高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解.doc

一、选择题1(2010聊城市、银川模拟)在ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且sin2Asin2C(sinAsinB)sinB，则角C等于()A. B.C. D.答案B解析由正弦定理得a2c2(ab)b，由余弦定理得cosC，0C，C.2(文)(2010泰安模拟)在ABC中，若A60，BC4，AC4，则角B的大小为()A30 B45C135 D45或135答案B解析ACsin604244，故ABC只有一解，由正弦定理得，sinB，44，BA，B45.(理)在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，A，a，b1，则c()A1 B2C.1 D.答案B解析bsinA10，c2.故选B.3在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2，b2，且三角形有两解，则角A的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析由条件知bsinAa，即2sinA2，sinA，ab，AB，A为锐角，0A.点评如图，AC2，以C为圆心2为半径作C，则C上任一点(C与直线AC交点除外)可为点B构成ABC，当AB与C相切时，AB2，BAC，当AB与C相交时，BAC，因为三角形有两解，所以直线AB与C应相交，0BAC0，b0，ab0，所以ab.5(文)(2010天津理)在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2b2bc，sinC2sinB，则A()A30 B60C120 D150答案A解析由余弦定理得：cosA，sinC2sinB，c2b，c22bc，又b2a2bc，cosA，又A(0，180)，A30，故选A.(理)(2010山东济南)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2c2b2)tanBac，则角B的值为()A. B.C.或 D.或答案D解析由(a2c2b2)tanBac得，tanB，再由余弦定理cosB得，2cosBtanB，即sinB，角B的值为或，故应选D.6ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，如果a、b、c成等差数列，B30，ABC的面积为0.5，那么b为()A1 B3C. D2答案C解析acsinB，ac2，又2bac，a2c24b24，由余弦定理b2a2c22accosB得，b.7(2010厦门市检测)在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且a1，b，则SABC等于()A. B.C. D2答案C解析A、B、C成等差数列，B60，sinA，A30或A150(舍去)，C90，SABCab.8(2010山师大附中模考)在ABC中，cos2(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则ABC的形状为()A直角三角形 B正三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形答案A解析cos2，sinCcosBsinA，sinCcosBsin(BC)，sinBcosC0，0B，C0，cosB0知A、B均为锐角，tanA1，0A，0B，C为最大角，由cosB知，tanB，BA，b为最短边，由条件知，sinA，cosA，sinB，sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，由正弦定理知，b.10(2010山东烟台)已知非零向量，和满足0，且，则ABC为()A等边三角形B等腰非直角三角形C直角非等腰三角形D等腰直角三角形答案D解析cosACB，ACB45，又0，A90，ABC为等腰直角三角形，故选D.二、填空题11(文)判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是_a1，b，B45；a，b，A30；a6，b20，A30；a5，B60，C45.答案解析一解，asinB1，有一解两解，bsinA6，无解一解，已知两角和一边，三角形唯一确定(理)在锐角ABC中，边长a1，b2，则边长c的取值范围是_答案c0，c25.0c0，c23.c.综上，c.12(2010上海模拟)在直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(1,0)，C(1,0)，顶点B在椭圆1上，则的值为_答案2解析由题意知ABC中，AC2，BABC4，由正弦定理得2.13(文)(2010沈阳模拟)在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若b2c2a2bc，且4，则ABC的面积等于_答案2解析b2c2a2bc，cosA，4，bccosA4，bc8，SACABsinAbcsinA2.(理)(2010北京延庆县模考)在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若ac2b且sinB，当ABC的面积为时，b_.答案2解析ac2b，a2c22ac4b2(1)SABCacsinBac，ac(2)sinB，cosB(由ac2b知B为锐角)，a2c2b2(3)由(1)、(2)、(3)解得b2.14(2010合肥市质检)在ABC中，则角B_.答案解析依题意得sin2Asin2Bsin(AB)(sinAsinC)sinAsinCsin2C，由正弦定理知：a2b2acc2，a2c2b2ac，由余弦定理知：cosB，B.三、解答题15(文)(2010广州六中)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos，3.(1)求ABC的面积；(2)若bc6，求a的值解析(1)cos，cosA2cos21，sinA.又由3得，bccosA3，bc5，SABCbcsinA2.(2)bc5，又bc6，b5，c1或b1，c5，由余弦定理得a2b2c22bccosA20，a2.(理)(2010山东滨州)已知A、B、C分别为ABC的三边a、b、c所对的角，向量m(sinA，sinB)，n(cosB，cosA)，且mnsin2C.(1)求角C的大小；(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且()18，求边c的长解析(1)mnsinAcosBsinBcosAsin(AB)在ABC中，由于sin(AB)sinC.mnsinC.