三角恒等变化金典例题.doc

三角函数式的化简要求是:项数最少三角函数种类最少函数次数最低尽可能不带根号 能求值得要求出值. 一: 定义法例1. 化简 二: 弦切互化法 例2. 解: 原式 三: 变用公式 例3. 说明: 公式在解题中运用非常灵活.常常变形为 来使用.四: 连锁反应法 例5. 说明: 此题分子分母同乘以,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地.五: 升降次法 例6. 例7. 六: 基本技巧 例8 (1) (2) 角的变换角的变换，一般包括角的分解和角的组合，角的分解即把一个角分成几个角的和或差，而角的组合即把几个角通过和或差组合成一个角。例1、已知sina=4sin(a+b),求证：tan(a+b)=。例2、若3tana=2tan(a+b)，则sin(2a+b)=5sinb。例3、已知cos(+x)=，求的值。紧紧抓住角的变捣，是灵活解题之关键，因此要注意分析思考角的关系，找出差异实现转化。例4、已知：a+b(，p)，a-b(0，)，且sin(a-b)=，cos(a+b)= -，求b。和（差）角范围问题在三角解题中经常遇到确定和（差）角范围的问题，学生常因确定和（差）角范围的偏差导致解题失误。本文举例说明这类问题的处理方法。1. 合理选用公式来确定2. 例1 已知，均为锐角， sin=，求+的值。二. 借用其他三角函数来确定例2 已知，且，都是第二象限角，试确定2+，2-所在象限。三. 挖掘隐含条件来确定例3 已知cos()= 都是锐角，求cos(+)的值。例4 已知，且tan,tna是一元二次方程的两个根，求+的值。解析：由已知条件得tan+tan= ，三角函数式的求值例1、已知，求；例2、已知，的值例3、且是第二象限的角，求积化和差与和差化积1、 积化和差公式： sinsin=-cos(+)-cos(-) coscos=cos(+)+cos(-) sincos=sin(+)+sin(-) cossin=sin(+)-sin(-) 积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。其中后两个公式可合并为一个：sincos=sin(+)+sin(-) 2、和差化积公式 sin+sin=2sincos sin-sin=2cossin cos+cos=2coscos cos-cos=-2sinsin 和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是： 其中前两个公式可合并为一个：sin+sin=2sincos 积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。 只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。 合一变形也是一种和差化积。 三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。 3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。例题选讲 1、求下列各式的值 co