2019版数学浙江学业水平考试专题复习选修2-1-§5.docx

。知识点一空间向量的有关概念名称概念表示零向量长度为0的向量0单位向量模为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量知识点二共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理1共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使ab.推论：如图所示，对空间任意一点O，点P在l上的充要条件是存在实数t，使ta，其中a叫做直线l的方向向量在l上取a，则可化为t.2共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中x，yR，a，b为不共线向量，推论的表达式为xy或对空间任意一点O，有xy或xyz，其中xyz1.3空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，把a，b，c叫做空间的一个基底知识点三空间向量的数量积及运算律1数量积及相关概念(1)两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b，其范围是0a，b.如果a，b，那么向量a，b互相垂直，记作ab.(2)两向量的数量积已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab.即ab|a|b|cosa，b2空间向量数量积的运算律(1)(a)b(ab)；(2)交换律：abba；(3)分配律：a(bc)abac.知识点四空间向量的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则：(1)ab(a1b1，a2b2，a3b3)(2)ab(a1b1，a2b2，a3b3)(3)a(a1，a2，a3)(4)aba1b1a2b2a3b3.(5)若a，b为非零向量，则abab0a1b1a2b2a3b30.(6)若b0，则ababa1b1，a2b2，a3b3.(7)|a|.(8)cosa，b .(9)若A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，则(b1a1，b2a2，b3a3)，dAB|.知识点五立体几何中的向量方法1直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量即可作为它的方向向量(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为2用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)v1v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量为v1和v2，则l或l存在两个实数x，y，使vxv1yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或lvu.(4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则u1u2.3用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2v1v2v1v20.(2)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则lvu.(3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则u1u2u1u20.4空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角满足cos |cosm1，m2|.(2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平面所成角满足sin |cosm，n|.(3)求二面角的大小如图所示，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，如图所示，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos cosn1，n2或cosn1，n2题型一空间向量及其运算例1已知空间中三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值；(2)若kab与ka2b互相垂直，求实数k的值解(1)a(1,1,0)，b(1,0,2)，ab1(1)10021.又|a|，|b|，cosa，b，即向量a与向量b的夹角的余弦值为.(2)kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)，(kab)(ka2b)(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k282k2k100，k或k2.感悟与点拨(1)空间向量的运算法则及求解思想与平面向量相同，因此，可参照平面向量的运算法则和求解思想进行处理(2)空间向量的问题可通过坐标运算和非坐标的线性运算两种途径来处理，另外，要抓住垂直与平行两种特殊位置关系跟踪训练1(1)(2018年4月学考)在三棱锥OABC中，若D为BC的中点，则等于()A.B.C.D.(2)(2016年4月学考)已知空间向量a(2，1,5)，b(4,2，x)(xR)，若ab，则x等于()A10 B2 C2 D10(3)已知向量a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为_答案(1)C(2)C(3)1,3解析(2)ab，ab2(4)(1)25x0，得x2.(3)ab，解得或当时，ab，不符合要求，舍去，当时，ab，符合要求，题型二利用空间向量证明平行与垂直例2如图所示，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.证明(1)如图建立空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)设AB的中点为N，连接CN，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，(2,4,0)，(2,4,0)，DENC，又NC平面ABC，DE平面ABC，DE平面ABC.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)(2)22(2)(4)(2)0，(2)222(4)00.