。存在性：对式子(3.4)两边同时求拉普拉斯变换得以下式子： (3.5)将式子(3.2)代入式子(3.4)中可以得到以下式子得到： (3.6)对上述式子进行拉普拉斯逆变换得： (3.7)由前面章节的介绍，由分数阶的Riemann-Liouville定义可以得到： (3.8)其中在上式中k为自然数。在这里将式子(3.8)代入式子(3.3)和(3.4)之中就可以证明式子(3.7)就是原方程的解。这即为分数阶微分方程的一些基本理论知识，下面就着重介绍一下分数阶微分方程的求解方法。3.2分数阶微分方程的数值解法分数阶微分方程的数值解法长时间来一直作为分数阶微分方程的标准求解方法，然而，即使数值解法可以解决分数阶微分方程的大多数的问题，但是在解决分数阶微分方程的方法中却不是最好的。在本小节中我们将着重介绍分数阶微分方程的数值解法。3.2.1数值解法的定义对于分数阶控制系统，不管是连续的还是离散的，这些分数阶控制系统建模用的分数阶微积分方程一般情况下都是用数值解法来求解的，现在在求解分数阶微分方程的数值解法中，已经出现很多种的近似数值算法，包括曲线的拟合，连续的分数扩展等方法。下面这里就介绍分数阶微分方程的数值解法：在这里假设一个比较简单的微分方程如下所示： (3.9)其中函数f(t)为此分数阶微分方程的输入函数，而函数y(t)为此分数阶微分方程的输出函数。表示此分数阶微分方程的阶次，满足，当，此分数阶微分方程称为震荡方程。并且函数y(t)满足式子如下：，其中k=0，1，2n-1。通过之前章节对分数阶微积分定义的学习及理解，对于式子(3.9)，在这里可以变换为如下的形式 (3.10)在上述式子中m为正整数，函数y(t)的初始值为零，即为满足y(0)=0，h为此分数阶微分方程的步长，m和t及h的关系为：，而，。上述式子的系数根据之前章节的学习满足式子：，其中参数j=0，1，2，3，。而满足式子 (3.11)运用近似算法和化简，根据式子(3.10)我们可以得到 (3.12)此式子为函数y(t)的递推式子，根据这个式子在这里可以得到函数 y(t)的递推关系，由这个递推关系就可以在MATLAB中编制程序，根据程序做出当时间变化时，函数y(t)的递推图像。根据递推图像我们可以很清晰的看出分数阶微分方程的渐变过程图像。3.2.2数值解法的仿真实例在控制系统的分析求解实例中经常会用到求解分数阶微分方程的问题，而能更好的分析这些控制系统的关键，就在于对这些微分方程的求解，下面这一小节就将举几个控制系统中常见的例子，通过这些例子中分数阶微分方程的求解，可以更好的掌握分数阶微分方程的数值解法，而通过对这些微分方程的求解有助于下一步在实际中更好的求解和分析分数阶控制系统。例1. 下面举一个简单的控制系统，根据这一系统所推导出的分数阶微积分的方程式子来进行分数阶微积分方程的计算，通过这一例子的分析及求解，在这里可以熟练地掌握分数阶微分方程的数值解法的解题思路和具体的解题步骤，而通过MATLAB的仿真编程，可以得到此分数阶的图像，这有助于对分数阶控制系统的分析与研究。下面来看这一例子：这一例子是求解一个简单的系统，它的传递函数如下所示： (3.13) 在这里如果假设U(s)为此控制系统的输入，Y(s)为此控制系统的输出，根据在之前学到的数学知识， 根据上述的式子即系统的传递函数表达式，在这里可以得到此控制系统的分数阶微分方程的数学表达式子如下所示： (3.14) 如果在这里假设此方程满足函数y(t)的各阶导数都为零，通过上一小节中对分数阶微分方程数值解法的学习，在这里可以对上述分数阶微分方程进行化简得到，函数y(t)的递推关系式如下： (3.15)在上述的式子中h为此分数阶微分方程的步长，m和t及h的关系为：，而，。