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基于字典学习的K空间高降采样磁共振图像的重建摘要：压缩感知（CS）利用磁共振图像（MRI）的稀疏性使得从K空间降采样的数据能够精确重建原图像。近年来CS研究方法已经开始采用诸如小波，曲线波和有限差分等的解析稀疏变换。本文我们提出了一种自适应的同时学习稀疏变换（字典）和从K空间高降采样数据重建图像的新颖架构。这一架构的稀疏性对强调局部结构的重叠图像块施行。并且，这种字典适用于特定的图像实例，因此有利于更好的稀疏和更高的降采样率。本文提出的交替重建算法学习稀疏字典，并用该稀疏字典在一个阶段中消除混叠和噪声，然后在下一阶段恢复、填充K空间数据。使用各种采样方案针对几种解剖磁共振图像和实磁共振数据进行数值实验，结果表明在重建误差方面有4-18dB的显著提高，并且与以前的压缩感知方法相比较，本文所提出的利用自适应字典的图像重建将降采样因子增加了一倍.这些改进表明在不需参数整定的情况下，实际数据信噪比可以达到很大的范围。关键词：压缩感知（CS），字典学习，图像重建，磁共振成像（MRI），缩减编码，稀疏表示。第一章 简介磁共振成像（MRI）是一种非侵入性和非电离性成像技术。它提供各种对比机制，使得解剖结构和生理机能达到极好的可视化。由于这些优势，磁共振成像成为图像诊断的一种主要的形式。然而，影响磁共振成像临床吞吐量和成像质量尤其是动态成像应用的主要缺陷是MRI是一种相对较慢的成像形式。这是由于磁共振成像的数据是在空间傅里叶域的K空间按照时间顺序采样获得的。虽然有扫描硬件和脉冲序列的优势，磁共振数据的获取速率受到射频能量吸收的物理和生理约束。因此各种磁共振技术旨在减少精确重建图像所需数据量。基于硬件的，并行数据获取（P-MRI）方法减少所需K空间采样数量，并利用由多个射频接收线圈提供的多样性减少由此产生的混叠。并行磁共振成像在商业系统中被广泛应用，在临床实践中扮演了重要的角色。然而，尽管可以利用数以万计的接收线圈，但是并行磁共振成像受到增强的噪声和小于3或4倍的不完善混叠校正加速限制。对基于硬件加速的补充是算法减少的数据获取MRI方法。利用一些甚至适应成像对象的获取值方法，这些方法依靠隐函数，显式建模或对底层图像或对象的约束条件。压缩感知（CS）是近年来发展的这样一种方法，并且是本文的主题。CS5-7近期理论（参考CS傅里叶稀疏信号和傅里叶成像的最早期版本8-15）使得从未知量或传统奈奎斯特采样定理下更少的观测值精确恢复信号或图像成为可能。压缩感知的实现有两个条件：底层信号或图像在某一变换域是稀疏的，并且在稀疏域采样值产生非相干混叠干扰。这一改进的代价是重建过程是非线性的。最近，CS理论已经运用于MRI16-21，表明了从减少的少量观测值高效恢复图像成为可能。磁共振图像在某些变换域（小波、有限差分、曲线波等）的稀疏性，或者说，磁共振图像可以在所谓的字典下可以被稀疏表示是准确重建的关键。然而，应用非自适应性全局稀疏变换的压缩感知磁共振成像（CSMRI）经常只能达到2.5-3倍欠采样22。Fig.1的脑部参考磁共振图像表明了这一缺陷。该图显示CS采样方案是采样因子为20的K空间可变密度随机降采样。通过仿真参考图像的2维离散傅里叶变换降采样获取CS数据 。小波变换和全变分作为稀疏变换,应用一个领先的CSMRI方法16重建,可以清晰地看到许多不希望的伪影和特征丢失。重建图像误差的幅度（和参考图像）也表明许多区域有较高的误差。自适应的变换（字典）由于是由特定的图像实例或一类图像学习而来，因而可以更好地稀疏图像。近期对自适应字典24,25的研究表明基于块的稀疏字典在图像/视频去噪，图像/视频恢复，去模糊，去马赛克26-31等各种应用中有良好的前景。