2.3初等多值函数.pdf

第三节第三节 初等多值函数初等多值函数 6 根式函数根式函数 7 对数函数对数函数 8 幂函数幂函数 第二章 复变函数第二章 复变函数 2 9 1 n n zwn wz 定义 幂函数是大于 的整数的反函数 称为根式函数 叶性区域 幂函数的变换性质和单 1 根式函数 arg2 2 1 n zk i n n zwnw wz wzz ez 幂函数是大于 的整数 在平面上是单值解析的 它把扩充平面变成扩充平面 反函数在平面上是多值的 nrewrez nii 则有令 0 000 1 n n zwn nr 于是 是大于 的整数 把射线变成 射线 把圆变成圆 n zww nn z 特别的 把 平面上的角形变成 平面上除去原点和负实轴的区域 22 轴的区域平面上除去原点和负实变成 平面上的角形把一般的 z nn k nn k wwz n 12 12 2 8 f zDzz f zf zf zDDf z 定义 设函数在区域内有定义 若当时 有则称函数在内是单叶的 为 的单叶性区域 注 单叶类似于数学分析中的单射 但单叶不同于 单值 在复变函数中单值与多值相对应 1 2 n zw n n 幂函数是大于 的整数 的单叶性区域是 顶点在原点 张度不超过的角形区域 2 n wz 根式函数的单值解析分支 00 0 Oz GGzz Gzz 从原点到点引一条射线 将 平面割破 得到一个 以此割线为边界的区域在内指定一点并指定 的一个辐角值 则内任意一点 的辐角 都可以从 的辐角连续变化而得到 2 zk i nn nn kk wzr z ezGwz 称为的 一个单值连续分支函数 11 sin i f zu riv rzre u rv rrC R uvvu rrrr f zz uvruv fziii rrzrr 引理 设 若和在点 可微 且满足 方程 则 在点 可微 并且 cos cos sin 1 2 11 xryr u rv ru x yv x y uu ruuu ru xr xxyr yy vv rvvv rv xr xxyr yy uvvuuvvu rrrrxyx 分析 从和可微 易知和都可微 利用可得 0 3lim ii r y u rru ri v rrv r f z rr ere 22 cos sin n kk nn wz kk u rrv rr nn r 证明 对其实部和虚部分别为 显然它们都是的可微函数 并且 11 1 11 1 1212 cos sin 1212 sin cos nn r nn r kk urur nnnn kk vrvr nnnn 内解析 并且有在 从而 于是 G zwu r vv r u k n krr 1 1 n wzn 定理 的个单值连续分支都是解析的 1 2 sin 2 cos 11 2 sin 12 cos 1 1 1 1 1 1 z z n n k i n k r zn n k r n i n k r nz r ivu z r z dz d k n n nn rrk n 3 n wz 根式函数的支点和支割线 0 00 的支点函数 为称从一支变为另一支 则多值函数 一周时 绕变点是复平面内一点 若当设 zf zzf zzz 轴时 分为左岸和右岸当支割线接近平行于 轴时 分为上岸和下岸当支割线接近平行于 分为两岸 的支割线 支割线一般的割线称为 的单值解析分支平面 借以分出用来割破 y x z zz n n 0 n z i n n n ezrz zw n 它可以表示为主值支 的那一支 称为在正实轴上取正实数的 个解析分支中 到的取负实轴为支割线时得 3 wz zw iiwi 例 设确定在从原点起沿负实轴割破 的 平面上 并且试求的值 2 33 24 7 22 336 2 zk i i k k iii zrewr z eiw i ekwiee 解 设则由 可得于是 w zewz wLnz 定义 若 则称为 的对数 记为 指数函数的反函数称为对数函数 2 ln kvru reeivuwrez iivui 从而 则有令 ln 2 ln ln arg2 LnzrikkN LnzziArgz zizkkN 于是 或者 对数函数 2ln arglnlnarg NkikzLnzLnz zzzz 于是 的主值支 为取主值时 称当 注 复数 z 的对数仍为复数 它的实部是 z 的模的 自然对数 它的虚部是 z 的幅角的一般值 由于虚部 的任意两个不同的值相差 2 的整数倍 所以对数函 数是无穷多值函数 ln ln 34 ii 例 求和的值 12 12 1 2 zz eezzk i 12 121 2 121 2 12 1212 1212 2 LnzLnz LnzLnzLn z z LnzLnzLn z z ez ez ez zez z ee Ln z zLnzLnz 由于我们有 及因此 有 由此可得 21 2 1 LnzLnz z z Ln 同理可证 1 对数函数的性质 wLnz zewLnzez ver ezivuwrez u wi 可得则从令 0 0 00 u w ervuu vvvez 变成圆周把线段 变成射线把直线因此 变换 0 0 0 0 vz vvwez w 平面上的角形变成 平面上的带形把指数函数 2 指数函数的变换性质 轴的区域平面上除去原点和负实变成 平面上的带形把指数函数 z vwez w 2 w zez指数函数单叶性区域是 平面上 平行于实轴 宽度不超过的带形区域p 12 12 2 轴的区域平面上除去原点和负实变成 的带形平面上宽为把指数函数 z Zkkvk wez w 2 ln ln kzizrzw Lnzw z kk 连续分支的无穷多个不同的单值 实轴 可以得到平面上从原点起割破负在 1 ln k d z dzz 上述单值连续分支在单叶性区域内都是 解析的 并且 0 0 线的广义简单曲线是支割和连接 的支点 是和容易看出 zz Lnzwzz 3 对数函数的单值解析分支 因此 对同一个的不同数值的个 数等于不同数值的因子的个数 一般幂函数的定义 