平面向量试题优选.doc

平面向量试题优选1，、已知为单位向量，|=4，与的夹角为，则在方向上的投影为2分析：由题意要求在方向上的投影，利用投影的定义可知应该为：，而又知|=4，与的夹角为，代入即可解答：解：因为利用投影的定义可知在方向上的投影为：，又知|=4，与的夹角为， 所以=4=2故答案为：2点评：此题考查了在方向上的投影的定义，还考查了学生的计算能力2、两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为A=（4，3），B=（2，10）（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移； （2）计算在A方向上的投影分析：（1）利用向量的运算法则：三角形法则求出（2）利用向量数量积的几何意义：向量的数量积等于一个向量的模乘以另一个向量在第一个向量上的投影解答：解：（1）=（2，7）（2）在方向上的投影为点评：本题考查向量的数量积的几何意义；并用数量积求向量的投影3、已知非零向量满足，求证：分析：把已知的等式两边平方，可得这两个非零向量的数量积等于零，从而得到两个非零向量垂直解答：证明：|=|=， 又为非零向量， 点评：本题考查两个向量的数量积的运算，两个向量垂直的条件好题、已知非零向量，且，求证：分析：同时注意，将要证式子等价变形，用分析法即可获证解答：解：， 要证， 只需证+，只需证+， 只需证+，只需证+0，即， 上式显然成立， 故原不等式得证点评：用分析法证明，即证使等式成立的充分条件成立注意应用条件和4、已知在ABC中，且A为直角，则k=分析：由题意可得=2+3k=0，解方程求得 k 的值解答：解：由题意可得=2+3k=0，k=，故答案为：点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，求得=2+3k=0，是解题的关键5、已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosxsinx，2cosx）（I）求证：向量与向量不可能平行； （II）若=1，且x，0，求x的值分析：（I）先假设两个向量平行，利用平行向量的坐标表示，列出方程并用倍角和两角和正弦公式进行化简，求出一个角的正弦值，根据正弦值的范围推出矛盾，即证出假设不成立；（II）利用向量数量积的坐标表示列出式子，并用倍角和两角和正弦公式进行化简，由条件和已知角的范围进行求值解答：解：（I）假设，则2cosx（cosx+sinx）sinx（cosxsinx）=0，1+cosxsinx+cos2x=0，即1+sin2x+=0，sin（2x+）=3，解得sin（2x+）=1，故不存在这种角满足条件，故假设不成立，即与不可能平行（II）由题意得，=（cosx+sinx）（cosxsinx）+2cosxsinx=cos2x+sin2x=sin（2x+）=1，x，0，22x0，即， =或，解得x=或点评：本题考查了向量共线和数量积的坐标运算，主要利用了三角恒等变换的公式进行化简，对于存在性的题目一般是先假设成立，根据题意列出式子，再通过运算后推出矛盾，是向量和三角函数相结合的题目6、非零向量满足|=|=|，则，的夹角为120分析：要求，的夹角，只需将|=|=|平方得：，即，cos，=，在根据解三角方程知识即可解答：解：|=|=| 将|=|=|平方得：，即， cos，= cos，=，0， ，的夹角为120 故答案为120点评：本题主要考查了数量积表示两个向量的夹角，解三角方程的知识，属于基础题7、设e1，e2是两个不共线的向量，已知=2e1+ke2，=e1+3e2，=2e1e2，若A、B、D三点共线，则k的值是（） A、8B、8 C、7D、7分析：由题设条件知，此题要由向量共线条件建立关于k的方程求k，由于已知=2+k，=+3，=2，A、B、D三点共线，先求出=4，再由A、B、D三点共线，必存在一个实数，使得=，由此等式得到k的方程求出k的值，即可选出正确选项解答：解：由题意，A、B、D三点共线，故必存在一个实数，使得=又=2+k，=+3，=2， =2（+3）=42+k=4 解得k=8 