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质点运动学 第一单元 1 1 6 某质点的运动方程的矢量式为 该质点的速度为 速度的大小为 方向为 加速度为 加速度大小为 方向为 无穷小时间内的大小为 速率为 速度与x轴正方向的夹角 加速度方向沿y轴负方向 无穷小时间内 的方向与速度的方向相同 与x轴正向的夹角为 1 2 1 一运动质点沿半径为R的圆周做匀速率圆周运动 每经时间ts转一圈 则在3ts时间间隔内其平均速度的大小及平均速率分别为 解 1 2 2 一运动质点在运动过程中某一瞬时的位置径矢是 其速度大小和加速度大小为 解 第二单元 1 2 12 下列几种说法中哪一种正确 A 一质点在某一时刻的瞬时速率为4m s 1 这就说明在下1s内一定要经过4m的路程 B 物体的加速度越大 其速度也一定越大 C 斜上抛的物体 在最高处速度最小 法向加速度最大 D 物体做曲线运动时 有可能在某时刻的法向加速度为零 解 A B显然错误 加速度描述的是质点速度变化的快慢和速度变化的方向 速度描述的是质点位置净变化的快慢和位置净变化的方向 两者之间没有必然联系 C正确 斜上抛物体 在轨道最高点处 D错误 曲线运动物体的速度方向 在任何时刻都在随时间而变化 必然存在法向加速度 1 3 6 一汽艇在静水中航行 因受水的阻力作用 在关闭发动机后 汽艇将从速率v0减速运动 设加速度a kv1 2 a与速度v反向 式中k为比例常量 试求 1 汽艇从速率v0开始到停止下来所经历的时间 2 在这段时间内 汽艇走过的路程 解 1 沿汽艇速度方向取x轴正方向 刚关闭发动机时汽艇位置为坐标原点 解 以路灯到地面的垂足点 为原点 沿水平地面取x轴 设在任意时刻 人及头顶的影子在x轴的坐标分别为x0 x 1 3 7 如图所示 一盏路灯距地面高度为H 由灯到地面所画的垂足是O点 一身高为h的行人如果以匀速v0背离路灯在水平地面上行走 试问 人的头顶的影子的移动速度v等于多少 影子速度 第三单元 1 1 4 一船以速度在静水湖泊中做匀速直线航行 一乘客以初速度竖直上抛出一小球 则站在岸上的观察者看小球的运动轨道是 轨道方程是 站在船上的观察者看小球做 运动 解 小球相对于河岸的运动 绝对运动 是球对船的竖直上抛运动 相对运动 与船对岸的水平匀速直线运动 牵连运动 的合成 即斜上抛运动 运动轨道为抛物线 建立直角坐标系 如图所示 轨道的参数方程 轨道方程 站在船上的观察者看来 小球做竖直上抛运动 1 1 12 以相同大小的初速斜抛两小球 抛射角分别是30o和60o 则两球在最高点的速度之比为 射高之比为 水平射程之比为 任意点的加速度之比为 解 1 最高点处 2 3 水平射程 1 3 13 一人以50m min 1的速率向东运动 他感觉风从正南吹来 如果此人以75m min 1的速率向东行走 他感觉到风从东南方向吹来 求风速为多少 联解得 解 取地为静系 人为动系 质点动力学 第一单元 牛顿运动定律 2 1 2 如图所示 三个质量相同的物体相互紧靠在一起放在光滑的水平面上 如果已知它们同时分别受水平力F1和F2的作用 而F1 F2 则物体1施与物体2的作用力的大小为 方向为 解 整体加速度 设物体1施与物体2的作用力为F 联解得 方向与的方向相同 2 1 6 如图所示 质量为m的物体从位于竖直平面内的光滑1 4圆弧轨道 从静止的A点处开始滑下 当物体滑到B点处的速度的大小为 在B点处物体的法向加速度大小为 切向加速度大小为 物体给轨道的正压力大小为 