初三数学解直角三角形、锐角三角函数的简单的运用江苏科技版知识精讲.doc

亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc 初三数学初三数学解直角三角形 锐角三角函数的简单的运用解直角三角形 锐角三角函数的简单的运用江苏科技版江苏科技版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 解直角三角形 锐角三角函数的简单的运用 二 教学目标 1 掌握直角三角形的边角关系和解直角三角形的概念 并能运用直角三角形的两个锐角 互余 勾股定理和锐角三角函数解直角三角形 2 了解仰角 俯角 水平线 铅垂高度 坡角等概念 并会用解直角三角形的有关知识 解决某些实际问题 三 教学重 难点 教学重点 运用转化的思想把不规则的图形转化为直角三角形 运用解直角三角形的 知识 恰当地选择三角函数关系式 正确地解直角三角形 教学难点 恰当地选择三角函数关系式 正确地解直角三角形 课堂教学 一 知识要点 知识点知识点 1 1 解直角三角形的概念解直角三角形的概念 A C a B c b 如图所示 在 Rt ABC 中 C 90 A 50 c 5 如何求 B a b 呢 由 A B 90 A 50 得 B 90 A 40 由 sinA a c 得 a csinA 5sinA 5 0 7660 3 83 由 cosA b c 得 b ccosA 5cosA 5 0 6428 3 214 上述问题中 我们除了直角外 已知一条边和一个锐角 求未知两条边和一个锐角 于是有 在直角三角形中由已知元素求未知元素的过程 就是解直角三角形 说明 直角三角形中共有六个元素 即三条边和三个角 除去直角外 另外的五个 元素中 只要知道一条边和一个角或两条边 就可以求出其余的所有未知元素 知识点知识点 2 2 解直角三角形的理论依据解直角三角形的理论依据 在 Rt ABC 中 C 90 a b c 分别为 A B C 的对边 1 三边之间的关系 勾股定理 222 cba 2 锐角之间的关系 A B 90 3 边角之间的关系 sinA a c cosA b c tanA a b sinB b c cosB a c tanB b a 亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc 4 直角三角形的有关定理 直角三角形中 斜边上的中线等于斜边的一半 直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的一半 直角三角形中 若一条直角边等于斜边的一半 则这条直角边所对的锐角等于 30 直角三角形中 斜边上的高是这条高分斜边所得两条线段的比例中项 如图所示 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 垂足为 D 则 CD2 AD DB 同理 AC2 AD AB CB2 BD BA 面积公式 如图所示 S ABC CA CB AB CD 2 1 2 1 C A D B 说明 在运用关系式解直角三角形时 常用到下列变形 锐角之间的关系 A 90 B B 90 A 三边之间的关系 22 bca 22 acb 22 bac 边角之间的常用变形 a csinA b ccosA a btanA a ccosB b csinB b atanB 知识点知识点 3 3 解直角三角形的基本类型及其解法解直角三角形的基本类型及其解法 解直角三角形有四种基本类型 1 已知斜边和一直角边 2 已知两直角边 3 已知斜边和一锐角 4 已知一直角边和一锐角 其解法步骤列表如下 图形已知类型已知条件解法步骤 斜边 一直角边 如 c a 1 22 acb 2 由 sinA a c 求 A 3 B 90 A 两边 两直角边 如 a b 1 22 bac 2 由 tanA a b 求 A 3 B 90 A A C B c b a 一边一角斜边 一锐角 如 c A 1 B 90 A 2 由 sinA a c 求 a csinA 3 由 cosA b c 求 b ccosA 亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc 一直角边 一锐角 如 a A 1 B 90 A 2 由 tanA a b 求 b a tanA 3 由 sinA a c 求 c a sinA 例如 在 Rt ABC 中 C 90 解这个直角三角形 2BC 6AC 分析 可画出图形 如图所示 已知条件中的两条边是直角边 用 A 的正切求出 A 由 90 A 求出 B 由勾股定理求出斜边 c A B C a b c 解 解 在 Rt ABC 中 3 36 2AC BCAtan A 30 B 90 A 60 由勾股定理 22 6 2 2222 ACBCAB 1 在求直角三角形的有关问题时 