故选B点评：本题考查向量共线定理，向量减法的三角形法则及利用方程的思想建立方程求参数，解题的关键是理解A、B、D三点共线，利用向量共线定理建立关于参数k的方程，向量共线定理的考查是高考热点，新教材实验区高考试卷上每年都有涉及，此类题难度较低，属于基础题8、设两非零向量e1和e2不共线（1）如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3（e1e2），求证：A、B、D三点共线；（2）试确定实数k，使ke1+e2和e1+ke2共线；（3）若|e1|=2，|e2|=3，e1与e2的夹角为60，试确定k的值，使ke1+e2与e1+ke2垂直分析：（1）先证明，再根据有公共点原理，证明三点共线（2）ke1+e2和e1+ke2共线，运用实数，使得ke1+e2=（e1+ke2），即可求出（3）运用向量数量积公式计算：由（ke1+e2）（e1+ke2）=0，解出K的值解答：解：（1）证明：=6（e1+e2）=6， ，与有公共点A A、B、D三点共线（2）ke1+e2和e1+ke2共线， 存在使ke1+e2=（e1+ke2）， 即（k）e1+（1k）e2=0e1与e2为非零不共线向量， k=0且1k=0 k=1（3）由（ke1+e2）（e1+ke2）=0， k|e1|2+（k2+1）e1e2+k|e2|2=0，得k22+（k2+1）23cos60+k32=0 4k+3k2+3+9k=03k2+13k+3=0， k=点评：此题运用平面向量基本定理考查向量共线，垂直的概念，属于综合性概念考查题9、设两个非零向量e1和e2不共线（1）如果=，=，=，求证：A、C、D三点共线；（2）如果=，=，=2e1ke2，且A、C、D三点共线，求k的值分析：（1）利用向量的运算法则求出，利用向量共线的充要条件判断出，进一步得到三点共线（2）利用向量的运算法则求出，据三点共线判断出两个向量共线，利用向量共线的充要条件列出方程，利用平面向量的基本定理求出，k的值解答：（1）证明=，=，=，=+=（）=， 与共线，又与有公共点C， A、C、D三点共线（2）解=+=（）+（）=，A、C、D三点共线， 与共线，从而存在实数使得=， 即=（） 由平面向量的基本定理，得， 解之得=，k=点评：本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、利用向量共线解决三点共线、平面向量的基本定理10、已知平面向量，满足|=3，|=2，与的夹角为60，若（m），则实数m的值为（）A、1B、 C、2D、3分析：由两个向量的数量积的定义，求出，再由（），得到 （）=0，从而解出 m值解答：解：=|cos60=32=3，（），（）=m=93m=0，m=3 故选 D点评：本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，两个向量垂直的性质11、已知向量满足条件：，且=2，点P是ABC内一动点，则=18分析：由，且=2，我们易分析出向量两两夹角均为120，进而我们可以求出，及的值，将=利用向量加减法的三角形法则分解展开后，易得到结果解答：解：，且=2， 向量两两夹角均为120=4， =+=（） =12+6=18 故答案：18点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积的运算，根据已知中，且=2，决断出向量两两夹角均为120是解答本题的关键12、已知向量与的夹角为60，（1）求的值； （2）若，求实数m的值 分析：（1）利用向量的数量积的定义可求（2）若，整理可求实数m的值解答：解：（1）（2）. . 3m32522+（5m3）3=0 .点评：本题主要考查了平面向量的数量积的定义，平面向量数量积的性质的应用，属于基础试题13、已知，与夹角为600，则当实数k为何值是？（1） （2） 分析：（1）先计算的值，当时，由=，利用向量的坐标运算法则及向量相等的条件，解出实数k的值 （2）当时，由=0，利用两个向量的数量积公式解出实数k的值解答：解：由题意得=3（1）当，则3=5，且k=3k=（2）当，则，k=点评：本题考查两个向量平行及垂直的性质的应用，两个向量的数量积公式的应用平面向量试题1814、如图，ABCD为正方形，P是对角线DB上一点，PECF为矩形，求证：PA=EF； PAEF分析：利用ADDC建立坐标系，根据题意表示出正方形ABCD顶点的坐标，再设DP=r并利用PECF为矩形，求出点E、F的坐标，由向量的坐标表示求出的坐标，根据向量的模求法证明PA=EF；利用求出的坐标，利用数量积坐标运算求出=0，即证出PAEF解答：解：以D为原点为x轴正方向建立直角坐标系， 则A（0，1），C：（1，0）B：（1，1）， ， PA=EF，由得，=+=0， 点评：本题考查了利用坐标法证明几何中的问题，即利用图形的特点建立适当的坐标系，求出每个点的坐标，再利用向量的坐标运算求出对应向量的坐标，利用向量的公式以及运算进行证明或求值15、已知，（1）求 （2）若分析：（1）由已知中，我们易计算出|，代入即可求出答案（2）由（1）中，|，|，及，结合cos=我们易求出的余弦值，结合的取值范围，即可求出 大小解答：解：， 即 ，即（1）=2（）=14（2）cos= 又由0180 =120点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角，公式cos=是利用向量求角的唯一公式，一定要熟练掌握16、已知向量 （1）求； （2）求与的夹角的余弦值； （3）求向量的坐标 （4）求x的值使与为平行向量分析：（1）两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；向量的模等于自身数量积再开方，先求再开方 （2）根据向量数量积计算公式的变形，求出两向量夹角的余弦值（3）实数与向量的积的坐标等于用实数乘以原来向量的相应坐标两个向量的差的坐标等于它们对应坐标的差（4）根据平面向量的坐标表示，列出关于x的方程并解即得解答：解：（1）=（3，2）（4，1）=34+（2）1=10，=（3，2）+（4，1）=（7，1），=50，= （2）设夹角为，则cos= （3）=（9，6）（8，2）=（1，8） （4）=（3x，2x）+（12，3）=（3x+12，2x+3），=（1，8），由已知得，2x+3=8（3x+12），整理并解得x= 点评：本题考查向量的数量积，模，夹角向量共线的条件判断属于常规题目17、（中数量积）已知向量a，b，x，y满足|a|=|b|=1，ab=0，且，则|x|+|y|等于（）A、B、 C、2D、5分析：求向量的模，先求它们的平方，这里求平方，利用向量的完全平方公式即可解答：解：由所给的方程组解得， = 故选B点评：本题中的方程组是关于向量的方程，这与一般的关于实数的方程在解法上没有本质区别，方法与实数的方程组的解法相似18、（2006陕西）已知非零向量与满足（+）=0，且=，则ABC为（）A、等腰非等边三角形B、等边三角形 C、三边均不相等的三角形D、直角三角形分析：利用单位向量的定义及向量的数量积为0两向量垂直，得到等腰三角形；利用向量的数量积求出三角形的夹角，得到非等边三角形解答：解：、分别是、方向的单位向量， 向量+在BAC的平分线上，由（+）=0 知，AB=AC， 由=，可得CAB=120，ABC为等腰非等边三角形， 故选A点评：本题考查单位向量的定义；向量垂直的充要条件；向量数量积的应用19、已知的夹角为（）A、30B、60 C、120D、150分析：向量在向量上的投影为，解方程即可求出解答：解：向量在向量上的投影为=，所以=， 故=150 故选D点评：本题考查向量的几何意义，向量在向量上的投影的概念，属基本概念、基本运算的考查19、已知向量与的夹角为30，且，设，则向量在方向上的投影为（） A、1B、1 C、D、分析：由题意，可先由投影的定义得向量在方向上的投影为，然后将题设条件向量与的夹角为30，且，代入，计算出答案，即可选出正确选项解答：解：由题意，向量在方向上的投影为又向量与的夹角为30，且，所以=1 故选B点评：本题考点是平面向量的综合，考查了平面向量投影的概念，数量积的运算公式，向量模的求法，解题的关键是熟练掌握数量积的定义及投影的概念，根据公式求投影，本题是向量的综合运算题，考查了根据公式及定义进行计算的能力20、在四边形ABCD中，若，且|=|，则四边形ABCD的形状是矩形分析：利用平面向量加法的平行四边形法则，根据四边形ABCD中，若，我们易根据|=|，结合矩形判定定理，判断出四边形ABCD的形状解答：解：在四边形ABCD中，若，向量和分别表示平行四边形ABCD的两条对角线，若|=|， 则表示两条对角线长度相等，根据矩形的判定定理，我们可得四边形ABCD是矩形 故答案为：矩形点评：本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，其中利用平行四边形法则，及矩形判定定理分析四边形ABCD的形状是解答的关键21、（2009广东）若平面向量，满足，平行于x轴，则=（1，1）或（3，1） 分析：与x平行的单位向量有（1，0）和（1，0），根据向量加法的坐标运算公式，构造方程组，解方程组即可求解 解答：解：，平行于x轴， 或（1，0）， 则， 或 故答案为：（1，1）或（3，1）点评：求向量的一般方法是：根据已知条件，结合向量加法的坐标运算公式，构造方程组，解方程组即可求解22、（2009江苏）已知向量和向量的夹角为300，则向量和向量的数量积=3分析：向量数量积公式的应用，条件中给出两个向量的模和向量的夹角，代入公式进行计算即可解答：解：由题意知：=2=3， 故答案为：3点评：