高中数学引入新课的设计研究.doc

高中数学引入新课的设计研究建平中学 徐程一、问题的提出 经常听到学生们感慨：“数学太偶然了”，“很抽象啊”，“很深奥”，“学了数学又有什么用”.这些声音是来自学生的内心深处，作为教师，我们必须得思考如何解决。而数学课堂恰是教师和学生的共同阵地，如何培养学生的兴趣，提高学生的素质与能力，很关键的是取决于此。那么如何在课堂教学上作文章呢？德国教育家第斯多惠指出：“教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。而 “新课引入”便是激发学生学习兴趣，激活学生思维，鼓舞学生不断追求新知，充分调动学生学习主动性的重要的教学环节，也是首要环节。二、问题的思考1新课引入的误区新课引入固然重要，但不恰当的新课引入反而可能适得其反。（1）新课引入内容过于牵强偶然听到一位老师在讲解“平面向量”一章中关于两个向量夹角的问题时的引入：“前几天，我在某地旅游，看到两头牛在顶架（两头牛的头成某一个角度），一用力，分别后退了1m，1.5m这就转化为了数学问题。这时，学生哄堂大笑。学生大笑，不是因为这位老师的新课引入精彩，而是觉得无聊（后来调查得知）。这样的新课引入不仅没有起到应有的效果，反而使学生有种过于牵强的感觉。（2）新课引入时间过长有些老师的新课引入确实很新颖、有趣，激发了学生的兴趣，但是有时由于要讲清楚引入的问题，如果是实际问题，又要再理想化一些，然后学生再提出一些问题，可能时间就太长了，甚至上课时间已经超过了十几分钟，还没有步入正题。这样的新课引入不仅偏离了重心，而且还可能导致学生的注意力转移，效果不佳。（3）新课引入方式过于平凡一节新课，有的老师从复习旧课、复习提问开始，有的从讲评作业开始，有的直接告知新课的课题，有的则干脆自己包办、代替，简化新课引入的过程这些新课引入方式固然有它的可取之处，比如说节省时间等，但是，这些新课引入缺乏生机和活力，忽视了学生的能力培养，失去了探索发现的时机，不易吸引学生的注意力，不能激起学生浓厚的学习兴趣与强烈的求知欲。2新课引入的方式 新课引入误区的存在，使我们更应该重视新课引入这一重要的教学环节，那么到底应该如何新课引入呢？什么样的方式、形式才能提高课堂教学效率呢？（1）联系生活实际，语言通俗生动，引入新课我们知道，数学来源于现实生活，数学的发展应归结为现实所需。而作为人的心理的重要组成部分，情感总是在实践和探究过程中产生和发展起来的，对于生活中的实际问题，学生倍感亲切。当教师提出这些问题时，便能充分调动起学生学习的积极性，并使学生经历知识的形成过程。【案例1】“参数方程”的引入问题情境：师：请问这是什么？（生：摩天轮）今天，我们的数学之旅就从摩天轮开始。先来说说摩天轮吧。我们假设它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2r，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，（那转动一秒转了多少度？）若现在你坐在座舱中，从初始位置出发（如图所示），过了30秒后，你离地面的高度为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？生1：h1=h0+rsin300 生2：h2=h0+rsin450生3：hh0rsint0请问t0的范围在哪里？在锐角范围中，hh0rsint0这一数学模型能表示座舱的高度，那么，我们能不能随着时间的推移，让hh0rsint0这个数学模型从始至终都能起作用呢？若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。今天，我们就要来学习任意角的三角函数。摩天轮这个模型真是妙不可言！摩天轮妙不可言之一：（1）问题的呈现自然合理，贴近生活，许多学生有亲身的体验，兴趣极高。（2）直观的感知（轮的转动与角的终边转动一致，转轮的位置与时间的确定相关）（2）利用趣味故事，诱发学习兴趣，引入新课 教育心理学表明：当学生产生学习兴趣时，就会产生力求掌握知识的理智感，集中注意力，采取积极主动的意志行为，使心理活动处于积极状态，从而提高学习效率。因此，教学中寓趣于教，适度幽默，创设愉悦的问题情境，可以诱发学生的内驱力，激发学生情趣，活跃课堂气氛，把机械的知识讲活，深奥的数学道理变得通俗易懂，给学习留下生动鲜明的印象。【案例2】“等差数列的前项和”的引入问题情境：从前有这样一个故事：有人卖了一匹马，得到了156元钱，但是买主买了以后又反悔了，欲退还给卖主，说：“这价钱买你这匹马不合算，这匹马根本不值这么多钱。”