从全局图像稀疏到基于块的稀疏转换的意义在于基于块的字典稀疏可以有效捕捉局部图像特征，并且可以在不降低图像分辨率的情况下消除噪声和混叠伪影。基于块的方案变得愈受欢迎尤其是在利用重叠块去噪的附加平均效应的去噪中26,32。此外，静态单一影像可以有效分解成许多重叠块以训练一个稀疏字典。本文工作中，我们研究基于块的自适应字典对CSMRI重建效果的实质性改善。提出一个同时进行字典学习和从高欠采样K空间数据恢复图像的新颖框架。适用于特定要恢复的图像的字典表明在图像去噪方面可以收到良好的效果30。在图像修复方面从一个图像的部分像素点学习字典已经被研究，即填充图像中缺失的或者严重损坏的采样27,30。不同于图像修复，在MRI中有效的部分数据在K空间域中而非在图像域中，这是一个根本的区别。在本文中，我们从K空间少量采样点学习一个图像块字典。这种适应观测值的字典对每一个图像实例可以产生很好的稀疏效果，因而导致MRI降采样速率的极大提升。因此我们的方法在一个完全自适应框架下结合基于块的字典的优势，使得接近基本限制的重建成为可能。Fig.1展示了一个应用自适应字典的重建实例。结果显示，尽管采用了很大的降采样因子，和先前描述并在Fig.1（c）（e）展示的MRI重建效果对比仍然避免了许多伪影。图像重建误差的幅值（和Fig.1(e)所示图像重建应用相同的尺度）也有很大的降低。我们的框架可以自动更新一个从全采样参考图像中学习先验的字典以在当前的扫描数据中包含新特征。此外，该方法在图像重建甚至无参考图像时通过直接适应当前的图像内容有极大的提升空间。Fig.1的字典没有应用任何参考图像直接从采样数据中学习得到。在磁共振成像中免去频域全采样参考图像不仅提高效率，并且使得在获取相关参考图像困难的情况下应用成为可能。CSMRI的一个隐含目标是利用采样样本的一个子集完成K空间精确的插值。然而，正如我们的经验断定的那样，明确的K空间插值由于缺乏K空间局部结构信息导致了不理想的重建效果。在本文中，我们通过在图像域学习字典执行隐插值取而代之。文章的其余部分安排如下。第二章讨论了CSMRI的先前工作和字典学习。我们在第三章对基于自适应字典学习的MRI重建的问题公式进行详细分析。第四章讨论了我们提出的算法和它的相关特性。第五章是我们针对算法效果的实验演示，运用了大量的采样方案和噪声水平。在第六节，我们进行总结，展望未来工作的可能方向。第二章 背景及相关工作我们用xCp代表一个向量，即要重建的P像素2维复数图像，y表示K空间的观测值。二者关系（在不存在噪声的情况下）为Fux=y，其中Fu是降采样傅里叶编码矩阵。当K空间采样点个数小于未知图像像素点时我们称采样为降采样（mp）A.压缩感知磁共振成像压缩感知从观测值y重建未知图像x，或者说压缩感知通过使稀疏变换系数矩阵x的l0拟范数（也即非零个数）最小解决欠定系统线性方程Fux=y，其中CTP表示图像的全局，典型的标准正交稀疏变换。例如，可能为小波变换。因而x对应x的小波稀疏系数。相应的优化问题变为： minxx0 s.t. Fux=y. （1）由于对于给定的向量y,利用码本Fu找到一个稀疏编码x ，l0 范数问题也即稀疏编码问题是一个NP难问题。然而，解决这一问题我们有贪婪算法例如正交匹配追踪（OMP）31，33，或者l0拟范数可以被凸松弛取代，在图像为实数图像时l1范数34问题可以通过线性规划7解决，在为复数图像时可以通过二阶锥规划解决。当观测值有噪声时，CS问题应用基追踪去噪35解决。在特定的情况下，这些算法可以提供正确解，或者有很大的可能性提供正确解。在实践中，这些算法相对其他算法通常能取得比预测好的效果和经验效果36-40。压缩感知已经被应用于各种磁共振形态，例如静态磁共振成像16，19，20，动态磁共振成像17，21，41，42，灌注成像和弥散张量成像（DTI）45。