浅谈二面角的几种解法.doc

编号： 本科学生毕业设计（论文）题 目： 浅谈二面角的几种解法 系部名称： 数学系 专业名称： 数学与应用数学 级 班： 2010级数1042数应 学生姓名： 唐一潇 学 号： 2010403066 指导教师： 武淑霞 职称/学历： 研究生 成绩评定评价方式及比例指导教师评价（30）评阅人评价（30）答辩小组评价（40）最终成绩评定等级成 绩折算后成绩评定等级标准：“优”（90分以上）； “良”（8089）； “中”（7079）；“及格”（6069）； “不及格”（60以下）. 年 月 日数 学 系 制 四川民族学院本科学生毕业设计（论文）承 诺 书本人承诺：在即将开始的毕业论文过程中，严格遵守学术道德规范和学校纪律，在系部和指导教师的安排与指导下，独立完成毕业论文工作，不弄虚作假，不请人代做毕业论文或抄袭别人的成果按照“四川民族学院本科生毕业论文规定”的要求，完成毕业论文的撰写、答辩、装订整理等工作 学生签名： 年 月 日导师签名：年 月 日摘要摘 要几何学是贯穿整个中学阶段的一门非常重要的学科，其中空间立体几何更是高中的一个重难点，同时也是历年高考题目中的一个必不可少的热点，而对于二面角的求法问题是每年常见题型，那么面对这些高考热点题目怎么去解决二面角的问题成了很多同学的棘手问题，本文通过对一些关于二面角的不同题目，对于不同已知条件的二面角问题，采用了最合适的方法来解决这些二面角问题，其中有常规的定义法，三垂线法，切垂面法，补形法，计算量比较大的空间向量法，以及比较特殊巧妙的四面体体积法，角度法，和面积射影法等等，在每一种方法的讲解过程中，配有相应的例题并进行详细分析和具体解决问题的过程，采用不同的方法讲解这些问题，让同学们能够在遇到二面角问题的时候. 法解决这些问题关键词：二面角；二面角的平面角；三垂线；法向量；面积射影13ABSTRACT Geometry is a vitally important subject in high school stage. The three-dimensional geometry is a difficult point in high school studying; at the same time is a necessary hot spot in college entrance examination. The problem of dihedral angle is a common topic that every year faced. How to solve the problem of dihedral angle is a thorny problem for many students. In this article, we solve the problem of dihedral angle about some different questions. According to different known conditions, we will use different methods. Such as definition, three perpendicular line, cutting plane method, compensation method, space vector method which have large amount of calculation, the clever method of volume of tetrahedron, a special angle method and the projective area method. In the process of explaining each method, we equip with corresponding examples and detailed analysis and specific processes; adopt different ways to explain these problems. Let the students use correct method to solve the problem when they meeting dihedral angle problems.Keywords: dihedral angle; plane angle of a dihedral angle; three perpendicular line; normal vector; projective area目录目录第一章 引言1第二章 二面角相关基础回顾22.1二面角的概念22.2二面角的平面角的概念22.3二面角难点剖析22.3.1平面角的确定32.3.2线面关系影藏32.3.3计算比较繁杂3第三章 二面角问题具体解题方法43.1 定义法43.2三垂线法43.3切垂面法53.4补形法63.5空间向量法73.5.1二面角与法向量的关系73.5.2平面法向量的求法问题73.6四面体体积法83.7面积射影法103.8.