要画出图形 以利于分析问题 2 选择关系式时 要尽量利用原始数据 使计算更加准确 知识点知识点 4 4 仰角 俯角仰角 俯角 如图所示 OC 为水平线 OD 为铅垂线 OA OB 为射线 我们把射线 OA 与水平线 OC 所形成的 AOC 称为仰角 把线 OB 与水平线 OC 所形成的 BOC 称为俯角 进行高度测量时 射线与水平线所形成的角中当射线在水平线上方时叫做仰角 当射线在水平线下方时叫做 俯角 A B O C D 水平线 射线 射线 知识点知识点 5 5 坡角 坡度坡角 坡度 如图所示 BC 表示水平面 AB 表示坡面 我们把水平面 BC 与坡面 AB 所形成的 ABC 称 为坡角 亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc B A C i h L L h 一般地 线段 BC 的长度称斜坡 AB 的水平宽度 线段 AC 的长度称为斜坡的铅垂高度 坡面的铅垂高度 h 与水平宽度 L 的比称坡面的坡度 坡比 记作 i h L 坡度经常写作 h L 的形式 坡面与水平面的夹角叫做坡角 记作 所以 tan i h L 显然 坡度越 大 坡面就越陡 知识点知识点 6 6 方位角 方向角方位角 方向角 方位角 从某点的正北方向沿着顺时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角 北 东 南 O 西 方向角 从正北方向或正南方向到目标方向所形成的角叫做方向角 北 西 东 南 O 典型例题典型例题 选择题选择题 1 在 Rt ABC 中 C 90 当已知 A 和 a 时 求 c 应选择的关系式是 A c sin a A B c cos a A C c a tanA D c a cotA 答案 答案 A 点拨 sinA a c 所以 c sin a A 2 小明沿着坡角为 30 的坡面向下走了 2 米 那么他下降了 A 1 米B 米 C 米 D 米 332 3 32 答案 答案 A 3 已知 Rt ABC 中 C 90 tanA 4 3 BC 8 则 AC 等于 亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc A 6 B 32 3 C 10D 12 答案 答案 A 点拨 点拨 tanA BC AC AC 8 4 tan 3 BC A 6 填空题填空题 1 如图 3 3 网格中一个四边形 ABCD 若小方格正方形的边长为 1 则四边形 ABCD 的周长是 答案 答案 32 25 点拨 四边形 ABCD 的周长为 22 11 22 12 22 21 22 22 32 25 2 已知 ABC 中 C 90 AB 13 AC 5 则 tanA 答案 答案 5 12 点拨 点拨 BC 22 ABAC 22 135 12 tanA BC AC 12 5 3 某坡面的坡度为 1 3 则坡角是 答案 答案 30 点拨 点拨 坡角 的正切 tan 13 33 所以 30 4 如图所示的一只玻璃杯 最高为 8cm 将一根筷子插入其中 杯外最长 4 厘米 最 短 2 厘米 那么这只玻璃杯的内径是 厘米 答案 答案 6 点拨 点拨 根据条件可得筷子长为 12 厘米 如图 AC 10 BC 22 ACAB 22 108 6 解答题解答题 亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc 1 根据下列条件解直角三角形 1 在 Rt ABC 中 C 90 a 5 c 5 2 2 在 Rt ABC 中 C 90 c 4 A 60 3 3 在 Rt ABC 中 C 90 a 6 b 2 3 4 在 Rt ABC 中 C 90 b 15 A 42 6 0 解 解 1 sinA A 45 c a 25 5 2 2 B 90 A 45 A B 45 b a 5 2 A 60 B 90 A 30 sinA a c sinA 4 sin60 4 6 c a 33 2 3 b 2 22 ac 3 3 C 90 a 6 b 23 c 4 22 ba 22 32 6 3 tanA 3 32 6 b a A 60 B 90 A 90 60 30 4 A 42 6 B 90 A 47 54 tanA a b tanA 15 tan42 6 13 55 b a cosA c 20 22 c b 642cos b 2 已知等腰 ABC 中 AB AC 13 BC 10 CE 为 AB 边上的高 求顶角 A 的四种三 角函数值 解 解 如图 AD BC CE AB AB AC 因为 AD BC AB AC 所以 BD CD 5 在直角三角形 ABD 中 AD 2222 135ABBD 12 S ABC 1 2 AB CE 1 2 BC AD 所以 1 2 13 CE 1 2 10 12 CE 120 13 在直角三角形 ACE 中 AE 