谈数列极限存在的条件.doc

谈数列极限存在的条件郑重声明 本人的毕业论文是在指导教师刘文菡老师的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。毕业论文作者（签名）： 年 月 日摘 要极限是整个数学分析中最基本的概念，它是近代数学的核心而数列极限又是极限的基础在研究比较复杂的数列极限问题时，通常先考察该数列是否有极限；若有极限，再考虑如何计算此极限这是极限理论的两个基本问题为了确定某个数列是否存在极限，当然不可能将每个实数依定义一一验证，根本的办法是直接从数列本身的特征作出判断本文主要研究的是数列极限存在的充分必要条件和充分条件包括数列极限的定义，柯西收敛准则，单调有界定理等主要内容，为以后判定数列是否存在极限的学习奠定了基础关键词极限数列极限充分条件充分必要条件Talk About the Existing Conditions of Sequence Limit Wang Huiqian Directed by Professor Liu WenhanAbstract Limit is the most basic concept of the mathematical analysis which is the core of modern mathematicsAnd the limits of sequence limit is basedIn research complex sequence limit problems， we usually first investigate whether this sequence has a limit; If there is a limit， and then consider how to calculate this limitThis is the two basic limit theoryIn order to determine whether there is a limit of a sequence， we could not verify each real number according to limit definitionThe fundamental method is characteristic of directly from judge sequence itselfThe main context of this paper is sufficient and necessary conditions and sufficient conditions of the existence of sequence limit including the definition of sequence limit，cauchy criterion for convergence，monotone bounded theorem，and so on，it laid the foundations for further study of judging whether there exists limit of a sequence Key words Limit Sequence limit Sufficient condition Sufficient and necessary conditionII目 录摘要I外文页 II1 引言12 数列极限的基本概念12.1 数列极限的描述性定义12.2 数列极限的定义13 数列极限存在的充分必要条件13.1 用数列极限的定义判定数列是否存在极限13.2 用柯西（Chauchy）收敛准则判定数列是否存在极限23.3 数列极限存在的充分必要条件的几个定理34 数列极限存在的充分条件54.1 用单调有界定理判定数列存在极限54.1 用迫敛性定理判定数列存在极限64.3 用Stoltz定理判定数列存在极限74.4 用收敛级数判定数列极限为零84.5 用四则运算法则和重要极限公式判定数列存在极限85 结束语9参考文献10致谢11谈数列极限存在的条件1 引言数学分析就是以极限概念为基础、极限理论（包括级数）为主要工具来研究实函数的一门学科在数学分析中，微分和积分的定义，都是在极限理论的基础上建立的极限是从有限过程到无限过程的一座桥梁，是初等数学转化到高等数学必不可少的工具因此，要学好数学分析这门课，就必须深刻理解极限思想，并能熟练运用极限理论解决问题而数列极限是极限的基础，因此，我们很有必要去研究它而且，数列极限存在的条件将是我们重点研究的对象本文欲通过证明和举例的方法来研究数列极限存在的几个条件2 数列极限的基本概念2.1 数列极限的描述性定义设为一数列而为一实数如果下标越来越大时，无限接近于常数，则称数列以为极限2.2 数列极限的定义126设为一数列而为一实数如果对任何，都存在自然数，使当时，就有则称数列以为极限3 数列极限存在的充分必要条件3.1 用数列极限的定义判定数列是否存在极限3.1.1 用数列极限的描述性定义判定数列是否存在极限定义表明收敛数列的特性是“随着的无限增大，无限地接近某一常数”这就是说，当充分大时，数列的通项与常数之差的绝对值可以任意小例3.1 观察下面两个数列容易看出，当越来越大时，第一个数列的项越来越接近于0，而第二个数列的项越来越接近于1我们说，这两个数列都是有极限的，其极限分别为0，13.1.2 用数列极限的定义判定数列是否存在极限这个定义适于进行严格的推理论证，多用于证明这类问题而在证明极限关系式时，关键在于给定之后选取这是应尽可能简捷地选取一个，而不必煞费苦心地去将取得尽量小 例3.2 求证证 对于任给的，要使，需，又为了满足为一整数，可以取 ，于是当时，就有按定义知成立由上可知，可以用数列的定义证明数列的极限为即可以用数列的定义作为判定数列收敛的一个条件3.2 用柯西（Chauchy）收敛准则判定数列是否存在极限定理3.1238 数列收敛的充分必要条件是：对任给的，存在正整数，使得当时，有注1 这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题柯西收敛准则的条件称为柯西条件，它反映这样一个事实：收敛数列的各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数或者形象地说，收敛数列的项越到后面越是“挤”在一起 