于是卖主提出新的条件：“如果你嫌这匹马价钱高，那你就只买它的马蹄上的钉子好了，马可以白送。每一个马蹄上有6个钉子，第一个钉子只要给我分钱，第二个钉子分钱，第三个钉子1分钱，依此类推。”买主被这廉价打动了心，想白得这匹马，就接受了卖主的条件，心里估计着钉子总共花不了10元钱。试问买主究竟要破费多少钱呢？学生对这样的趣味故事非常感兴趣，自然就会积极地投入到新课的学习中。（3）恰当制造悬念，激发求知欲望，引入新课悬念是一种学习的心理机智，它是学生对所学内容感到疑惑不解而又想解决它而产生的一种心理状态，对大脑皮层有强烈而持续的刺激作用。而青年学生的天性又恰恰是追求知识、了解知识、渴求知识。正因为如此，设置悬念情境，将学生引入一个“心欲通而不能，口欲讲而不会”的境界，将有益于学生对新知产生强烈的好奇心和求知欲，推动学生的感情波澜，撞击他们的求知心灵，激起他们的思维火花，激发他们的学习动机。【案例3】“对数”的引入问题情境：2005年10月12日 “神州六号”飞船发射成功。据相关资料介绍，飞船是在距离地面343公里的圆形轨道飞行。现将一张报纸反复对折，请想一想，折叠多少次后，其厚度可以达到这一高度？学生估计折叠多少次都不可能达到，这样便悬念产生了，于是师生一起来探求。设一张报纸的厚度为0.1毫米，设折叠次后的厚度为毫米，则，即：。这样就自然的引出了对数。经计算，大约折叠32次，即可达到这一高度。问题的解决使学生产生了强烈的震撼，错觉是由直觉思维造成的，但事实胜于雄辩！（4）运用类比联想，体验创新快乐，引入新课天文学家开普勒曾经说：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学里它是最不容忽视的。”著名数学教育学家波利亚也说过：“求解立体几何问题往往有赖于平面几何的类比。”【案例4】“正四面体的性质”的引入问题情境：在平面几何中有这样一个结论：“正三角形内任意一点到各边的距离之和为常数。”那么在空间中对于正四面体有没有类似的结论呢？若有，请你给出简要的证明；若没有，请你给出理由。通过简单、明了的引入，学生的思维很快就转入到本节课的学习中。这样，不仅培养了学生的猜想能力，更重要的是体现了知识的内在联系。（5）学生动手实验，感知数学本质，引入新课新课程标准强调要让学生的学习方式丰富起来，而自主探索、动手实践、合作交流等都是学习数学的重要方式。从实验操作中创设情境，可使学生体验、感觉“做”数学的乐趣，培养合作交流的能力。【案例5】“数学归纳法”的引入问题情境：今天，我们大家一起来做一个游戏：“多米诺”骨牌游戏。笔者把准备好的教具摆放好，让学生将其推倒，并从中感悟推倒的规则。学生经过反复动手实验后，总结出玩此游戏的规则：（1）排此骨牌的规则：前一块牌倒下，保证后一块牌一定倒下；（2）推倒第一块。由此便非常自然的引出数学归纳法的定义，这自然比直接导入定义妙得多，并且学生能真正地理解对一个与自然数有关的命题经过数学归纳法的步骤证明后是正确的。除了以上几种新课引入方式外，还有创设陷阱、层层递进、呈现案例、谚语、名言警句等形式不一而足，教师在教学过程中也可以多种方式相结合。总之，不论哪种引入，都必须为你本节内容服务，根据自己的需要，选择你认为较好的一种或几种引入的方式，为你的精彩授课拉开序幕。3新课引入的注意新课引入必须能激发学生去主动想象，调动学生思维，同时使学生产生某种情感体验。新课引入的设计应具有易启发、易进入、易成功、易运用的四易特色。在此过程中，我们需要注意以下问题：（1）引入的生活实例应是学生非常熟悉的环境，最好是有亲身的经历，否则就不能触景生情，效果不佳；（2）趣味幽默要适时、适度，紧扣主题，不可过于随便，如果挖空心思制造笑料，可能会适得其反；（3）制造悬念要恰到好处，不悬，学生不思而解；太悬，学生百思而不得其解，这样反而会挫伤学生的积极性；（4）运用类比时，要确定此问题是否真的具有可比性，要让学生明白是方法的类比，还是结论的类比，亦或是其他的类比；（5）动手试验要让学生不仅只是盲目的参与试验之中，而是要让知其所以然，否则，学生很可能只记得做过了试验，而到底为什么还很茫然。三、问题的结局课堂教学离不开精彩的新课引入。在全面推进新课程的实施，提高学生素质，培养学生综合运用能力、创新思维能力的今天，提高教学质量和效率是落实这一主旨的切入点。那种新课引入不得力、引入不到位的课堂教学模式，会使作为认知主体的学生在教学过程中自始至终处于被动状态，主动性、积极性、创造性不易发挥，既不能保证教学质量与效率，又不利于学生思维的健康发展。新课引入是教师的“再创造”活动，也是学生获得“再创造”的学习方法的一种有效途径。