，即B1FEF，B1FAF，又AFFEF，AF，FE平面AEF，B1F平面AEF.感悟与点拨(1)用向量证明线面平行的方法：证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示(2)用向量证明垂直的方法：线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证明它们的数量积为零；线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示；面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示跟踪训练2在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论(1)证明如图所示，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，设ADa，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F，(0，a,0)00a00，即EFCD.(2)解点G为AD的中点证明如下：设G(x,0，z)，则.若使GF平面PCB，则由(a,0,0)a0，得x；由(0，a，a)a0，得z0.点G的坐标为，即点G为AD的中点题型三利用空间向量求空间角例3如图，在矩形ABCD中，AB2，AD，M为DC的中点，将DAM沿AM折到DAM的位置，ADBM.(1)求证：平面DAM平面ABCM；(2)若E为DB的中点，求二面角EAMD的余弦值(1)证明由题意知，在矩形ABCD中，AMDBMC45，所以AMB90，即AMBM.又DABM，DAAMA，DA，AM平面ADM，所以BM平面DAM，又BM平面ABCM，所以平面ABCM平面DAM.(2)解由(1)知，在平面DAM内过M作直线NMMA，则NM平面ABCM，故以M为原点，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则M(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,0,1)，于是E，(2,0,0)，设平面EAM的法向量为m(x，y，z)，则令y1，得z2，则平面EAM的一个法向量m(0,1，2)，显然平面DAM的一个法向量为n(0,1,0)，故cosm，n，由图知，二面角为锐角，即二面角EAMD的余弦值为.感悟与点拨(1)用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解(2)用向量法求线面角，是通过直线的方向向量和平面的法向量来求解(3)求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角跟踪训练3(1)如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC平面PAB，PAAB，M为PB的中点，PAAD2.若AB1，则二面角BACM的余弦值为()A. B. C. D.答案A解析因为BC平面PAB，ADBC，所以AD平面PAB，PAAD，又PAAB，且ADABA，AD，AB平面ABCD，所以PA平面ABCD.以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，B(0,1,0)，M，所以(2,1,0)，求得平面AMC的一个法向量n(1，2,1)，又平面ABC的一个法向量(0,0,2)，所以cosn，.所以二面角BACM的余弦值为.(2)如图所示，在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，ABBCBD4，E，F分别为棱BC，AD的中点求：异面直线AB与EF所成角的余弦值；点E到平面ACD的距离；EF与平面ACD所成角的正弦值解如图所示，分别以直线BC，BD，BA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A(0,0,4)，B(0,0,0)，C(4,0,0)，D(0,4,0)，E(2,0,0)，F(0,2,2)(0,0，4)，(2,2,2)，|cos，|，异面直线AB与EF所成角的余弦值为.设平面ACD的一个法向量为n(x，y,1)，(4,0，4)，(4,4,0)，则即xy1，n(1,1,1)F平面ACD，(2,2,2)，点E到平面ACD的距离为d.EF与平面ACD所成角的正弦值为|cosn，|.题型四立体几何中的探索性问题例4如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA11，底面ABCD的周长为4.(1)当长方体ABCDA1B1C1D1的体积最大时，求直线BA1与平面A1CD所成的角；(2)线段A1C上是否存在一点P，使得A1C平面BPD？若存在，求出P点的位置，若不存在，请说明理由解(1)根据题意，令ABt，则长方体的体积为Vt(2t)1t(2t)21，当且仅当t2t，即t1时体积V有最大值为1.所以当长方体ABCDA1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形又AA11.所以ABCDA1B1C1D1为正方体如图，连接B1C，取B1C的中点O，连接BO，A1O.由题意知，CD平面C1B1BC，所以BOCD，在等腰RtB1BC中，BOB1C，又B1CCDC，B1C，CD平面A1B1CD，所以BO平面A1B1CD，即BA1O就是直线BA1与平面A1CD所成的角又BO，BA1，所以BA1O30.即长方体ABCDA1B1C1D1的体积最大时，直线BA1与平面A1CD所成的角为30.(2)根据题意可知，AA1，AB，AD两两垂直，以AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系根据题意及(1)可得B(t,0,0)，C(t,2t,0)，D(0,2t,0)，若线段A1C上存在一点P满足要求，不妨设，可得P(t，(2t)，1)(tt，(2t)，1)，(t,2t,0)，(t,2t，1)，即解得t1，.即只有当底面四边形是正方形时才存在符合要求的点P，位置是线段A1C上A1PPC21处感悟与点拨对于立体几何中的探索性问题，可以凸显坐标方法的优势，通常从假设存在入手，利用空间向量坐标建立方程，然后按部就班求解跟踪训练4如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)在线段BC1上是否存在一点D，使得ADA1B？若存在，求的值；若不存在，请说明理由(1)证明在正方形AA1C1C中，A1AAC.又平面ABC平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1CAC，AA1平面AA1C1C，AA1平面ABC.