本文我们重点关注静态磁共振成像的CS并进行详细研究。CSMRI重建问题的典型公式利用l1松弛而非l0拟范数，并且对K空间观测值的噪声用如下的拉格朗日形式16说明 minxFux-y22+x1 （2）这个公式包含一个全局稀疏观测矩阵和解析的快速稀疏变换。然而，一般变换例如小波会在重建结果中导致诸如吉布斯震荡的伪影。因此，对应于近似梯度稀疏变换的有限差分的全变分惩罚通常添加到公式中以增加空间同质性。其它提出的CSMRI的稀疏变换包括双树复小波变换和过完备曲线波。小波可以恢复点状特征，曲线波可以恢复曲线状图像特征。小波，曲线波和全变分惩罚的结合表明相对于仅仅小波和全变分惩罚结合48的图像恢复一个1.3db的峰值信噪比的提升。一种更为完美的小波稀疏变换应用高斯尺度混合模型20研究小波系数之间的相关性。这种方法的有效性在下一章中介绍。解决CSMRI重建问题（2）有许多算法。Lustig16应用回溯线搜索的非线性共轭梯度下降算法解决问题（2）。该文的重点主要是利用笛卡尔采样方案，显示了脑部成像和血管造影术结果。Ma22展示了应用快速小波和傅里叶变换快速重建的基于迭代算子分裂框架的算法。然而，结果显示当欠采样因子大于3倍时重建图像中会出现许多伪影。Qu49应用曲线波变换和有效软阈值迭代算法，显示了相对于小波重建图像质量有1.5db的提升。Kim20结合高斯混合尺度模型和迭代硬阈值重建。然而，这些工作数据质量的改进没有量化，效果不显著，并且所用欠采样因子很小（大约为2）。为相对于应用l1松弛或贪婪算法显著提升CSMRI的质量，一些作者转向非凸松弛或近似值。Chartrand【18】利用更加接近l0拟范数的lp拟范数（0p1）,对于一幅子宫图像，pn,字典D是过完备的。Fig.2显示了一个从Fig.1中20倍降采样的K空间数据学习得到的大小为4998的过完备字典，其中每个原子（幅值）显示为77的元素块。字典学习的目的在于解决以下的优化问题minD,ijRijx-Dij22 s.t.ij0T0 i,j. (3)矩阵RijCnp表示从图像x提取图像块xij的算子，表示为xij=Rijx 。约束项中的l0拟范数用来对图像块的稀疏性进行编码。T0是要求的稀疏度。,用来表示所有图像块的稀疏表示的集合ijij。公式3在满足稀疏约束的条件下使得关于字典的所有图像块的总装配误差最小。由于对固定的字典D和图像x，字典学习问题(3)归结于稀疏编码问题，故解决该问题是一NP难问题，然而，与后者问题不同（或者说，压缩感知问题(1)），即使应用l0拟范数的凸松弛，学习的优化问题在未知变数的情况下是非凸的，这使得问题的解决更加困难。为解决该字典学习问题，提出了许多算法24，25，52，53。这些算法的典型思想是在找到一个稀疏字典和稀疏表示之间交替进行。尤其是K-SVD算法24，已经在许多应用领域26-28得到了广泛的应用。K-SVD依序进行字典更新，其中字典D的每一列原子和相应的稀疏表示同时更新。顺序更新和K均值算法相似，每次更新一个原子。因此称之为K-SVD。医学图像的字典学习逐渐得到关注。该字典的典型学习过程应用参考图像。在超声胸部成像的应用中，利用比奇异值分解算法早的最大似然字典学习53从参考磁共振扫描中得到训练字典。Bilgin56通过一个全采样参考图像切片学习得到一个奇异值分解块字典并且将其应用在IHT以恢复降采样测试图像切片。然而，所用的K空间降采样因子很小（大概是2），并且在重建图像的信噪比相比小波-IHT改善很小（1.5dB）。Chen57从一个全采样参考图像学习基于块的K-SVD字典，并在重建中应用l1范数进行稀疏。该结果显示相比小波作为稀疏变换，字典学习在压缩感知磁共振成像的效果改善。然而，改善效果很小（同应用小波的压缩感知相比信噪比提升了1.6dB），并且误差图有相当重要的结构信息表明重建图像特征的丢失。