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专业： 姓名： 学号： 三峡大学硕士研究生考试试卷20112012学年第一学期（A卷）答案考试科目: 数值分析 考试时间：120分钟 出卷教师: 出卷时间: 阅卷负责人签名： 题号一二三四五六七八总分得分 本试卷共 3 页，姓名、学号必须写在指定位置阅卷人得分一、(15分) 设（1）证明：（2）设计一种数值稳定的算法，并证明算法的稳定性.解: (1) 对用分部积分法得 （5分） (2) 由（1）得：若已知，设计如下递推算法： 注意到：于是 取 可得如下递推算法.设 ，则 ， ，即. 每迭代一次误差均在减少，所以设计的递推算法是数值稳定的. （15分）阅卷人得分二、（15分）设对称,顺序主子式则分解存在,其中为单位下三角形矩阵,为对角阵,试写出求方程组 解的计算步骤(用矩阵表示), 此法称为改进平方根法. 试用它求解方程组.：解: 由可得的方程为,令,则.计算步骤 (1) 将直接分解，求出 (2) 求解方程 (3) 求解方程 （5分）现有 比较矩阵两边的元素,可得:由可得 由得 （15分）专业： 姓名： 学号： 阅卷人得分三、（15分）已知下列线性方程组之精确解.用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列问题:(1) 写出Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代两种迭代格式的分量迭代形式；(2) 求Jacobi迭代格式的迭代矩阵及其范数,并指出Jacobi迭代法的收敛性. 解： (1) Jacobi迭代法的分量形式: Gauss-Seidel迭代法的分量形式: (10分) (2) Jacobi迭代格式的迭代矩阵及其范数分别为: Jacobi迭代收敛. (15分)阅卷人得分四、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：解 要使总残差达到最小，必有 或 （10分）阅卷人得分五、(10分) 设.(1) 写出解的Newton迭代格式;(2) 证明此迭代格式是线性收敛的.解 (1) 因,故.由Newton迭代公式: 得.（5分）专业： 姓名： 学号： （2）迭代函数而 又,则 故此迭代格式是线性收敛的. （10分）阅卷人得分六、(15分) 取节点,，求函数在区间上的二次插值多项式 并估计插值误差.解 由Lagrange插值公式得 . （10分） 令 由，求得两个驻点得， 于是 所以，有 （15分） 阅卷人得分七、(10分)已知某河宽m，测得水深如下表（单位：m）:利用所有数据，用复合梯形公式和复合Simpson公式计算河水的截面积的近似值. 解：用复合梯形公式，小区间数 步长 （5分） 用复合Simpson公式. 小区间数, 步长 （10分）阅卷人得分八、（10分）设初值问题:,(1) 写出用Euler方法、取步长解上述初值问题数值解的公式；(2) 写出用改进Euler方法、取步长解上述初值问题数值解的公式.解: （1）取步长解
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