又mnsin2C，sin2CsinC，2sinCcosCsinC.又sinC0，所以cosC.而0C，因此C.(2)由sinA，sinC，sinB成等差数列得，2sinCsinAsinB，由正弦定理得，2cab.()18，18.即abcosC18，由(1)知，cosC，所以ab36.由余弦定理得，c2a2b22abcosC(ab)23ab.c24c2336，c236.c6.16(文)在ABC中，已知AB，BC2.(1)若cosB，求sinC的值；(2)求角C的取值范围解析(1)在ABC中，由余弦定理知，AC2AB2BC22ABBCcosB34229.所以AC3.又因为sinB，由正弦定理得.所以sinCsinB.(2)在ABC中，由余弦定理得，AB2AC2BC22ACBCcosC，3AC244ACcosC，即AC24cosCAC10.由题意知，关于AC的一元二次方程应该有解，令(4cosC)240，得cosC，或cosC(舍去，因为ABBC)所以，0C，即角C的取值范围是.点评1.本题也可用图示法，如图：A为B上不在直线BC上的任一点，由于rAB，故当CA与B相切时C最大为，故C.2高考命题大题的第一题一般比较容易入手，大多在三角函数的图象与性质、正余弦定理、平面向量等内容上命制，这一部分要狠抓基本原理、公式、基本方法的落实(理)(2010东北师大附中、辽宁省实验中学联考)设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosCcb.(1)求角A的大小；(2)若a1，求ABC的周长l的取值范围解析(1)由acosCcb得sinAcosCsinCsinB又sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinCsinCcosAsinC，sinC0，cosA，又0Aa1，labc(2,3，即ABC的周长l的取值范围为(2,317(文)ABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m(2sinB，)，n(cos2B,2cos21)且mn.(1)求锐角B的大小；(2)如果b2，求ABC的面积SABC的最大值分析(1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数，利用三角恒等变换知识解决；(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决解析(1)mn，2sinBcos2Bsin2Bcos2B，即tan2B又B为锐角，2B(0，)，2B，B.(2)B，b2，由余弦定理cosB得，a2c2ac40又a2c22ac，ac4(当且仅当ac2时等号成立)SABCacsinBac(当且仅当ac2时等号成立)，点评本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起，题目新疑精巧，难度也不大，即符合在知识“交汇点”处构题，又能加强对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，大大简化了向量的关系的运算，该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解(理)(2010山师大附中模考)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sinB，且a、b、c成等比数列(1)求的值；(2)若accosB12，求ac的值解析(1)依题意，b2ac由正弦定理及sinB得，sinAsinCsin2B.(2)由accosB12知cosB0，sinB，cosB(b不是最大边，舍去负值)从而，b2ac13.由余弦定理得，b2(ac)22ac2accosB.13(ac)2213.解得：ac3.一、选择题1(2010广东六校)两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()km.()AaB.aC2aD.a答案D解析依题意得ACB120.由余弦定理cos120AB2AC2BC22ACBCcos120a2a22a23a2ABa.故选D.2(文)(2010广东佛山顺德区质检)在ABC中，“sinA”是“A”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析在ABC中，若sinA，则A，反之A时，不一定有sinA，如A时，sinAsinsin.(理)在ABC中，角A、B所对的边长为a、b，则“ab”是“acosAbcosB”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析当ab时，AB，acosAbcosB；当acosAbcosB时，由正弦定理得sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B，2A2B或2A2B，AB或AB.则ab或a2b2c2.所以“ab”“acosAbcosB”，“acosAbcosB”/ “ab”，故选A.3已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，观测得ABC120，则AC两地的距离为()A10km B.kmC10km D10km答案D解析如图，ABC中，AB10，BC20，B120，由余弦定理得，AC2AB2BC22ABBCcos12010220221020700，AC10km.选D.4(文)在ABC中，sin2(a、b、c分别为角A、B、C的对应边)，则ABC的形状为()A正三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形答案B解析sin2，cosA，a2b2c2，故选B.(理)(2010河北邯郸)在ABC中，sin2Acos2B1，则cosAcosBcosC的最大值为()A. B. C1 D.答案D解析sin2Acos2B1，sin2Asin2B，0A，B，sinAsinB，AB.故cosAcosBcosC2cosAcos2A2cos2A2cosA12(cosA)2，0A，0cosA1，cosA时，取得最大值.5(文)(2010广东汕头一中)已知ABC的外接圆半径为R，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2R(sin2Asin2C)(ab)sinB，那么角C的大小为()A. B. C. D.答案C解析由正弦定理得，a2c2abb2，cosC，0C，C.(理)已知a、b、c是ABC三内角A、B、C的对边，且A为锐角，若sin2Acos2A，则()AbcsinB，AB，sinB，cosB，cosCcos(AB)cos(AB)sinAsinBcosAcosB.