解 由 1 式积分 解得 在 2 式中代入解得 根据牛顿第三定律 物体对轨道的正压力大小 2 2 1 物体做下列几种运动时 加速度不变的是 A 单摆的运动 B 圆锥摆的运动 C 在竖直平面内的匀速率圆周的运动 D 抛射体的运动 E 在水平面内的匀速率圆周运动 解 选D 2 2 4 一质量为m的物体自高空中落下 它除受重力外 还受到一个与速率平方成正比的阻力作用 比例系数为mk k为正的常量 该下落物体的收尾速率大小将是 解 a 0时的速度即是物体的收尾速度 2 3 7 一光滑的瓷碗以角速度 沿逆时针方向绕其中心垂直轴转动 如果质点放在碗内可以在任何一点保持平衡 试证 碗内表面是以其竖直轴为轴的旋转抛物面 并求出与此抛物面相对应的抛物线方程 碗的内表面是抛物线 以oz为轴的旋转抛物面 2 3 12 如图所示 细绳的一端与质量m 0 1kg的小球相连 另一端穿过一光滑桌面上的小圆孔与另一质量为M 0 5kg的物体相连 如果小球在桌面上以3r s 1的角速度做匀速率圆周运动 试求 圆半径为多大时 才能静止不动 解 解 设滑块下滑到角位置 时的速率为v 2 3 13 如图所示 有一滑块从固定的半径为R的光滑球面的顶点开始沿球面滑落 初速度可看作零 试求 滑块滑到顶点以下多远处 滑块离开球面 滑块脱离球面时N 0 3 由 1 式积分 解得 此式与 2 3 联解得 滑落点在顶点以下的竖直距离 第二单元 1 功 动能 势能 3 1 5 如图所示 一人造地球卫星绕地球做椭圆运动 近地点为A 远地点为B A B两点距地心的距离分别为r1和r2 设地球质量为M 卫星质量为m 万有引力常量为G 则卫星在A B两点处的引力势能之差卫星在A B两点处的动能之差 解 引力势能之差 卫星绕地运动过程中只有万有引力做功 系统机械能守恒 动能之差 3 1 7 如图所示 一斜面倾角为 用与斜面成 角的恒力F将一质量为m的物体沿斜面上拉 物体上升的高度为h 物体与斜面间的摩擦系数为 在此过程中摩擦力做的功Af 重力所做的功Aw F所做的功AF 解 解 选E 3 2 1 对功的概念有下列几种表述法 1 质点经过一闭合路径 保守力对质点做的功等于零 2 作用力与反作用力大小相等 方向相反 所以两者所做功的代数和必为零 3 保守力做正功时 系统的相应的势能增加 在这些表述中 A 2 3 正确 B 只有 2 正确 C 只有 3 正确 D 1 2 正确 E 只有 1 正确 解 选B 3 2 4 如图所示 质量为m的物体A 迭放在质量为M的物体B上 当用一水平力F拉物体B向右运动时 如果A B之间无相对运动 A物体在B物体上的摩擦力fAB作用下与B物体一起向右移动了一段距离 则静摩擦力 A 作了负功 B 作了正功 C 不能够做正功 D 做功为零 3 2 5 如图所示 一劲度系数为k的轻弹簧水平放置 其左端固定 右端与桌面上放置的一质量为m的木块连接 木块与桌面间的摩擦系数为 当用水平力F拉着木块处于静止时 则弹簧的弹性势能值 解 设弹簧伸长量为x 则当F kx时 木块受到的静摩擦力向左 D 根据木块达到静止状态的不同情况 可以取以上三个答案中的任何一个 当F kx时 木块受到的静摩擦力向右 选D 第二单元 2 保守力做功与机械能守恒定律 3 3 6 一地下蓄水池 面积为50m2 储水深度为1 5m 假定水平面低于地面的高度是5 0m 试求 1 如果要将这池水全部吸到地面 需做功多少 2 如果抽水机的效率是80 输入功率是35kW 则需多长时间可以抽完 解 1 如图所示 厚度为dy的水层的质量 