这些结果表明参考图像的字典学习将不能有效稀疏当前扫描的新的特征。Otazo和Sodickson58针对MRI应用K-SVD算法学习一维的字典，直接从一维小波的CSMRI得到的初始重建的列中得到一维字典。同先前结果对比，显示该学习字典产生了更好地重建效果。然而，一个一维字典具有很严格的局限性，不能利用图像的局部结构。训练图像块的数目和图像的列数相同，这对训练是不够的。因此，不出所料，即使在2.5倍的降采样率下重建图像依然有可见伪影。第三章 问题公式化针对基于字典学习的CSMRI的问题公式化需要两个特征。首先在自适应字典下必须可以执行重建图像块的稀疏，并且产生和有效K空间数据一致的重建；其次，必须可以避免在零填充傅里叶重建中的典型伪影。伪影的出现主要有两个原因：K空间降采样，采样数据中的噪声干扰。降采样引起图像域的混叠，观测K空间采样的独立同分布的零均值复高斯噪声，在图像域转化成有色高斯噪声。一个可能的公式如下（P0）minx,D,ijRijx-Dij22+Fux-y22 s.t. ij0T0 i,j. （4）代价函数中的第一项捕捉图像块关于字典D稀疏近似的质量。第二项执行K空间数据保真度。块稀疏约束项和通用字典学习相同。公式中的权重取决于观测噪声的标准偏差，表示为=（/）,其中是一个正常数。使得它对噪声的稳定性更好。这种形式的权重应用观测过程的先验知识，并在图像去噪中30表现了良好的效果。没有适应数据保真度权重的明确噪声等先前压缩感知磁共振成像方法16权衡了数据一致性和去噪两个方面。本文提出的公式考虑了已知噪声水平的观测情形。当精确值未知时对噪声水平的估计或观测到的噪声水平可以被应用。 更加简单的不加噪观测问题公式可以通过从代价函数中去掉数据保真度项，反而将数据保真度项作为约束条件Fux=y来得到。这种情况描述了当0，或者0时问题（P0）的极限行为，对高信噪比的观测过程是有用的。我们的公式因而能够设计一个自适应字典，并且应用该字典去重建底层图像。这一过程的完成只应用了降采样的K空间观测值y。然而，正如通用的字典学习问题（3），同时重建和字典学习的问题（P0）是NP难问题，并且即便当l0拟范数降低限制条件变为l10范数时问题依然是非凸的。替代问题（不一定更简单）公式也可以通过修正问题（P0）产生。例如，稀疏约束可以作为应用拉格朗日乘子的惩罚项结合在代价函数中。然而，在本文中，我们集中于问题（P0）。在公式中我们应用定期定位，重叠的2维图像块。重叠步长定义为邻接图像块相应像素位置间的像素点间距离。当=1时图像块有最大重叠。在这种情况下，每一像素点（i,j）（除了靠近右下角图像边缘的像素点）都是一个2维图像块的左上角。假设图像块在图像边缘处做”环绕式处理”，那么靠近图像右下边缘的像素点也可以构成某些图像块的左上角像素。这种情形下的图像块开始于图像边界，并在图像的对面环绕。当图像假设”环绕处理”并且重叠步长为=1时，图像的每个像素点分别属于n个不同的图像块，其中n表示一个图像块的像素个数。自适应的基于块稀疏的公式既可以有效学习局部图像特征也可以去除混叠和噪声。重叠块对于去除伪影创建一个额外的平均效应。公式的这些方面使得它在CSMRI场景中获得很好的应用。第四章 算法和算法性能A算法问题（P0）应用交替最小过程解决。在交替计划的一个阶段，x被假设为固定的，共同学习图像块的字典和稀疏表示。在另一阶段，字典和稀疏表示是固定的，x被更新以满足数据一致性。这两步在以下的章节中将被详细阐述。1）字典学习阶段：在这一阶段，在x固定下解决问题（P0）。这对应于子问题（P1）minD,ijRijx-Dij22 s.t. dk2=1 k ， ij0T0 i,j. （5）学习的代价函数考虑了应用稀疏字典的所有重叠块的拟合误差。