2222 120 13 13 ACCE 119 13 亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc 在直角三角形 ACE 中 sin CAE 120 120 13 13169 CE AC cos CAE 119 119 13 13169 AE AC tan CAE 120 120 13 119 119 13 CE AE cot CAE 119 120 AE CE 3 如图所示 平地上一棵树高为 5 米 两次观察地面上的影子 第一次是当阳光与地 面成 45 时 第二次是阳光与地面成 30 时 第二次观察到的影子比第一次长多少米 解 解 第一次观察到的影子长为 5 cot45 5 米 第二次观察到的影子长为 5 cot30 53 米 两次观察到的影子长的差是 53 5 米 4 如图所示为一个燕尾槽是等腰梯形 外口 AD 宽 10cm 燕尾槽深 10cm AB 的坡度 i 1 1 求里口宽 BC 及燕尾槽的截面积 解 解 如下图 作 DF BC 于点 F 由条件可得四边形 AEFD 是矩形 AD EF 10 AB 的坡 角为 1 1 所以 AE BE 1 所以 BE 10 同理可得 CF 10 里口宽 BC BE EF FC 30 厘米 截面积为 1 2 10 30 10 200 平方厘米 5 如图 AB 是江北岸滨江路的一段 长为 3 千米 C 为南岸一渡口 为了解决两岸交 通困难 拟在渡口 C 处架桥 经测量得 A 在 C 北偏西 30 方向 B 在 C 的东北方向 从 C 处连接两岸的最短的桥的长为多少米 精确到 0 1 亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc 解 解 过点 C 作 CD AB 于点 D CD 就是连接两岸最短的桥 设 CD x 千米 在直角三角形 BCD 中 BCD 45 所以 BD CD x 在直角三角形 ACD 中 ACD 30 所以 AD CD tan ACD x tan30 3 3 x 因为 AD DB AB 所以 x 3 3 x 3 x 93 3 2 1 9 千米 6 如图所示 学校在楼顶平台上安装地面接收设备 为了防雷击 在离接收设备 3 米远 的地方安装避雷针 接收设备必须在避雷针顶点 45 夹角范围内 才能有效避免雷击 45 已知接收设备高 80 厘米 那么避雷针至少应安装多高 解 解 80 厘米 0 8 米 如图 AE CD 于点 E AB CE 0 8 AE BC 3 在直角三角形 ADE 中 cot DE AE DE AE cot 3cot 因为 45 所以 cot 1 所以 DE 3 CD CE DE 3 8 米 因此 避雷针最少应该安装 3 8 米高 模拟试题模拟试题 答题时间 80 分钟 一 选择题一 选择题 1 在 Rt ABC 中 各边都扩大 5 倍 则角 A 的三角函数值 A 不变 B 扩大 5 倍 C 缩小 5 倍D 不能确定 2 如果 是等边三角形的一个内角 那么 cos 的值等于 亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc A 1 2 B 2 2 C 3 2 D 1 3 Rt ABC 中 C 90 cosA 3 5 AC 6cm 那么 BC 等于 A 8cm B C D cm 5 24 cm 5 18 cm 5 6 4 菱形 ABCD 的对角线 AC 10cm BD 6cm 那么 tan 2 A 为 A 3 5 B 4 5 C D 34 5 34 3 5 在 ABC 中 C 90 tanA 12 5 ABC 的周长为 60 那么 ABC 的面积为 A 60 B 30 C 240 D 120 6 如图所示 ABC 中 ACB 90 CD AB 于点 D 若 BD AD 1 4 则 tan BCD 的值是 A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 2 7 如图所示 已知 O 的半径为 5cm 弦 AB 的长为 8cm P 是 AB 延长线上一点 BP 2cm 则 tan OPA 等于 A 3 2 B 2 3 C 2 D 1 2 8 如图 起重机的机身高 AB 为 20m 吊杆 AC 的长为 36m 吊杆与水平线的倾角可以从 30 转到 80 则这台起重机工作时吊杆端点 C 离地面的最大高度和离机身的最远水平距 离分别是 A 30 20 m 和 36tan30 m B 36sin30 20 m 和 36cos30 m C 36sin80 m 和 36cos30 m D 36sin80 20 m 和 36cos30 m 9 如图 小阳发现电线杆 AB 的影子落在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上 量得 CD 8 米 亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc BC 20 米 CD 与地面成 30 角 且此时测得 1 米的影长为 2 米 则电线杆的高度为 A 9 米 B 28 米 C 7 3 米 D 14 23 米 二 填空题二 填空题 10 一等腰三角形的两边长分别为 4cm 和 6cm 则其底角的余弦值为 11 Rt ABC 中 C 90 b 6 若 A 的平分线长为 43 则 a A 12 如图所示 在 ABC 中 A 30 tanB 1 3 BC 10 则 AB 的长为 13 Rt ABC 中 若 sinA 4 5 AB 10 则 BC 14 在 Rt ABC 中 C 90 在下列叙述中 sinA sinB 1 sin 2 A cos 2 BC sin sin A B tanB 其中正确的结论是 填序号 15 在高 200 米的山顶上测得正东方向两船的俯角分别为 15 和 75 则两船间的距 离是 精确到 1 米 cot15 2 3 16 如图所示 人们从 O 处的某海防哨所发现 在它的北偏东 60 方向 相距 600m 的 A 处有一艘快艇正在向正南方向航行 经过若干时间快艇到达哨所东南方向 B 处 则 A B 间的距离是 17 如图 测量队为测量某地区山顶 P 的海拔高度 选 M 点作为观测点 从 M 点测量山 顶 P 的仰角 视线在水平线上方 与水平线所夹的角 为 30 在比例尺为 1 50000 的 该地区等高线地形图上 量得这两点的图上距离为 6 厘米 则山顶 P 的海拔高为 m 精确到 1m 亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc 三 解答题三 解答题 18 计算下面各式 1 2 3tan30 3cos 302sin30 2 2 22 2cos60tan45cos 45 tan 30cot 30 19 在锐角 ABC 中 AB 13 BC 14 S ABC 84 求 tanB 的值 20 一次函数 y x b 与 x 轴 y 轴的交点分别为 A B 若 OAB 的周长为 2 2 0 为坐标原点 求 b 的值 21 某片绿地的形状如图所示 其中 A 60 AB BC CD AD AB 200m CD 100m 求 AD BC 的长 精确到 1m 3 1 732 22 城市规划期间 欲拆除一电线杆 AB 已知距电线杆 AB 水平距离 14m 的 D 处有一大 坝 背水坡 CD 的坡度 i 2 1 坝高 CF 为 2m 在坝顶 C 处测得杆顶 A 的仰角为 30 D E 之间是宽为 2m 的人行道 试问 在拆除电线杆 AB 时 为确保行人安全 是否需要 将此人行道封上 请说明理由 在地面上 以点 B 为圆心 以 AB 长为半径的圆形区域为 危险区域 3 1 732 2 1 414 23 如图 拦水坝的横断面为梯形 ABCD 坝顶宽 BC 为 6m 坝高为 3 2m 为了提高水坝 的拦水能力 需要将水坝加高 2m 并且保持坝顶宽度不变 迎水坡 CD 的坡度不变 但是 背水坡的坡度由原来的 i 1 2 变成 i 1 2 5 有关数据在图上已注明 求加高后 的坝底 HD 的长为多少 24 如图 在某建筑物 AC 上挂着一宣传条幅 BC 小明站在点 F 处 看条幅顶端 B 测得 仰角为 30 再往条幅方向前行 20m 到达点 E 处 看条幅顶端 B 测得仰角为 60 求 宣传条幅 BC 的长 小明的身高忽略不计 结果精确到 0 1m 亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc 25 如图 小岛 A 在港口 P 的南偏西 45 方向 距离港口 81 海里处 甲船从 A 出发 沿 AP 方向以 9 海里 时的速度驶向港口 乙船从港口 P 出发 沿南偏东 60 方向 以 18 海里 时的速度驶离港口 现两船同时出发 1 出发后几小时两船与港口 P 的距离相等 2 出发后几小时乙船在甲船的正东方向 结果精确到 0 1 小时 参考数据 2 1 41 3 1 73 26 如图 已知 BEC 是等边三角形 AEB DEC 90 AE DE AC BD 的交点为 O 1 求证 AEC DEB 2 若 ABC DCB 90 AB 2cm 求图中阴影部分的 面积 亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc 试题答案试题答案 1 A 2 A 3 A 4 A 5 D 6 C 7 D 8 D 9 D 10 3 4 或 1 3 11 63 60 12 3 3 13 8 或 40 3 14 15 693 米 16 300 3003 m 17 1982 18 1 4 5 3 2 3 4 19 1 12 5 20 b 1 21 AD 227m BC 146m 22 AB 10 66m BE 12