曲面细分方法及其应用.pdf

湘电培训与教学 2 0 0 7年第3期 一 概述 几何造型是C A D中的关键技术之一 现代工 业产品设计对C A D系统处理复杂拓扑形体的能 力提出了越来越高的要求 虽然以N U R B S为代表 的造型表示方法已经取得了非常成功的应用 但 它仅适于表示规则拓扑形体 单个补片 拼接和 裁剪还存在很大困难 细分曲面造型技术是一种 基于样条可细化性质基础上的以网格细分为特征 的离散造型方法 具有表示的任意拓扑性 光滑保 证性 计算简单性等传统方法难以比拟的优点 是 目前国际上计算机图形学领域的最新技术 本文 介绍了几种常用细分方法及其应用 二 细分方法 1 L o o p细分方法 L o o p法是C h a r l e s L o o p提出的一种简单的基 于三角形网格的逼近型面拆分细分法 它被证明 了包括边界情况在内 即使点的价达到1 0 0都可 以保持C 1阶连续 L o o p法是基于三向箱样条的细分方法 在规 则网格处可生成C 2阶连续的曲面 奇异点处可以 有C 1阶连续 其网格可以是任意的 细分规则L o o p法的细分规则如图1 其中 可为或n 3 3 8 k 边界和 折边处使用了特殊规则 可以在边界和折边处生 成仅依赖于该边上点的三次样条曲线 切向量 计算L o o p规则中的切向量是非常简 单的 内部点的切向量可记为 1 该公式可以在细分各个的层次应用 通常 切向量是用来计算法向量的 法向 量可通过叉乘t 1 t2得到 该叉乘可也即由点 组 成的所有三 角形的法线的加权平均 法线的标准计算方式是 该点相邻的所有三角形的法线的平均 上式可以 看作是对此地一个逼近 t 1 t2的计算量要比平均所 有三角形法线的计算量小 图1L o o p细分规则 在边界上 点沿边界线的切线可为 垂直于边界线的切线可为 2 其中 极限位置 控制点在细分时 其极限点是一个固定点 曲面细分方法及其应用 信息工程系 谢伟红 人力资源部 叶亮荣 内容提要 细分曲面造型技术是一种基于样条可细化性质基础上的以网格细分为特征的离散造 型方法 具有表示的任意拓扑性 光滑保证性 计算简单性等传统方法难以比拟的优点 本文介绍了常用 几种细分方法的细分规则及其应用 如L o o p细分法 蝴蝶改进法 C a t m u l l C l a r k法和D o o S a b i n法 关键词 细分方法L o o p细分法 蝴蝶改进法C a t m u l l C l a r k法D o o S a b i n法 应用与实用技术 4 5 湘电培训与教学 2 0 0 7年第3期 3 其中 对于边界边和折边 则为 4 2 蝴蝶改进法 蝴蝶法首先被D y n G r e g o r y和L e v i n提出 最 初的蝴蝶法也是建立在任意三角形网格上的 其 极限曲面在规则网格处是C 1阶连续的 但在 k 3 和k 7的奇异点处达不到C 1阶光滑 和基于样条的逼近方法不同 蝴蝶法不能产 生分段多项式曲面 Z o r i n提出了一个改进方案 可 以在任意网格上产生C 1连续的曲面 其规则如图 2 其中系数s i 当k 5时 为 k 3 蝴蝶法是一种插值型细分法 它的偶点保持 不变 图2蝴蝶改进法细分规则 3 C a t m u l l C l a r k细分方法 C a t m u l l C l a r k法是基于张量积双三次样条 建立的 其规则如下图3 5所示 其中 该法产生的曲面除在奇异 点处C 1连续外 其它处处 C 2连续的 图3C a t m u l l C l a r k细分规则 在边界运用三次样条系数可以产生满意的效 果 但不是严格意义的C 1连续 通过对它的改进 可以达到这种结果 如图3 6 不过 更好的方法 是用取代5 8 用 取得1 8 图4改进C a r m u l l C l a r k规则 C a r m u l l C l a r k法是基于四边形网格定义的 但可以对任意多边形网格使用C a r m u l l C l a r k规则 的通用形式 面点是多边形各角点的平均 边点是边的端点和邻面的新面的的平均 对偶点的计算方式有多种 可用下面的公 式 5 4 D o o S a b i n法 D o o S a b i n细分是一种点拆分的细分方案 它 在概念上非常简单 其奇点和偶点没有差异 规则 的定义也非常简单 一种表达就够了 仅在边界处 有所不同 边界的极限曲线是二次样条线 D o o S a b i n细分的规则如图5所示 应用与实用技术 4 6 湘电培训与教学 2 0 0 7年第3期 图5D o o S a b i n细分规则 其中系数 对于该系 数C a t m u l l和C l a r k还给了另一种定义 该方案被分析是C 1连续 的 同时它还有一个显著的特性 规则点细分可以 看作是两次平均步骤地综合 如图6 图6D o o S a b i n规则细分可以看作两次中点 细分的综合 H a b i b和Wa r r e n提出了一种更简单的方案 在规则情况下 只需要三个控制点 如图7所示 图7中边 M i d e d g e 细分规则 其中系数 中边细分方案只具有C 0阶连续 它在规则情况下 也可以看作两步均值的结果 如图8所示 图8中边法规则细分可以看作两次边点的平均 三 细分方法应用 图9为不同的细分规则细分结果 一般 L o o p 法和C a r m u l l C l a r k法细分的结果要好看一些 因为 它们在规则网格上产生的是C 2光滑曲面 由于正方体的面都是四边形 C a t m u l l C l a r k法 产生的面最为好看 L o o p法产生的面是不对称的 因 为正方体三角化后本身就是不均匀的 而D o o S a b i n 法和蝴蝶法的细分结果和正方体最相似 蝴蝶改进 法产生的曲面的质量最差 因为它是一种插值法 插 值的结果越接近原曲面 曲面的质量就越差 图9不同的细分规则时 四方体细分产生的结果 图1 0不同的细分规则时 四面体的细分结果 图1 0是四面体的细分结果 情况大致相同 注意到 对于逼近细分方案 都有收缩的趋势 这 也是它们的一个特性 如果细分结果不必插值初 始网格的话 L o o p法和C a r m u l l C l a r k法在实际应 用中运用的更广泛一些 参考文献 1 A d i L e v i n C o m b i n e ds u b d i v i s i o ns c h e m e s P h Dt h e s i s 2 0 0 0 T e l A v i v U n i v e r s i t y 2 A d iL e v i n C o m b i n e ds u b d i v i s i o ns c h e m e s f o r t h e d e s i g n o fs u r f a c e s s a t i s f y i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s C o m p u t e r A i d e dG e o m e t r i cD e s i g n1 6 5 1 9 9 9 p a g e s 3 4 5 3 5 4 3 C a t m u l l E C l a r kJ R e c u r s i v e l yg e n e r a t e d B s p l i n es u r f a c eo nt o p o l o g i c a lm e s h e s C o m p u t e r A i d e dD e s i g n 1 9 7 8 1 0 6 3 0 0 3 5 0 4 D e n i sZ o r