利用对数函数 可以定义幂函数 设 是 任何复数 则定义 z 的 次幂函数为 当 为正实数 且 z 0 时 还规定 Ln 0 z wzez 由于 0 z a ln2 ln10 arg zk i wzeez 0 zwz 2 Zke ika 2时是正整数 当n 2 1 k i e 由于对数函数的多值性 幂函数一般是整个 复平面上的多值函数 不同数值的个数等于 不同因子的个数 0 arg 2 arg ln Ln zinnkziznznn ezeezw 是一个单值函数 3 1 时是正整数 当n n 2 arg ln Ln 111 kzizz nnn eezw 值函数 是一个n 1 2 1 0 2arg 1 nkez n kz n i 一般幂函数的基本性质 04时是 当 1 0Lnz00 eez 的整数 为互素与是有理数时 即 当 0 5 q qp q p pkizkziz qq p q p q p q p eeez 2ln 2 arg lnLnz 1 取 当为互素 所以不难看到与由于kqp 个不同的值 即这时 得到 qq 1 210 值的函数 时幂函数是一个q 6 当 是无理数或其它复数时 幂函数是 无穷多值函数 1 当 是无理数时 有 kizkziz eeez 2ln 2 arg lnLnz 0 abi b 2 当时 有 2 arg ln 2 arg lnLnz kzizbiakziz eeez ln arg2 ln arg2 azbzki bzazk e 例如 2 1 0 2 2 arg1 lnLni 2 keeei k kiiiii ikki eee 222ln2 22 arg2 ln2Ln222 2 2 1 0 k 2lnsin2ln cos2 2 ie k 22 ln1 22 arg2 ln1 Ln2 1 1 2 ikikiiii eee 22 ln 22 ln22ln22ln kikkiik ee 2 1 0 2 222 ke ik 上解析 幂函数在 0Re 0 Im 7 zzC 设在区域G内 我们可以把Lnz分成无穷个 解析分支 对于Lnz的一个解析分支 相应地 有一个单值连续分支 根据复合函数求导 法则 的这个单值连续分支在G内 解析 并且 其中应当理解为对它求导数的那个分支 lnz应当理解为对数函数相应的分支 z wz ln d1 d z wz e zzz z 在G内有无穷多个解析分支 是一个无穷值多值函数 时 对应于Lnz在G内任一解析分支 当 是整 数时 在G内有n个解析分支 当 是无理数或 虚数时 幂函数 z 1 m n n 既约分数 z z 在G内是同一解析函数 当 例如当n是大于1的整数时 称为根式函数 它是 n n zzw 1 n wz 0 z arg 2 arg 1 2 1 arg ln 1 2 1 ln 1 Zkzez eeeezw kz n i n ik n ziz n ik n z n n 的反函数 当 时 有 这是一个n值函数 在复平面上以负实轴 包括0 为割线而得的区 域D内 它有n个不同的解析分支 它们也可以记作 1 1 0 arg 2 arg 1 nkzezw kz n i n 这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值 与相 应的连续分支在该处所取的值一致 1 2 1 k n i nn ezw 幂函数的映射性质 略 关于幂函数当a为正实数时的映射性质 有下面 的结论 设是一个实数 并且 在z平面上取正实数轴 包括原点 作为割线 得到一个区域D 考虑D 内的角形 2 0 a 并取在D 内的一个解析分支 zAarg0 11 aa zw a zw 当z描出A内的一条射线时 让从0增加到 不包括0及 那么射线 l扫过角形A 而相应的射线扫过角形 0 arg zl 01 arg awl 0 1 l awA arg0 1 a 不包括0 w在w平面描出一条射线 因此 11 aa zw 1 A a a 把夹角为的角形双射成一个夹角为 的角形 同时 这个函数把A中以原点为心的 圆弧映射成中以原点为心的圆弧 类似地 我们有 当n 1 是正整数时 1 2 1 0 1 2 1 nkezw k n i nn n zw n k w n k 1 2 arg 2 的n个分支 分别把区域D 双射成w平面的n个角形 例1 作出一个含 i 的区域 使得函数 2 1 zzzw 2Arg 1Arg Arg 2 exp 2 1 2 1 zzz i zzzw 在这个区域内可以分解成解析分支 求一个分支 在点i的值 解 我们知道 可能的支点为0 1 2与无穷 具体分析见下图 结论 0 1 2与无穷都是支点 0 12 0 12 0 12 0 12 可以用正实数轴作为割线 在所得区域上 函数 可以分解成单值解析分支 同时 我们注意到 2 因此也可以用 0 1 与作割线 0 12 我们求函数下述的解析分支 在z i的值 6 1 2 1 iwzzzw w的两个解析分支为 1 0 2 1 2 arg 1 arg arg 2 2 1 kezzzw ikzzz i 如下图 2 1 arctan 2arg 4 3 1arg 2 arg i ii 所以 11 arctan arctan 232 42 1010 ii w iee 2 0 1 i 例2 验证函数 1 4 3 zzw 1 Arg 13Arg 4 4 13 zz i ezzw 在区域D C 0 1 内可以分解成解析分支 求出 这个函数在 0 1 上沿取正实值的分支 在z 1处的值及函数在 0 1 下沿的值 解 我们知道 0 1 增加变 所以 不 增加 2 arg 1arg 2arg w zz 0 1 增加变 所以 不 增加 2 3arg arg2 1arg w zz 结论 0 1是支点 无穷远点不是支点 回到同一个分支 增加 所以也增加 增加 24 232 arg2 1arg 2arg wzz 0 1 因此 在区域D C 0 1 内函数可以分解成解析 分支 若在 0 1 的上沿取正值 在w的四个解析