另外柯西收敛准则把定义中的与的关系换成了与的关系，其好处在于无需借助数列以外的数，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其敛散性例3.3 求证数列 收敛证 当时，易得对于任给的，取，于是当时，就有即满足柯西条件，从而收敛即存在极限 由上例可以看出，柯西收敛准则可以证明数列收敛，即数列的极限存在也就是说，柯西收敛准则可以作为判定数列是否存在极限的一个条件注2 柯西收敛准则的否定形式：数列发散的充分必要条件是：存在，对任意的，存在，但是例3.4 求证数列发散证 对于，不论为何，取，则对于有 这表明满足柯西收敛准则的否定形式，从而发散 即不存在极限3.3 数列极限存在的充分必要条件的几个定理定理3.2 233 数列收敛的充分必要条件是：的任何非平凡子列都收敛证必要性 设，是的任一非平凡子列任给，存在正数，使得当时，有由于，故当时更有，从而也有，这就证明了收敛充分性 考虑的非平凡子列，按假设，他们都收敛由于既是，又是的子列，故由刚才证明的必要性，又既是又是的子列，同样可得由式和式可得从而可得收敛这个定理表明，若数列的任何非平凡子列都收敛，则所有子列与必收敛于同一个极限还表明收敛数列的任何子列都收敛，而且其极限与原数列的极限相同因此，要判断数列的敛散性，若求得它是收敛数列的子列，即可判定收敛且与有相同的极限这个定理还是判定数列发散的有力工具由定理知若数列有一个子列发散，或者两个子列收敛而不相等，则数列一定发散例3.5 数列，其偶数项组成的子列收敛于1，而奇数项组成的子列收敛于-1，从而发散数列，它的奇数项组成的子列即为由于这个子列发散，故数列发散定理3.3146 有界数列收敛的充分必要条件是它的上极限和下极限相等证 必要性 设于是对任何，都存在，使当时，就有从而当时，有 取极限既得由的任意性即知，充分性 设 ，于是由 ，取极限，并由两边夹定理既得 定理3.4 227 数列收敛于的充分必要条件是：为无穷小数列例3.6 由为无穷小数列，可得极限存在且为04 数列极限存在的充分条件在上节已经提到判定数列极限是否存在的充分必要条件，多适于进行严格的推理论证其中数列极限的定义多用于证明这类问题，柯西收敛准则多用于验证数列的敛散性这类问题，具体过程需考虑与的关系再鉴别其敛散性而使用的任何非平凡子列都收敛这一条件作为判定数列收敛的充分必要条件解决实际问题时，需验证数列的任何非平凡子列都收敛，而这个过程是相当麻烦的为了进一步研究数列极限存在的条件，还需考虑数列极限存在的充分条件而数列极限存在的充分条件在判定某些具有特殊性质的数列是否存在极限时，则更为简便如单调有界定理，可以根据数列本身的特点直接判定出数列是否存在极限而且本节中的几个定理不仅给出了判定数列收敛的方法，而且也提供了求极限的方法4.1 用单调有界定理判定数列存在极限定理4.1138 单调有界数列必收敛具体地说，就是1）若数列递增且有上界，则；2）若数列递减且有下界，则证 不妨设为有上界的递增数列由确界原理，数列有上确界，记下面证明就是的极限事实上，任给，按上确界定义，存在数列中某一项，使得又由的递增性，当时有另一方面，由于是的一个上界，故对一切都有所以当时，有，这就证得同理可证2）成立例4.1 证明数列存在极限证 记，易见数列是递增的现用数学归纳法来证明有上界显然，假设，则有，从而对一切有，即有上界由单调有界定理，数列有极限4.2 用迫敛性定理判定数列存在极限定理4.2230 设收敛数列，都以为极限，数列满足：存在正数，当时，有 ， 则数列收敛且证 任给，由，分别存在正数与，使得时，有 ， 当时，有 取，则当时，不等式 同时成立，即有从而有 例4.2 求极限证 因为，而由迫敛性定理，可知数列收敛，即极限存在，且有由上例可以看出,迫敛性定理可以判定数列是否存在极限，而且也提供了求极限的方法4.3 用Stoltz定理判定数列存在极限定理4.3142 设 ，是两个数列，满足下列条件：1）数列收敛（或趋于）；2）数列严格递增且趋于；则数列也收敛且有例4.3 设，求证证 令，因为从而满足数列收敛又数列严格递增且趋于由Stoltz定理，收敛，即数列收敛，且有由上例可以看出, Stoltz定理可以判定数列是否存在极限，并且能很方便地求出数列的极限4.4 用收敛级数判定数列极限为零利用收敛级数的性质，若级数收敛，则要判断数列是否收敛，如果知道级数收敛，则可根据收敛级数的通项趋于0，判断出数列收敛，且例4.4 考虑是否存在解 令，做级数，由所以，由比式判别法的极限形式知级数收敛于是，由级数收敛的必要条件，知存在，且4.5 用四则运算法则和重要极限公式判定数列存在极限4.5.1 用四则运算法则判定数列存在极限定理4.4 若数列与为收敛数列，则，也都是收敛数列 且有，若再假设及，则也是收敛数列，且有4.5.2 用重要极限公式判定数列存在极限利用公式，在运用这两个公式判定数列是否存在极限时，往往需要先判定相应的函数是否存在极限通过对相应函数做恒等变形或化简，可得到上面的形式，可判断相应的函数存在极限，即要判定的数列存在极限，再利用归结原则即可求出其极限例4.5 求解 记函数，则有，故由归结原则，由例4.5可知，可以用重要极限公式判定出数列存在极限，进而求出它的极限5 结束语 通过对数列极限存在条件的相关问题的探讨，使我从最初的对这一问题的模糊认识到最后对这一问题有了更深刻的认识 极限是数学的基础，数列极限是极限的基础，研究数列极限涉及到两个基本问题：一、数列是否有极限（极限的存在性问题），二、极限如果存在如何计算（极限的计算问题）而前者就是本论文所讨论的问题 本文主要是从数列极限存在的充分必要条件和充分条件两大方面来构思的其中，数列极限存在的充分必要条件包括：数列极限存在的定义、柯西收敛准则等充分条件包括：迫敛性定理、单调有界定理、Stoltz定理、收敛级数等几个方面通过对本课题的研究，使得读者可以提高对数列极限存在性的判定的能力 参考文献:1 李成章，黄玉民编数学分析（上册）M北京：科学出版社，199952 华东师范大学数学系编数学分析（上册）M北京：高等教育出版社，20013 胡适耕，张显文编著数学分析：原理与方法M北京：科学出版社，2008 4 吴良森等编著数学分析习题精解单变量部分M北京：科学出版社，2002 5 钱吉林主编数学分析题解精粹M武汉：