2018年江苏省高三上学期期末数学试题分类之应用题.doc

十、应用题（一）试题细目表地区+题号类 型 考 点思 想 方 法2018南通泰州期末18解 答 直线、圆、三角函数的定义、基本不等式建模思想2018无锡期末17解 答 2018镇江期末17解 答 2018扬州期末17解 答 2018常州期末17解 答 2018南京盐城期末17解 答 2018苏州期末17解 答 2018苏北四市期末17解 答 （二）试题解析1.（2018南通泰州期末18）如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为的正方形，另一部分是以为直径的半圆，其圆心为.规划修建的条直道，将广场分割为个区域：、为绿化区域（图中阴影部分），、为休闲区域，其中点在半圆弧上，分别与，相交于点，.（道路宽度忽略不计） 【答案】【解】以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系.（1）直线的方程为，半圆的方程为，由得.所以，点到的距离为.（2）由题意，得.直线的方程为，令，得.直线的方程为，令，得.所以，的长度为，.区域、的面积之和为，区域的面积为，所以.设，则，.当且仅当，即时“”成立.所以，休闲区域、的面积的最小值为.答：当时，绿化区域、的面积之和最大.2.（2018无锡期末17）如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.【答案】解：（1）由题意，所以，又，所以观光专线的总长度，因为当时，所以在上单调递减，即观光专线的总长度随的增大而减小.（2）设翻新道路的单位成本为，则总成本，令，得，因为，所以，当时，当时，.所以，当时，最小.答：当时，观光专线的修建总成本最低.3.（2018镇江期末17）如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆 AC与BD 焊接而成，焊接点 D 把杆AC 分成 AD, CD 两段，其中两固定点 A，B 间距离为 1 米，AB 与杆 AC 的夹角为 60 ，杆AC 长为 1 米，若制作 AD 段的成本为 a 元/米，制作 CD 段的成本是 2a 元/米，制作杆BD 成本是 4a 元/米. 设 ADB = a ，则制作整个支架的总成本记为 S 元.（1）求 S 关于a 的函数表达式，并求出a 的取值范围；（2）问 AD 段多长时， S 最小？【答案】在ABD中,由正弦定理得，所以，则，由题意得（2）令，设0单调递减极大值单调递增所以当时，S最小，此时答：（1）S 关于a 的函数表达式为，且；（2）当时S最小.4.（2018扬州期末17）如图，射线OA和OB均为笔直的公路，扇形OPQ区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中P、Q分别在射线OA和OB上。经测量得，扇形OPQ的圆心角（即POQ）为、半径为1千米。为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ区域外修建一条公路MN，分别与射线OA、OB交于M、N两点，并要求MN与扇形弧PQ相切于点S。设POS=（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计.(1) 试将公路MN的长度表示为的函数，并写出的取值范围：(2) 试确定的值，使得公路MN的长度最小，并求出其最小值.【答案】解：因为MN与扇形弧PQ相切于点S，所以OSMN.在OSM中，因为OS=1，MOS=，所以SM=，在OSN中，NOS=，所以SN=，所以， .4分其中 .6分 因为，所以，令，则，所以， . .8分由基本不等式得， 10分当且仅当即时取“=” . .12分此时，由于，故. . .13分答：，其中当时，长度的最小值为千米 . .14分注：第问中最小值对但定义域不对的扣2分 5.（2018常州期末17）已知小明（如图中AB所示）身高1.8米，路灯OM高3.6米，AB，OM均垂直于水平地面，分别与地面交于点A，O点光源从M发出，小明在地面上的影子记作（1）小明沿着圆心为O，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求扫过的图形面积；（2）若米，小明从A出发，以1米/秒的速度沿线段走到，且米秒时，小明在地面上的影子长度记为（单位：米），求的表达式与最小值 （第17题） 【答案】解：（1）由题意，所以，小明在地面上的身影扫过的图形是圆环，其面积为；（2）经过秒，小明走到了处，身影为，由（1）知，所以，化简得，当时，的最小值为，答：，当（秒）时，的最小值为（米）6.（2018南京盐城期末17）. 有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边长为6分米，另一边足够长现从中截取矩形（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中是以为圆心、的扇形，且弧,分别与边,相切于点, （1）当长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；ADCBEGFOMNH第17题-图甲NEFGH第17题-图乙MN （2）当的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？【答案】解：（1）在图甲中，连接交于点设，在中，因为，所以，则从而，即. 2分ADCBEGFOMNHT故所得柱体的底面积. 4分又所得柱体的高，所以.答：当长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为立方分米. 6分（2）设，则，所以所得柱体的底面积. 又所得柱体的高，所以，其中. 10分令，则由，解得. 12分列表如下：0增极大值减所以当时，取得最大值.答：当的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大. 14分7.（2018苏州期末17）BCP东北A如图，B,C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C之间的距离为100km，海岛A在城市B的正东方50处从海岛A到城市C，先乘船按北偏西角（，其中锐角的正切值为）航行到海岸公路P处登陆，再换乘汽车到城市C已知船速为25km/h，车速为75km/h. （1）试建立由A经P到C所用时间与的函数解析式；（2）试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由【答案】解（1）由题意，轮船航行的方位角为，所以，则， 4分（注：AP，BP写对一个给2分）由A到P所用的时间为，由P到C所用的时间为，6分所以由A经P到C所用时间与的函数关系为8分函数的定义域为，其中锐角的正切值为. （2）由（1），令，解得，10分设0，使00减函数极小值增函数12分所以，当时函数f()取得最小值，此时BP=17.68 ，答：在BC上选择距离B为17.68 处为登陆点，所用时间最少14分（注：结果保留根号，不扣分）8.（2018苏北四市期末17）某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180而成，如图2已知圆O的半径为10 cm，设BAO=，圆锥的侧面积为S cm2求S关于的函数关系式；为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大求S取得最大值时腰AB的长度ABCOABCO图1图2（第17题）来源:Z.xx.k.ComDABCOE【答案】（