角度法11结论13参考文献14第一章 引言第一章 引言，二面角的问题是一个相当重要并且很棘手的问题，很多同学对怎样去解决两个平面二面角的大小问题而无从下手. 特别对于一些已知条件很少，同学们自己作出辅助线.甚至有些题因为选择了不适应的方法导致计算量非常的大，浪费了大量的时间缺又没什么得分点.在每年高考当中基本都会出现二面角的问题.例如：2012年全国卷（第19题），2012年山东卷（第18题），2012年浙江卷（第20题）2012年安徽卷第（18题）等.二面角的问题在高考题目当中如此频繁的出现足以证明二面角的问题在历年高考当中仍然还是一个热门的题形，所以，对二面角解决方法的一个研究，具有很大的研究空间.第二章 二面角相关基础回顾第二章 二面角相关基础回顾2.1二面角的概念如果两个半平面相交于一条直线，那么我们就把这样的图形称为二面角，二面角的面就是这两个半平面，而二面角的棱长就是这条直线.若棱长为直线，两个半平面分别为、那么这个二面角可以记作，为了便于记录，有时候也会分别在两个半平面、内取两个点、，那么也可以记作二面角，不妨令棱长为,则这个二面角也可以记作二面角，或 1如图. 图2.1-1图2.2-2 2.2二面角的平面角的概念如图所示，为二面角棱长上的任意一点，在二面角内分别作射线、垂直于，那么这两条射线所构成的 的平面角2.2.3二面角难点剖析在解决二面角的问题时，常常会遇到很多问题， 面的内容.2.3.1平面角的确定在遇到关于如何解决二面角的问题的时候，如果按照定义的方法来解决二面角的问题，需要满足的条件一般比较高，需要两条垂线垂足相同并且 ，而满足这样的条件的题目一般很少，所以要想找到二面角的平面角就需要我们作出辅助线，而对于辅助线的使用，如何去添加辅助线也是一个需要技巧的问题，添加的辅助线的长度以及与其他线的角度也需要经过计算才能得到，这样就给二面角的求解过程加大了难度.2.3.2线面关系影藏在很多关于二面角的题目当中，只给出了图形一些线段的长度，这就需要我们通过长度的计算去找到线线，线面之间的关系，这不仅是影藏的关系，也可能是解题必不可缺的条件之一.所以很考验同学们的空间思维能力，以及知识的掌握能力.2.3.3计算比较繁杂在一些只告诉我们某些线段的长度，用这些长度求解角度的问题当中，往往需要用到余（正）弦公式来进行计算，而余（正）弦公式是一个计算量比较大的公式，有些问题也可以用空间直角坐标系来求解，这同样也是一个计算非常复杂的过程.第三章 二面角问题具体解题方法第三章 二面角问题具体解题方法3.1定义法从二面角的定义来看，二面角的平面角可以确定二面角的大小，所以要想找出二面角的大小关键在于找到二面角的平面角.而要想找到二面角的平面角就需要在二面角的棱长上任取一点，再以为基准分别在两个半平面内过作垂线、，而这两条垂线所构成的即为的 角.例1 如图3.1-1所示，在正方体中，求二面角的大小.解 如图3.1-1所示，在正方体中，为与的交点，连接，图3.1-1，由正方体的性质知道，为的中点，所以.，则为的平面角，不妨令正方体棱长为1，则可以算出，由余弦定理得, 的大小.3.2三垂线法与平面内的一条直线垂直，那么这条斜线和这条直线垂直. 一条直线 .例2 如图3.2-1所示，在长方体中，,为的中点，求二面角的大小.分析 运用三垂线定理解决二面角的问题的第一步是找到基面：即平面；第二步是作基面的垂线：即过点作于.第三步是作平面角：即作于，连接.解 过点作于，因为是长方体，所以平面，且为的，过点作图3.2-1于,连接，有（三垂线定理）.因为，所以，而，在中，因此所求二面角的为.3.3切垂面法作一个平面与二面角的棱长垂直，交线，则交线所构成的角即为二面角的平面角.例3 如图3.3-1所示，点为二面角内的一点，且点到面，的距离为，分别为8和5，长度为7，求这个二面角的大小解：作 于，连接.因为， ，所以 又由于，且，推出 平面所以， 又因为 ，所以 ，且，可得平面，所以平面与平面重合且 ，那么即为所求二面角，在中，所以 ，即有 ，那么所求二面角图3.3-1为 3.4补形法补形法顾名思义就是将原有的图形经过构造成另外一个更大的图形，新的图形包含原有的图形，且新的图形更能直观且方便计算，下面我们由一道例题来进行说明.例4 如图3.4-1所示，平面，在四边形中,，图3.4-1 .求平面与平面所成二面角的大小.解 如图，延长直线和直线相交于点，并连接.