另外，类似于字典学习在去噪30中的应用，我们只使用所有块的一部分，取百分比的图像块来训练字典。设计字典的列（用dk表示，1kK）是单位约束规范以避免尺度模糊59。应用K-SVD算法24学习字典D。一旦字典被学习，在所有图像块执行稀疏编码以确定ij。2）更新重建：在这一阶段，在固定字典和稀疏表示下解决问题（P0）。相应的更新问题变为 （P2）minxijRijx-Dij22+Fux-y22。 （6）问题（P2）是一个有解析解的简单的最小二乘问题。最小二乘解满足标准方程 ijRijTRij+FuHFux=ijRijTDij+FuHy. （7）其中上标H表示厄米共轭转置操作，当运算数是实数时用上标T取代H。因为公式要求转置PP矩阵自左乘X，直接解决问题（7）是冗长复杂的。通常，它的运算复杂度为O(P3) ，这对于P=256256是不可实现的。幸运的是，通过使用不同量的结构对解决方案进行简化。 ijRijTRijCPP是一对角矩阵，其中对应图像像素点位置和其值的对角线元素和分布在那些像素位置的重叠图像块的数目是相等的。在假设图像块环绕在图像边界的情况下，对角元素全部相等，ijRijTRij=Ip（其中IpCPP为单位阵）。特别地，当图像块的重叠步长=1时，=n。当图像块被限制在视野区（没有环绕），贡献给靠近图像边界的像素点的图像块的数目将会比图像其它区域的像素点的数目要少，用ijRijTRijIp来表示。“环绕”的假设在设计字典29之前，在这里应用以达到一个简单的解决方案。 有额外尺度因子（1/）的ijRijTDij表示块平均结果。被学习字典近似表示的图像块在图像的各自位置被平均。通过对覆盖每一像素点的不同的图像块取平均得到每一像素点的灰度值。通过图像域到傅里叶域的转换得到以下简化形式。令FCPP表示标准化的全傅里叶编码矩阵例如FHF=Ip。Fx表示全部的K空间数据。代入公式（7）产生 FijRijTRijFH+FuHFuFHFx=FijRijTDij+FFuHy. （8）算法1输入：y-K空间观测值输出：x-重建磁共振图像初始化：x=x0=FuHy迭代： 1）对图像x的每一图像块学习字典和稀疏表示 2）更新x：通过对所有包含某一像素点的图像块取平均得到该像素的值 3）SFFT(x) 4）通过公式（9）恢复采样频率以更新S 5）xIFFT(S)矩阵FFuHFuFH是一个由1和0构成的对角矩阵，元素1是对应K空间中采样位置的对角线元素。矢量FFuHy表示零填充的傅里叶测量值。在环绕的假设下，FijRijTRijFH=Ip，公式（8）中矩阵自左乘Fx成为对角和非常可逆的。等式的两边可以被常数除，并且和权重有一定关系（用=(/)）。块平均结果转换到傅里叶域产生 S=FijRijTDij则公式（8）的解为 Fxkx,ky=Skx,ky,Skx,ky! Skx,ky+S0(kx,ky)1+,Skx,ky （9）其中Fxkx,ky表示在坐标位置kx,ky更新的值，S0=FFuHy表示零填充K空间观测值，表示被采样的K空间的子集。尽管存在噪声，等式（9）对于未采样的傅里叶频率用了字典内插值，对于采样的傅里叶频率进行了回填。对于没有噪声的情况（），这一操作仅仅恢复采样频率的观测值。通过对Fx取傅里叶逆变换得到重建图像x。本文提出的算法在以上进行了总结。算法初始化为一个零填充的傅里叶重建FuHy。如果采样方案是非笛卡尔采样，用网格可以快速进行傅里叶变换。因为采样点落在一个笛卡尔网格，满足伪径向采样模式的不用网格的简单傅里叶变换应用在第五节的数值实验。这一优质解是在“块环绕”的假设下得到的。在图像块限制在视野区的情况下执行该算法。通过这种方法得到的重建图像和应用共轭梯度迭代解决公式（7）得到的重建图像几乎没有区别。但是后者方法更慢。B.收敛本文提出的算法在字典学习，稀疏表示和重建估算间交替进行。