不仅在概念课中需要，而且在其他课型中也离不开，即使是同一个课题，也可以进行不同设计的研究，以适应不同层次学生的需要。新课引入的潜力是很大的，我们应大力发挥它在课堂教学中的作用，愿广大一线教师都能在新课引入的创造性劳动及成果中体会到教学的无穷的魅力与乐趣。教案设计案例任意角的三角函数（1）一、教学内容分析：高一年级第二学期数学（试用本）任意角的三角函数第一课时。本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在（试用本）中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。（试用本）还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。二、学生学习情况分析我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣。我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味。所以如何进行（试用本）的教学设计就很值得思考探索。如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中？（试用本）中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象（周期振荡现象），解决一些实际问题，这也是（试用本）在三角函内容处理上的一个突出特点。根据（试用本）的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；其二：借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号。三、设计理念：本节课通过多媒体信息技术展示摩天轮旋转及生成的图像，让学生感受到数学来源于生活，数学应用于生活，激发同学们学习的乐趣。并通过问题的探究，体验“数学是过程的思想”，改变课程实施过程于强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生学生收集和处理信息的能力，获得新知识的能力，分析与解决问题的能力以及交流合作的能力。四、教学目标：1.借助摩天轮的情景问题很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义；2.从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号；3.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。五、教学重点和难点：1.教学重点：任意角三角函数的定义.2.教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域.具体设计如下：六、教学过程第一部分情景引入问题1:如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为，它的直径为2R，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发（如图1所示），过了30秒后，你离地面的高度为多少？过了45秒呢？过了秒呢？【设计意图】：高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解。这个数学模型很好融合初中对三角函数的定交，也能放在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角三角函数过渡，揭示函数的本质。第二部分复习回顾锐角三角函数让学生自主思考如何解决问题：“过了30秒后，你离地面的高度为多少？”【分析】：作图如图2很容易知道：从起始位置OA运动30秒后到达P点位置，由题意知，作PH垂直地面交OA于M，又知MH，所以本问题转变成求PH再次转变为求PM。要求PM就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数。问题2：锐角的正弦函数如何定义？【学生自主探究】：学生很容易得到所以学生很自然得到“过了30秒后，过了45秒,你离地面的高度为多少？”【教师总结】：在锐角的范围中，第三部分引入新课问题3：请问的范围呢？随着时间的推移，你离地面的高度为多少？能不能猜想？【分析】：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。