(2)解在ABC中，AC4，AB3，BC5，BC2AC2AB2，ABAC，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A1(0,0,4)，B(0,3,0)，C1(4,0,4)，B1(0,3,4)，(4,0,0)，(0,3，4)，(4，3,0)，(0,0,4)设平面A1BC1的法向量n1(x1，y1，z1)，平面B1BC1的法向量n2(x2，y2，z2)即可取向量n1(0,4,3)，由即可取向量n2(3,4,0)，cosn1，n2.由题意知二面角A1BC1B1为锐角，二面角A1BC1B1的余弦值为.(3)解假设在线段BC1上存在一点D，使ADA1B，设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且.(x，y3，z)(4，3,4)，解得x4，y33，z4.(4，33，4)又ADA1B，03(33)160，则，.一、选择题1.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，若a，b，c，则等于()AabcBabcCabcDabc答案D解析如图所示，连接A1C，则在A1CB中，有()b(ac)abc.2若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，满足条件(ca)2b2，则x的值为()A4 B2 C4 D2答案D解析a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)(ca)2b2(1x)2，x2.3已知A(2,3，1)，B(2,6,2)，C(1,4，1)，则向量与的夹角为()A45 B90 C30 D60答案D解析A(2,3，1)，B(2,6,2)，C(1,4，1)，(0,3,3)，(1,1,0)，0(1)31303，且|3，|，cos，与的夹角为60.4已知a(2，1,3)，b(4,2，x)，c(1，x,2)，若(ab)c，则x等于()A4 B4 C. D6答案B解析(ab)c，(ab)c0.又ab(2,1，x3)，211(x)(x3)20，解得x4.故选B.5.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()Aabc B.abcCabc D.abc答案A解析由题意，得()abc.6若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为n(2，0，4)，则()Al BlCl Dl与相交但不垂直答案B解析a(1,0,2)，n(2,0，4)，n2a，an，l.7.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是()A.B.C. D0答案D解析以，的方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系(图略)，则可得A1(1,0,2)，E(0,0,1)，G(0,2,1)，F(1,1,0)(1,0，1)，(1，1，1)，设异面直线A1E与GF所成的角为，则cos |cos，|0.8正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且，N为B1B的中点，则|为()A.a B.aC.a D.a答案A解析以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，因为点M在AC1上且，所以(xa，y，z)(x，ay，az)，所以xa，y，z，所以M，所以| a.9在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60角(如图)，则B，D间的距离为()A1 B2 C. D2或答案D解析因为ACD90，所以0.同理0，因为AB和CD成60角，所以，60或120.因为，所以|2|2|2|2222|2|2|223211cos，32cos 60或32cos 120，所以|2或.即B，D间的距离为2或，故选D.10.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC2，ACB90，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成角的余弦值为()A. BC. D答案A解析如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC2，ACB90，DCAC，平面ACDE平面ACBAC，DC平面ACDE，所以DC平面ABC，F，G分别是线段AE，BC的中点以C为原点建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,2,0)，B(2,0,0)，D(0,0,2)，G(1,0,0)，F(0,2,1)所以(0，2,2)，(1,2,1)所以|2，|，2.所以cos，.则直线AD与GF所成角的余弦值为.故选A.二、填空题11已知O为空间任一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且2x3y4z，则2x3y4z的值为_答案1解析由题意知A，B，C，D共面的充要条件是：对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得x1y1z1且x1y1z11，因此2x3y4z1.12已知向量a(2，1,3)，b(4,2，x)若ab，则x_；若ab，则x_.答案613设O为坐标原点，向量(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为_答案解析设(，2)，故Q(，2)，故(1，2，32)，(2，1，22)则62161062，当取最小值时，此时Q点的坐标为.14如图，PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC，则二面角APBC的余弦值为_答案解析如图所示，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，P(1,0,1)，B(0，0)，(0,0,1)，(1，1)，(0，0)设平面ABP的法向量为m(x1，y1，z1)，平面PBC的法向量为n(x2，y2，z2)，则即令y11，得m(，1,0)由即令z21，得n(1,0,1)|cosm，n|.由题意可知，所求二面角的平面角是锐角，故二面角APBC的余弦值为.三、解答题15.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCBAB.(1)证明