迭代解决问题（P1）和（P2）导致代价函数（P0）的单调递减。因此，代价函数非负收敛。因此，更好地稀疏重建从代价函数P0而言在每一次迭代中被学习。经验上来讲，迭代xk（被迭代次数标注）收敛但不是严格收敛。另外一个待解决问题涉及完美重建（零噪声）条件。数值实验表明，在比当前的压缩感知磁共振成像方法合理的更高欠采样因子下，本文算法可以达到完美重建。算法迭代停止条件可以是目标函数的值。也可以是逐次迭代间的重建误差的范数。第五章的仿真实验显示算法收敛很快，一个固定数目的迭代次数可以满足实际需要。C.参数本文算法有一些设计参数，特别是图像块的大小（nn），每个图像块的稀疏阈值（T0），字典原子数目或者过完备度（K），训练图像块数量的百分比（），块重叠步长（），和数据一致性权重因子。在第五节我们研究算法对这些参数的敏感度。D.算法复杂度算法在图像域和K空间域交替变换。问题（P1）的解决涉及从所有N个图像块的部分学习字典D。字典学习阶段应用K-SVD算法，稀疏编码应用OMP方法。运算复杂度被稀疏编码主导，其复杂度为O(NKnT0J)数量级，其中J是学习过程中迭代次数。用学习的字典对所有的图像块进行稀疏编码的复杂度为O(KnT0N)。通过选择J=1使得字典学习和最后的稀疏编码阶段达到平衡。重建更新阶段（P2）的运算复杂度被2个复杂度为O(PlogP)的傅里叶变换主导。（P2）的其它运算也即块平均和采样频率平均通常更快，更低的运算复杂度。在块环绕，重叠步长=1的假设下，块数量N=P，O(KnT0P) O(PlogP)。这表明问题（P1）主导了运算代价，主要的速度瓶颈是由于（P1）的各种稀疏编码阶段。应用更快的稀疏编码算法和并行块处理可以有效提高速度。通过增加重叠步长（N=P/2，块环绕）来减少重叠块数量，可以显著降低运算复杂度。其它参数例如块的大小，稀疏度，字典原子的数量等如果很小可以妥协解决方案。第五章 实验A框架本节对不同降采样因子，有无噪声的情况表明改进算法的性能。实验中所用的是活体内磁共振扫描的大小为512512的图像。实验中所用采样模式包括2维随机采样19，随机相位编码的笛卡尔采样（一维随机）和伪径向采样57，采样模板在一个512512的笛卡尔网格上，在最靠近径向线的点上按角度均匀间隔。类似于之前在CSMRI18-20，22，58方面所做的工作，压缩感知数据获取通过二次抽样磁共振图像的2维离散傅里叶变换进行仿真（除了应用脉冲序列的Figs.8和10图像）。仿真实验的参考磁共振图像（灰度）被规范化为最大幅度为1。我们的重建方法和Lustig16的领先的压缩感知磁共振成像方法重建（表示为LDP）和基线零填充重建进行了对比，在第二节的其它压缩感知磁共振成像方法相比LDP仅仅有很小的改进，因此，不包含在我们的对比图像中。所有的实现都用Matlab v7.8（R2009a）编码实现。运算用2.27GHz英特尔核i5的CPU和4GB的存储器施行，应用64位的Windows7操作系统。在我们的对比试验中LDP的Matlab实现可以从作者的网站61得到，我们应用在实验中表现最佳的固定参数。在有无噪声的实验中，各参数的值设定为n=36，K=n=36，T0=0.15n5，=140。最大块重叠=1。学习阶段（K-SVD）应用10次迭代，200K个块和固定为T0的稀疏度。K-SVD学习方案要求字典的初始值24。我们应用训练数据的左奇异值矢量形成初始3636的字典。涉及像小波等解析字典的替代初始化也有很好的效果。学习之后，每个重叠块应用稀疏度为T0的字典进行稀疏编码。在仿真实验中实值字典(57)应用于实值图像，复数值字典应用于实际磁共振数据实验（Figs.8和10），在该实验中重建图像经常是复数的。复数字典经过更多的迭代次数对实值仿真实验产生相似的结果。