可数集合实变函数.ppt

实变函数论 RealAnalysis 1 2 函数与极限 课题引入 第三节中 将有限集合 元素个数 的概念推广到无限集合 通过在集合间建立一一映射 引入了集合的基数的概念 大家比较熟悉 比较重要的三数集 自然数集合N 有理数集Q和实数集合R都是无限集合 它们给我们直观的印象 自然数集合N 稀稀拉拉 排列在数轴上 有理数集Q 密密麻麻 排列在数轴上 实数集合R 密不透风 地构成实数直线 即数轴 那么 它们的基数有什么不同么 下面我们将在第四节和第五节 对这些常见的无限集合的基数和运算作较为详尽的讨论 3 函数与极限 注 A可数当且仅当A可以写成无穷序列的形式 a1 a2 a3 1 2 3 4 5 6 例如 定义1与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集 其基数记为a 一 可数集的定义 2 0 1 上的有理数全体 1 4可数集合 a1 a2 a3 a4 a5 a6 4 函数与极限 假设这是一个无限集M 我们可以取出其中一个点a1显然M a1 还是无限集 在M a1 中可以取出一点a2显然M a1 a2 还是无限集 我们可以取出一个可数子集 a1 a2 a3 即可数集是无限集中具有最小势的的集合 二 可数集的性质 定理1 任何无限集合均含有可数子集 5 函数与极限 可数集的任何无限必有可数集 从而可数集合的任可子集或为有限集或为可数集 定理2 6 函数与极限 定理3 有限集与可数集的并仍为可数集 可数集与可数集的并仍为可数集 证明 设A a1 a2 a3 a4 a5 a6 B b1 b2 b3 bn C c1 c2 c3 c4 c5 c6 1 首先假设A B C两两不交 则A B b1 b2 b3 bn a1 a2 a3 A C c1 a1 c2 a2 c3 a3 它们均为可数集 7 函数与极限 2 一般情形 则 令 且 但B 作为B的子集仍为有限或可数集 定理2 这样就归结到 1 的情形了 证毕 8 函数与极限 当Ai互不相交时 按箭头所示 我们得到一个无穷序列 当Ai有公共元时 在排列的过程中除去公共元素 因此 是可数集 证明 定理4可数个可数集的并仍为可数集 9 函数与极限 首先 0 1 中的有理数全体 0 1 1 2 1 3 2 3 1 4 3 4 1 5 2 5 是可数集 例1 全体有理数之集Q是可数集 所以Q是可数集 可数个可数集的并 说明 有理数集在直线上稠密 但仍与稀疏分布在直线上的整数集有相同多的点 对等意义下 10 函数与极限 定理6有限个可数集的卡氏积是可数集 设A B是可数集 则A B也是可数集 从而A B也是可数集 可数个可数集的并 利用数学归纳法即得有限个乘积的情形 11 函数与极限 证明 平面上的圆由其圆心 x y 和半径r唯一决定 从而 例2 平面上坐标为有理数的点全体所成的集为一可数集 平面上以有理点为圆心 有理数为半径的圆全体A为可数集 12 函数与极限 每个多项式只有有限个根 所以得下面的定理 13 函数与极限 整系数多项式方程的实根称为代数数 不是代数数的实数成为超越数 设P是整系数多项式全体所成之集 P n 是n次整系数多项式全体 例5代数数全体是可数集 由代数基本定理知任意整系数多项式至多有有限个实根 从而结论成立 14 函数与极限 有关超越数的说明 1874年Cantor开始研究无限集的计数问题 1873年C 埃尔米特证明了e是超越数 1882年Lindemann证明了 是超越数 1934年A O 盖尔丰得证明了若 不是0和1的代数数 是无理代数数 则 是超越数 此问题为Hilbert于1900年提出的23个问题中的第7问题 我们证明了代数数全体是可数集合 通过后面可知道超越数全体是不可数集 故超越数比代数数多得多 15 函数与极限 假设这是集合A 从中可以取出可数子集M 很容易将M一分为二M1 M2 使得两个都是可数集 A M M a1 a2 a3 a4 a5 a6 M1 a1 a3 a5 M2 a2