解法二 整池水的质心位置与地面间的高度距离为 将整池水提升到地面需做的总功 将此水层提升到地面需克服重力做功 将整池水抽到地面需克服重力做功 2 补充例题 上题中设水池是以抛物线绕y轴旋转而成的旋转抛物面 其它条件与上题相同 求 将整池水抽到地面需克服重力做的功 解 如图所示 厚度为dy的水层的质量 将此水层提升到地面需克服重力做功 将整池水提升到地面需做的总功 3 1 1 如图所示 一质量为m的物体 位于质量可以忽略不计的直立弹簧上方高度为H处 该物体从静止开始向弹簧下落 如果弹簧的劲度系数为k 不考虑空气阻力 则物体可能获得的最大动能为 解 物体重力与弹簧弹力相平衡时 动能最大 3 3 10 如图所示 有一小球系在轻质弹簧的一端 弹簧的另一端固定在O点 该弹簧的原长为l0 0 8m 起初弹簧位于水平位置并保持原长 然后释放小球 使它沿竖直平面落下当弹簧过竖直位置时 被拉长为l 1m 试求 该时刻小球的速率 解 系统的机械能守恒 小球经最低点时 据牛顿第二定律有 联解得 3 3 12 如图所示 A点是一单摆的悬点 B点处是一固定的钉子 在A点的竖直下方 AB的长度是d 单摆的摆长是l 试证明 为了使摆球从水平位置放下后摆绳能够以钉子为中心绕一圆周轨道旋转 则d至少应等于0 6l 解 摆球运动过程中机械能守恒 设摆球经过圆轨道最高点的速率为v 则 小球刚好能经过圆轨道最高点时 据牛顿第二定律有 联解得 d 0 6l即是小球能绕钉子为中心绕圆轨道运动的AB距离的最小值 第三单元 1 动量 动量定理 4 1 2 一质量为m的质点 在OXY平面上运动 其位置矢量为 式中a b 为正的常量 试问 该质点的动量大小p 与X轴的夹角 解 4 2 1 一质量为m的物体原来以速度向北运动 由于受力的打击 速率仍等于v向西运动 该力的冲量的大小和方向为 解 方向与正西方向成45o角 4 3 13 一段均匀的柔软绳竖直地挂着 绳子的下端恰好触到水平桌面上 如果把绳的上端放开 试证明 在绳落下的任一时刻 作用桌面的压力三倍于已经落到桌面上那部分绳的重力 证明 设绳的总长为l 在t时刻已经有长度为y的绳落到桌面上的并处于静止状态 此时尚有长度为l y的绳正在下落 设速率为v 正在下落中的绳 各个质元都做自由落体运动 机械能守恒 在t时刻 直接受到桌面冲力F的是长度为dy的质元 设绳的单位长度质量为 根据动量定理 落绳对桌面的冲力大小 已经落到桌面上的绳对桌面的压力大小为 第三单元 2 动量守恒定律 碰撞例题 4 1 5 长l 0 5m的不可伸长的轻绳下端静止地悬挂着一个质量为m1 2kg的物体 另有一个质量为m2 0 2kg的小球以速度v0 10m s 1水平地和物体m1相碰撞 并以v2 5m s 1的速率弹回 试问 碰撞后物体m1的速度大小v 小球作用于物体m1的冲量大小I 碰撞后的瞬时绳中张力大小T 解 系统水平方向的动量守恒 4 1 14 一砂摆 摆长L 1m 砂袋重0 99kg 处于平衡位置 今有质量为10 2kg的子弹水平射入砂带 则砂袋偏离平衡位置的最大角度为60o角 如图所示 问子弹射入的速度v0 解 碰撞过程 系统水平动量守恒 上摆过程 系统机械能守恒 4 2 2 空中一质量为M的气球 下面连结一个质量忽略不计的绳梯 在梯子上站一质量为m的人 初始的时刻气球与人相对于地面静止 当人相对于绳梯以速度向上爬时 气球的速度应是 解 系统所受合外力为零 动量守恒 设人在上爬过程中 气球对地的速度为V 则人对地速度为v V 选D 负号表示气球向下运动 注 