对仿真实验该算法运行10-15次迭代，在Figs.8和10中运行几十次迭代。当前，针对复数字典该算法运行时间大约为1.4min迭代一次。我们期望将代码转换为C或C+，代码优化，图形处理器运行时间可以有实质性的下降。重建的质量可以被两个度量量化-峰值信噪比，高频误差规范。用分贝表示的峰值信噪比通过计算参考图像的峰值灰度值和重建图像和参考图像的均方根误差（RMS）的比值得到。这是在图像压缩中一个标准的图像质量评价，和信噪比18，56一样在以前的CSMRI中已经使用49。高频误差规范（HFEN）被用来度量重建图像的边缘和细节特征。我们应用旋转对称LoG(高斯拉普拉斯算子)滤波器捕捉边缘。滤波器核大小为1515的像素点，和一个1.5像素的标准差。HFEN通过LoG滤波得到的重建图像和参考图像的误差结果的l2范数来计算。不用说，这些度量量不必要代表只有通过人类视觉观测研究的感知视觉质量。尽管如此，这些度量的大的误差对应视觉感知误差。B不加噪情况不加噪情况（的问题P0）在我们算法的重建更新阶段可以通过执行直接的频率填充/恢复得到解决。也可以用很大的值解决问题P0。我们先研究不加噪情况以看到我们公式和算法理想的效果。Fig.4显示了一个应用5倍降采样K空间2维可变密度随机采样大脑图像的算法效果。零填充的傅里叶重建因为混叠有显著地不可取的伪影。LDP算法16,61也不能很好的去除伪影。零填充重建的一些伪影在CSMRI-LDP重建结果中依然存在。这一现象在以后的Figs.6，9，11，10中也可以看到。作为对比，应用字典学习的这一结果(DLMRI)消除了伪影，接近于完美重建。我们的算法执行应用固定迭代次数10研究算法性能。重建误差幅度，也就是xRecon-xRef，对LDP方法和DLMRI，最大参考图像灰度的5%作为阈值。高误差的参考图像区域用绿色覆盖以容易识别。可以看到压缩感知磁共振成像结果16,61在许多区域有超过5%的误差幅值（多于图像的50%），而DLMRI结果几乎没有这么高的幅值误差（只有所有像素点的0.07%）。逐次迭代的重建误差的 范数（xk-xk-12）收敛很快。算法10次迭代之后的DLMRI的峰值信噪比比相同迭代次数的LDP方法16,61有将近18dB的提高。不出所料，零填充重建拥有最差的峰值信噪比。对于LDP，DLMRI的HFEN也更低，这表明DLMRI在捕捉边缘和细节特征的优异性能。DLMRI比LDP重建K空间未采样频率表现更好地性能。重建图像x，在算法迭代5或6次之后表现很小的视觉变化。各种场景也表现快速的收敛，因此在数量上表现了这一事实。在Fig.5，4倍降采样可变密度笛卡尔采样应用在Circle of Wills的非对比MRA。应用DLMRI的重建比应用LDP的重建更加清晰，尖锐，并且避免了混叠伪影。特别地，DLMRI重建一半的底部血管比LDP重建的更加不模糊。DLMRI和LDP的重建误差的幅度有相同的尺度。LDP的误差图像有更显著的结构误差，表征了特征的丢失。在Fig.6中，7.11倍降采样的笛卡尔采样被应用。LDP不能移除零填充结果的大的混叠伪影。在另一方面DLMRI产生无伪影的接近于参考图像的重建。峰值信噪比和高频误差规范误差度量表明DLMRI在这种情况下的良好前景。因为完美的K空间内插不能实现，和参考图像相比较重建图像的小的平滑度在高欠采样因子下看起来是不可避免的。通过采样K空间（笛卡尔）中心相位编码线按7.11倍降采样得到的一个低的分辨率重建也在Fig.6中。峰值信噪比为29.5dB的重建有一些用绿色箭头标注的震荡伪影。当仅对K空间中心数据执行DLMRI算法时产生峰值信噪比为30.7dB的重建结果。小的改善是因为相位编码方向的高频信息的缺乏。然而，和低分辨率重建相比，由于我们公式的局部稀疏约束一些震荡减少了。