点评在ABC中，有sinAsinBAB.7在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45，再向塔底方向前进100m，又测得塔尖的仰角为60，则此电视塔高约为_m()A237 B227 C247 D257答案A解析如图，D45，ACB60，DC100，DAC15，AC，ABACsin60237.选A.8(文)(2010青岛市质检)在ABC中，B，三边长a、b、c成等差数列，且ac6，则b的值是()A. B. C. D.答案D解析由条件2bac，4b2a2c22aca2c212，又cosB，a2c26b2，4b218b2，b.(理)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c2a，则cosB()A. B. C. D.答案B解析a、b、c成等比数列，b2ac，又c2a，b22a2，cosB.点评在知识的交汇处命题是高考命题的基本原则本题融数列与三角函数于一体，集中考查正弦定理、余弦定理、等比数列等基础知识同时也体现了数列、三角函数等内容是高考中的热点问题，复习时要注意强化9如图所示的曲线是以锐角ABC的顶点B、C为焦点，且经过点A的双曲线，若ABC的内角的对边分别为a、b、c，且a4，b6，则此双曲线的离心率为()A. B.C3 D3答案D解析sinC，因为C为锐角，所以C，由余弦定理知c2a2b22abcosC426224628，c2e3.10(文)(2010山东济南)设F1、F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，P在双曲线上，若0，|2ac(c为半焦距)，则双曲线的离心率为()A. B. C2 D.答案D解析由条件知，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，根据双曲线定义得：4a2(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|F1F2|24ac4c24ac，a2acc20，1ee20，e1，e.(理)(2010安徽安庆联考)如图，在ABC中，tan，0，()0，经过点B以A、H为两焦点的双曲线的离心率为()A. B.1C.1 D.答案A解析0，AHBC，tan，tanC，又()0，CACB，tanBtancot2，设BHx，则AH2x，CHx，ABx，由条件知双曲线中2CAH2x,2aABBH(1)x，e，故选A.二、填空题11如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B和对岸标记物C，测得CAB30，CBA45，AB120米，则河的宽度为_米答案60(1)解析过C点作CDAB于D，设BDx，则CDx，AD120x，又CAB30，解之得，x60(1)12(2010福建三明一中)如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75方向，与A相距3海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60方向，与B相距5海里的C处则两艘轮船之间的距离为_海里答案解析如图可知，ABC60，ABBC，AC5，BAC60，从而DAC45，又AD3，由余弦定理得，CD.13(文)(2010山东日照模拟)在ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知c2，C，ABC的面积等于，则ab_.答案4解析由条件知，absin，ab4，cos，a2b28，(ab)2a2b22ab8816，ab4.(理)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积S(b2c2a2)，若a10，则bc的最大值是_答案10050解析由题意得，bcsinA(b2c2a2)，a2b2c22bcsinA，结合余弦定理得，sinAcosA，A，又根据余弦定理得100b2c2bc2bcbc，bc10050.14(文)(2010山东日照)一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60方向上，另一灯塔在南偏西75方向上，则该船的速度是_海里/小时答案10解析设该船的速度为v海里/小时，如图由题意知，AD，ACv，tan752，又tan75，2，解得v10.(理)(2010合肥质检)如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东角，前进mkm后在B处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围nkm范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行当与满足条件_时，该船没有触礁危险答案mcoscosnsin()解析MAB90，MBC90MABAMB90AMB，AMB，由题可知，在ABM中，根据正弦定理得，解得BM，要使船没有触礁危险需要BMsin(90)n，所以与满足mcoscosnsin()时船没有触礁危险三、解答题15(2010河北唐山)在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且acosBbcosA1.(1)求c；(2)若tan(AB)，求的最大值解析(1)由acosBbcosA1及正弦定理得，cosBcosA1，csin(AB)sinC，又sin(AB)sin(C)sinC0，c1.(2)tan(AB)，0AB，AB，C(AB).由余弦定理得，12a2b22abcosCa2b2ab2ababab2，当且仅当ab1时取“”号所以，的最大值是.16(文)(2010广东玉湖中学)如图，要计算西湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得ADCD，AD10km，AB14km，BAD60，BCD135，求两景点B与C的距离(精确到0.1km)参考数据：1.414，1.732，2.236.解析在ABD中，设BDx，则BA2BD2AD22BDADcosBDA，即142x2102210xcos60，整理得：x210x960，解之得，x116，x26(舍去)，由正弦定理得，BCsin30811.3(km)答：两景点B与C的距离约为11.3km.(理)(2010湖南十校联考)长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域可近似为半径是R的圆面该圆的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界ABAD4万米，BC