今天我们就要来学习任意角的三函数角函数。问题4：如图建立直角坐标系，设点，能你用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角的正弦函数的定义吗？能否也定义其它函数（余弦、正切）？【学生自主探究】：，问题5：改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？【分析】：先由学生回答问题，教师再引导学生选几个点，计算比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质证明。【设计意图】：让学生深刻理解体会三角函数值不会随着终边上的点的位置的改变而改变，只与角有关系。通过摩天轮的演示，让学生感受到第一象限角的正弦可以跟锐角正弦的定义一样。问题6：大家根据第一象限角的正弦函数的定义，能否也给出第二象限角的定义呢？【学生自主探究】：学生通过上面已知知识得到学生定义好第二象限角后，让学生自己算出摩天轮座舱在第150秒时，离地面的高度？通过摩天轮知道：由此得到：【设计意图】：通过这个，让学生检验在第二象限角是否正确？问题7：在第三象限角或第四象限能成立吗？【设计意图】：让学生通过模型，检验定义是否正确，从中让学生自己发现正、负符号的偏差。（可以让学生取，从而得到，发现这与不相符，实际上是）【教师总结】：我们通过个模型知道如何在某些范围内如何计算自已此时离地面的高度，用数学模型来表示，当摩天轮转动，角度的概念也不知不觉地推广到任意角，对于任意角的正弦不能只是依赖于角所在的直角三角形中的对边的长度比斜边长度了，我更应该用点P的横坐标来代替或，那么这样就能够很好表示出正弦的函数任意角的定义。第三部分给出任意角三角函数的定义如图3,已知点为角终边上的点，点到顶点的距离为R，则 （） （） （）【分析】：让学生通过刚才的模型进一步体验任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离。问题8：当摩天轮的半径R1时，三角函数的定义会发生怎样的变化。【学生自主探究】：，。教师引导学生进行对比，学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化。教师进一步给出单位圆的定义给出下列表格，让学生自己补充完整。三角函数定义一：定义二：定义域及时归纳总结有利学生对所学知识的巩固和掌握。第三部分例题讲解例1.（课本P14例2）已知角终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值。【分析】：让学生现学现卖，得用上面的定义二就可以得到答案。例2.（课本P14例1）求的正弦、余弦和正切值。【学生自主探究】：让学生自己思考并独立完成。然后与课本的解答相对比一下，发现本题的难点。【教师讲解】：本题题意很简单，但是如何入手却是难点，关键是对本节课的三角函数定义的要点有没有领会清楚（任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离），因此本题的重点之处是如何利用单位圆找到这个点P，如图4可以知道，又点P在第四象限，得到，这样就可以很容易得到本题答案。不妨让学生取，能否也得到点P的坐标，得到的三角函数值是否与单位圆的一样。这样可以让学生更深刻体验三角函数的定义。第四部分巩固练习练习1.例2变式求的正弦、余弦和正切值。练习2.问题9：通过观察摩天轮的旋转，三角函数的角的终边所在象限不同，请说说三角函数在各个象限内的三角函数值的符号?独立完成课本P15的“探究”。【设计意图】：练习1、练习2的设计与例2、例3衔接，主要目的是帮助学生巩固三角函数的本质特征，引导学生从定义出发利用坐标平面内的点的坐标特征自主探究三角函数的有关问题的思想方法。并在特殊情形中体会数形结合的思想方法。第五部分小结与作业学生自我总结七、教学反思上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义：1. 教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数的理解上。背景创设是学生熟悉的摩天轮，认知过程符合学生的认知特点和学生的身心发展规律具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利学生的思考。2. 情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好引入