在另一方面，LDP结果（此处没有显示）有更小的峰值信噪比，为29.3dB。Fig.7显示和Fig.6同一图像和同一降采样因子但是分别应用可变密度2维随机采样和伪径向采样（也应用和显示在Fig.11（C）。两种采样方案的DLMRI方法显示执行LDP。自适应字典与非自适应字典相比产生更加显著的混叠伪影的减少（也就是说，2维随机采样的非相干混叠伪影，伪径向采样的伪影）。DLMRI算法对于伪径向采样方案的重建误差的幅值相对于LDP算法也更小。Figs.6和7表明DLMRI在给定的降采样因子，不同的采样方案下有好的重建效果。在Fig.8中，大脑的T2权重K空间数据应用一个笛卡尔FSE序列获得。2维FSE随机降采样相位编码用来检测重建算法的效果。作者收集了这一数据，可以在作者网站获得。应用2.5倍降采样的LDP和DLMRI方法重建没有显示太多的视觉误差。然而，当相位编码被更显著的降采样，这两种方法的重建显示显著地视觉误差。当在4或5倍降采样LDP重建显示可见的混叠伪影和相位编码方向（图像平面的水平方向），在更高的降采样因子下DLMRI重建是清晰没有伪影的。C加噪情况下的表现有噪的情况涉及在算法重建更新阶段中K空间的加权平均（9）。Fig.9表明针对Fig.4中的应用笛卡尔5.23倍降采样参考图像我们算法的效果。零均值，标准差为=18.8的复数白噪声加入K空间。全采样加噪图像和只有噪声的图像显示，和参考图像相比，加噪效果很显著。和参考图像相关的加噪图像的峰值信噪比大约是30.68dB。LDP重建不能有效去除零填充结果的混叠和噪声。从另一方面我们的算法提供了很好的重建。DLMRI重建误差的幅值图像相比LDP表现了更小幅值的误差和更小的结构误差。DLMRI结果的峰值信噪比（和不加噪参考图像有关）比LDP的峰值信噪比有4.1dB的提高，也比全采样加噪图像和零填充重建结果的峰值信噪比高，表明了良好的去噪和移除混叠效果。DLMRI的HFEN度量效果也更好。这些结果表明我们的公式/算法在合理噪声数量下重建效果良好的前景。算法执行10次迭代，收敛速度和一些先前不加噪情况一样快速。在Fig.10，一个（256256）的模板应用一个2维的笛卡尔GRE序列扫描。扫描数据是有噪声的，可得到的。K空间通过降采样因子为4的随机选择相位编码线进行降采样。参数基于观测的噪声，设置为0.7。LDP重建保持了在零填充重建的一些伪影。在另一方面，DLMRI重建算法显示更好地图像特征，更加清晰，没有混叠。相比LDP，噪声也更少，这一结果表明我们框架优异的去噪能力。Fig.11涉及到一个T2权重的应用伪径向采样和6.09倍的K空间数据降采样。标准差=14.2的复数高斯噪声加入K空间数据。DLMRI重建比LDP重建效果好。LDP重建结果的一些误差区域已经用箭头表示。DLMRI重建相应区域更加清晰和尖锐。DLMRI重建误差的幅值图像表明更小的像素误差和更少的结构信息。D降采样限制的评价在本实验中，DLMRI相比LDP可得到的有效的降采样限制是可评价的。Fig.6中的参考图像应用于2维随机采样的评价。标准差=10.2的复数白高斯噪声加入K空间采样中。全采样加噪图像的峰值信噪比是35.3dB。得到各种K空间降采样因子的DLMRI和LDP算法的重建图像。变量PSNR和HFEN作为降采样因子的函数，关系曲线如Fig.12所示。DLMRI的峰值信噪比即使在诸如20等很高的降采样因子下也很高，表明了混叠和噪声能够很好地移除。另一方面，LDP算法的峰值信噪比只有在低的降采样因子如2.5时才和DLMRI算法具有可比性。这表明LDP方法在较高的降采样因子下不能有效去除混叠和噪声。LDP方法在2.5倍降采样因子的HFEN值和DLMRI方法在4或6倍降采样因子的HFEN值是可比的。在2.5倍降采样因子的LDP方法的重建和重建误差幅值被显示。