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27 1 3圆的认识 圆周角定理 1 回忆 1 什么叫圆心角 顶点在圆心的角叫圆心角 2 圆心角 弧 弦三个量之间关系的一个结论 这个结论是什么 在同圆 或等圆 中 如果圆心角 弧 弦有一组量相等 那么它们所对应的其余两个量都分别相等 2 探究 O A 问题 将圆心角顶点向上移 直至与 O相交于点C 观察得到的 ACB有什么特征 C 顶点在圆上 两边都与圆相交 这样的角叫圆周角 B 3 问题探讨 判断下列图形中所画的 P是否为圆周角 并说明理由 P P P P 不是 是 不是 不是 顶点不在圆上 顶点在圆上 两边和圆相交 两边不和圆相交 有一边和圆不相交 4 类比圆心角探知圆周角 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆心角相等 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角有什么关系 为了解决这个问题 我们先探究同弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系 你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗 5 1 分别量一量图23 1 10中弧AB所对的两个圆周角的度数比较一下 再变动点C在圆周上的位置 看看圆周角的度数有没有变化 你发现其中有什么规律吗 2 分别量出图23 1 10中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数 比较一下 你发现什么 探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系 6 圆周角和圆心角的关系 教师提示 注意圆心与圆周角的位置关系 1 折痕是圆周角的一条边 2 折痕在圆周角的内部 3 折痕在圆周角的外部 为了验证这个猜想 如图所示 可将圆对折 使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C 7 如图 观察圆周角 ABC与圆心角 AOC 它们的大小有什么关系 说说你的想法 并与同伴交流 8 问题解决 你能画出同弧所对的圆周角和圆心角吗 你能证明你的发现 即同弧所对的圆周角度数等于这条弧所对的圆心角的一半 吗 9 圆周角和圆心角的关系 1 首先考虑一种特殊情况 当圆心 O 在圆周角 ABC 的一边 BC 上时 圆周角 ABC与圆心角 AOC的大小关系 AOC是 ABO的外角 AOC B A OA OB A B AOC 2 B 即 ABC AOC 你能写出这个命题吗 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 老师期望 你可要理解并掌握这个模型 10 如果圆心不在圆周角的一边上 结果会怎样 2 当圆心 O 在圆周角 ABC 的内部时 圆周角 ABC与圆心角 AOC的大小关系会怎样 老师提示 能否转化为1的情况 过点B作直径BD 由1可得 ABC AOC 你能写出这个命题吗 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ABD AOD CBD COD 圆周角和圆心角的关系 11 圆周角和圆心角的关系 如果圆心不在圆周角的一边上 结果会怎样 3 当圆心 O 在圆周角 ABC 的外部时 圆周角 ABC与圆心角 AOC的大小关系会怎样 老师提示 能否也转化为1的情况 过点B作直径BD 由1可得 ABC AOC 你能写出这个命题吗 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ABD AOD CBD COD 12 问题解决 综上所述 我们得到 同弧所对的圆周角度数等于这条弧所对的圆心角的一半 13 圆周角定理 在同圆或等圆中 同弧所对的圆周角相等 都等于这条弧所对的圆心角的一半 练习 如图 点A B C D在同一个圆上 四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角 这些角中哪些是相等的角 1 4 2 7 3 6 5 8 解 14 如图所示 ADB ACB AOB 分别是什么角 它们 有何共同点 ADB与 ACB有什么关系 同弧所对的圆周角相等 等弧 思考 相等的圆周角所对的弧相等吗 在同圆或等圆中 都等于这条弧所对的圆心角的一半 圆周角定理 15 结论 ACB ADB 如图 则有 ACB ADB 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于该弧所对的圆心角的一半 相等的圆周角所对的弧相等 16 练习一 1 求圆中角X的度数 2 如图 在直径为AB的半圆中 O为圆心 C D为半圆上的两点 COD 500 则 CAD 35 120 25 17 例1 如图 OA OB OC都是 O的半径 AOB 2 BOC 求证 ACB 2 BAC 证明 ACB AOB 1 2 BAC BOC 1 2 AOB 2 BOC ACB 2 BAC 分析 18 练习 1 如图 已知圆心角 AOB的度数为100 求圆周角 ACB的度数 答案 130 2 一条弦所对的圆心角为80度 它所对的圆周角是多少度 答案 40 或140 19 练习二 如图 P是 ABC的外接圆上的一点 APC CPB 60 求证 ABC是等边三角形