如果将人对地的速度写成v V 则 4 2 6 一质量为M的装有沙子的平板车 以速度v在光滑的水平面上滑行 当质量为m的物体从高度h竖直落入车里 两者合在一起后的速度大小是 解 系统的水平动量守恒 选C 4 3 7 一水平光滑的铁轨上有一小车 长为L 质量为M 车的一端站有一个人 质量为m 人和车原来都静止不动 如果当此人从车的一端走到另一端 试求 人和小车相对于地面各移动了多少距离 解 取人的运动方向为x轴正方向 车的左端和人的初始位置为x轴原点 系统的水平动量守恒 设t时刻人和车左端的坐标分别为x1和x2 人和车相对于地面移动的距离分别为 两者的移动方向相反 4 3 11 三个物体A B C质量都是m B C靠在一起放在光滑水平面上 它们之间连有一段长为0 4m的细轻绳 B的另一侧则连接有另一细轻绳跨过一定滑轮而与A相连 如图所示 绳和滑轮质量不计 绳长一定 绳与滑轮间的摩擦力也可以忽略 问 1 A B开始运动后经多长时间 C才开始运动 2 C开始运动时的速度是多大 解 1 联解得 2 绳被拉直后 C的速度从零至共同速度的时间极短 A B C组成的系统的内力远大于外力 A的重力 可认为动量守恒 刚体力学 第一单元 刚体运动学 5 3 4 一飞轮在5s内转速由1000r min 1均匀地减小到400r min 1 求 角加速度大小和5s内的总转数 还需要再经过多长时间 飞轮才停止转动 解 角加速度 角位移 转数 设再经t1秒飞轮停止转动 则 5 3 11 某飞轮受摩擦力矩作用做减速转动 如果角加速度与角速度成正比 即 式中k为比例常量 设初始时刻角速度为 0 试求 1 飞轮角速度随时间变化的关系 2 角速度由 0减小为 0 2所需的时间以及在此时间内飞轮转过的转数 解 1 2 第二单元 转动惯量 转动定律 5 3 7 一块质量为M的均匀长方形薄板 边长为a b 中心O取为坐标原点 直角坐标系OXYZ如图所示 1 证明 对OX轴和OY轴的转动惯量分别为 2 证明 薄板对OZ轴的转动惯量为 证明 1 设薄板的质量面密度为 则 2 据正交轴定理 5 1 5 如图所示 一轻绳绕于半径为r的轮边缘 并以质量为m的物体挂在绳端 飞轮对过轮心且与轮面垂直的水平轴的转动惯量为J 如果不计摩擦力 飞轮的角加速度大小为 物体由初始位置下落高度h时的线加速度大小为 解 5 1 9 如图所示 滑块A 重物B和滑轮C的质量分别为mA mB和mC 滑轮半径为R 滑轮对轴的转动惯量 滑块A与桌面间 滑轮与轴承间无摩擦 不可伸长的轻绳的质量忽略不计 绳与滑轮之间无相对滑动 则滑块 的加速度a 滑轮C的角加速度 解 联解得 5 1 14 一质量为m 长为L的匀质细杆 两端牢固地各连结一个质量为m的小球 整个系统可绕距A端为L 4的O点并垂直于杆长方向的水平轴无摩擦地转动 当杆转至水平位置时 系统所受的合外力矩为 系统对轴的转动惯量为 系统的角加速度为 如果转轴通过端点B 当杆转至水平位置时 系统所受的合外力矩为 系统对轴的转动惯量为 系统的角加速度为 解 1 以O为轴合外力矩 角加速度 转动惯量 2 以B端为轴 转动惯量 角加速度 5 2 3 绕定轴转动的刚体所受的合力矩M增大时 解 A 如果M与 反方向 则 减小而 增大 B 如果M与 反方向 则 与 都减小 C 如果M与 同方向 则 不变而 增大 D 如果M与 同方向 则 与 都增大 刚体在动力矩作用下加速转动 在阻力矩作用下减速转动 选A D 5 2 6 一长为L的质量均匀分布的细杆 可绕通过其一端并与杆垂直的光滑水平轴转动 如果从静止的水