上述式子的系数根据之前章节的学习满足式子：，其中参数j=0，1，2，3，。而满足式子 (3.16)通过上式的递推关系式子，在这里可以在MATLAB中编写程序，程序见附录程序2，在这里如果取a2=0.8，a1=0.5，a0=1，=2.2，=0.9；t=10，h=0.25。运行程序可以得到分数阶微分方程的解在这些参数下的图像如下所示：图3.1 例1在阶跃输入下的图像例2. 在下图中是一个控制系统中非常常见的基本控制框图，是一个简单的反馈回环，其中G(s)为回路主环节，而Gc(s)则为回路校正环节，W(s)为此控制系统框图的输入，Y(s)为此控制系统框图的输出。Gc(s)G(s)图3.2 基本控制系统框图在这里我们设定回路主环节G(s)为，当回路校正环节Gc(s)为Gc(s)=Kp+Kds时，并且满足时，其中k=0，1，2n-1，根据在之前自动控制理论方面所学到的一些知识，在这里可以通过已知来求得此控制系统框图的闭环传递函数，通过控制系统框图的闭环传递函数在这里可以得到此控制系统的微分方程，此系统的分数阶微分方程如下所示： (3.17)通过之前对分数阶微分方程数值解法的学习，在这里对分数阶微分方程(3.14)进行化简可以得到，函数y(t)的递推函数如下：分子为：分母为 则 (3.18)在上述的式子中h为此分数阶微分方程的步长，m和t及h的关系为：，而，。上述式子的系数根据之前章节的学习满足式子：，其中参数j=0，1，2，3，。而满足式子 (3.19)通过上式的递推关系式子，在这里可以在MATLAB中编写程序，程序见附录程序3 ，在这里取a2=0.8，a1=0.5，a0=1，=2.2，=0.9，Kp=20.5，Kd=2.7343，t=5,h=0.1。运行程序可以得到分数阶微分方程在这些参数下的图像如下:图3.3 例2 在阶跃输入下的图像3.3分数阶微分方程的解析解法分数阶微分方程的解析解法是求解分数阶微分方程的又一常用的方法，解析解法的大体思路就是根据之前介绍的拉普拉斯变换的方法，对分数阶微分方程的两边同时进行拉普拉斯变换，就可以得到分数阶微分方程中原函数的表达式子，根据得到的表达式，可以运用MATLAB作出图像，根据图像来分析函数的变化。本小节的主要内容就是讲解分数阶微积分方程的解析解法。3.3.1解析解法的定义在这里如果设定分数阶控制系统的传递函数的一般形式如下所示： (3.20)其中，(k=0,1，n)为任意的实数，并且满足如下关系：，其中的，(k=0，1，n)也为任意的常数。在这里如果假设U(s)为此控制系统的输入，Y(s)为此控制系统的输出，那么根据之前所学到的知识，可以得到上述式子对应的分数阶微分方程如下所示： (3.21)由之前在第二章所介绍的拉普拉斯变换的知识，对上述式子进行拉普拉斯变换，在这里可以得到函数G(s)的原函数如下所示： (3.22)其中为参数系数的表达式，而满足式子，。在上式子中会用到在第二章提到的一些等式关系， (3.23)式子 (3.23)的拉普拉斯变换表示如下： (3.24)而对于其中的可以用到第二章的Mittag-Leffler函数的数学定义式子表示如下所示： (3.25)这样根据不同的情况式子(3.22)会有不同的变形。下面这里就来讨论一些情况下的表达式。在下面的这些情况下，假定U(s)为系统的输入，Y(S)为系统的输出。(1)当控制系统的传递函数为 的时候，其中满足0，此系统的微分方程的式子为： (3.26)由式子(3.22)在这里可以得到(3.26)在脉冲输入时此分数阶微分方程的解析解如下所示： (3.27)(2)当控制系统的传递函数为的时候，其中满足0，此系统的分数阶微分方程的表达式子为： (3.28) 由式子(3.22)在这里可以得到(3.28)在脉冲输入时此分数阶微分方程的解析解如下所示： (3.29