由题意得，平行于，且的长度是的，且，又因为 平面 所以,且,所以 平面，再由直角梯形知与平行，故，所以.中， 又因为，且与平行，所以,即 ，所以 .在三角形中 ，而，由勾股定理知 ,即.又由平面，所以是在平面内的射影，根据三可得：，所以为, 形中 ,，所以，所以， 与平面为 3.5空间向量法3.5.1二面角与法向量的关系二面角的大小与二面角两个半平面的法向量所成角具有密切关系，而两个法向量所成的两个角它们之间是互补的，而我们求得二面角的大小范围是，令两个法向量所成角较小的那一个为，那么与具有以下关系：所以在采用空间向量法来解决二面角大小问题的时候，首先需要先直观判定二面角的大小是锐角还是钝角，其次再是求出两个平面法向量的夹角，再根据上面办法求出二面角的大小.3.5.2平面法向量的求法问题上面已经说到二面角的大小可以根据法向量获得，而法向量则一般由两个半平面的方程得到，对于已知半平面的方程，可以直接得到它的法向量：，而对于未知平面方程的前提下，则可以根据已知的3个点的坐标求出法向量.例 如图，中， ，在上，且，求二面角的大小.图3.5.2-1解 如图，.取中点，连接，则，由正三棱柱性质可以得到平面. 则是平面的.则由题可知： 所以得到, 令平面的为n=，则 ，不妨令，则n=，所以，所以. 故二面角 ：已知两个平面相交，并且两个平面的方程为和 令他们的夹角为 ，两个半平面的法向量为， .则为.那么, 于是有： 利用上面两种方法，可以先求出二面角的两个半平面方程，得到两个半平面的法向量或者直接根据点的坐标求出法向量，再求出法向量的夹角，根据夹角与二面角的关系最终得出二面角的大小.3.6四面体体积法如图3.6-1所示，在二面角上，是图3.6-1棱长上的两个点，、 分别在半平面、内，二面角的大小为，那么 证明 过点作平面的垂线，垂足为，过点在平面内作，垂足为，再连接，由三垂线及其逆定理定理易得是二面角的平面角，所以在中，而 故原命题的证.我们在解决二面角的大小问题时，会遇到特殊的情况，我们可以用上面命题所给出的方法来解决二面角的问题.首先在二面角的棱长上取两个特殊点，然后各取一点， (同样是特色点)，然后求出四面体的体积以及两个三角形的面积，利用上述公式就能很快的求出二面角的平面角的大小.下面给出一道例题：例6 如图所示，中，且图3.6-2 ， 求证:平面平面分析 要想得到平面平面，即二面角是直角，且，分别在平面和平面上，而题中给出了， 以及角度关系，可以求出两个三角形的面积关系，以及四面体 的体积所以本题可以利用上述命题关系求出二面角的大小关系.证明 令二面角的平面角的大小为 ，令 ，则，易得.而又由上述公式的四面体，即 化简得 由, 可到，则，在 中，由余弦定理得，同理，所以，将以上数据代入得 故二面角是直角，即平面平面，原题得证.3.7面积射影法在我们求解二面角的大小问题当中，会遇到二面角一个半平面当中的一个图形是另一个半平面的一个图形在内的一个射影，我们把图形的面积称为 ，图形的面积称为 ，二面角大小为 ，那么他们具有这样的关系： 例：如图，在三棱锥中，.()求证：.()求的大小.图3.7-1证明 ()略.() 如图所示，取中点，连接因为，所以，又由，所以，由，得，所以面.所以是在平面内的射影.又因为图3.7-2，且是的中点.所以，所以是在平面内的射影.由已知可以得：，,，令二面角所求的大小为 ，因此有，则二面角的大小为 .3.8角度法例 如图所示，以点为顶点的三条射线分别为，.其中射线，.的夹角为，射线，的夹图3.8-1角为，射线，的为 ，求的大小.分析 由于，的长度未知，故用常规方法无法求解，那么不妨令，且，即为所求二面角.由已知条件可得：， ， ，又由余弦定理有，将， 代入得到在三角形 中， 即 ，因此的大小为.通过角度法，可以看出在没有任何长度的情况下仍然能够解出二面角的大小，所以这种方法也是一个比较特殊的方法.结论 结论在解决二面角大小的问题的时候，首先观察题目，结合图形看是否能使用相对很简单的四面体体积法，射影法，和比较特殊的角度法，如果满足这些方法的条件，尽量使用这些方法相对比较简单.如果采用特殊方法不能解决二面角的问题，我们再采用常用的方法.我们要根据题目中的已知条件来判定使用哪种方法更加简便，能运用计算量少的几何方法解决问题时就绝不要采用计算量大的空间向量法解决问题，因为用空间向量解决二面角的问题时需要非常大计算量，而且还狠繁杂，要求具有较高的计算准确能力，而且得分点还比较少，但是运用几何的方法解决问题的时候，计算量相应简单些，但空间思维能力需求较大，同时得分点（即步骤分）也相应比较多一点.同时，有时候如果题中给出的图形，以及各点具有特殊性，例如正方体、长方体等采用空间直角坐标系的方法，能够很快速的在坐标系中表示出来，那么，我们能够节省很多时间