四点共圆.docx

。【四点共圆的性质及判定】判定定理1：若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径判定定理2：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆判定定理3：对于凸四边形ABCD，若对角互补，则A、B、C、D四点共圆.判定定理4：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于P，若PAPC=PBPD，则A、B、C、D四点共圆。判定定理5：割线定理的逆定理：对于凸四边形ABCD两边AB、DC的延长线相交于P，若PBPA=PCPD，则A、B、C、D四点共圆。托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和即：若四边形内接于圆，则有.例1：如图，在圆内接四边形ABCD中，A=60，B=90，AB=2，CD=1，求BC的长解：延长AB、DC相较于点PA=60PCB=60又PBC=90PC=2BC，PB=BC四边形ABCD是圆的内接四边形PAPB=PDPC（PB+AB）PB=（PC+CD）PC（BC+2）BC=（2BC+1）2BCBC=2-2例2：如图，正方形ABCD的面积为5，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF相交于P，求AP的长解：连接BF。DF=CE，CD=BC，CDF=BCECDFBCECFD=BECDCF+CFD=90DCF+BEC=90EPC=90又BAF=90EPC+BAF=180F、A、B、P四点共圆APBF=PFAB+AFPBCDFCPECD：CP=CF：CE=DF：PE5：CP=52：52= 52：PECP=1，PE=PF=CF-CP=-1= ，PB=BE-PE=-=2AP=5+ 522，AP=5例3：如图，四边形ABCD内接于O，CB=CD=4，AC与BD相交于E，AE=6，线段BE和DE的长都是正整数，求BD的长解:=BDC=DBCBAC=BDCBAC=DBC又ACB=BCEABCBECAC:BC=BC:EC(AE+EC):BC=BC:EC即(6+EC):4=4:ECEC=2AEEC=EBED即62=EBEDEBED=12线段EB和ED的长是正整数，且三角形两边之和大于第三边只能是EB=3，ED=4或EB=4，ED=3BD的长是7例4：如图，OQAB，O为ABC外接圆的圆心，F为直线OQ与AB的交点，BC与OQ交于P点，A、C、Q三点共线，求证：OA2=OPOQ证明：延长OF交O于E，连接AP、OBOFAB，AF=BFPA=PB又OA=OB，OP=OPAOPBOPAPO=BPOOFAB=AOF=AOB，又ACB=AOBAOF=ACBA、O、P、C四点共圆，OAQ=CPQCPQ=BPO，OAQ=BPO又APO=BPO，OAQ=APO又AOQ=POA，OAQOPAOA：OP=OQ：OA，OA2=OPOQ例5：如图，P是O外一点，PA与O切于点A，PBC是O的割线，ADPO于D，求证：PB：BD=PC：CD证明:过点B作BECD交PO于E,连接OA、OB、OCPA是O的切线，PAOA又ADPO，PA2=PDPOPA是O的切线，PA2=PBPCBECDBED=CDOBDE=BEDBD=BEBECDPB：BE=PC：CDPB：BD=PC：CDPDPO=PBPCB、C、O、D四点共圆，BDE=BCOOB=OC，BCO=CBO，BDE=CBO又CBO=CDO，BDE=CDO例6：如图，直线AB、AC与O分别相切于B、C两点，P为圆上一点，P到AB、AC的距离分别为6cm、4cm，求P到BC的距离解：连接PB、PC、ME、NEPMAB，PEBCPMB+PEB=180P、M、B、E四点共圆PME=PBEPMEPENPM：PE=PE：PNPE2=PMPNPE2=64=24PE=27同理可证P、N、C、E四点共圆NCP=NEPAC是圆的切线NCP=PBEPME=NEP同理可证PEM=PNE例7： 在半O中，AB为直径，直线CD交半圆于C、D，交AB延长线于M（MBMA，ACMD），设 K是AOC与DOB的外接圆除点O外的另一个交点，求证：MKO=90证明：连接BC、BK、CK、AD，则BMC=ACD-BAC =ABD-OKC =ODB-OKC =OKB-OKC =BKCB、M、K、C四点共圆MKO =MKB+OKB=MCB+ODB =BAD+ODB =ADO+ODB =90例8：如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，BAD=60，AC=a，求：四边形ABCD的面积（用a表示）解：ABCD是圆O的内接四边形ACBD=ABCD+ADBC解：ABCD是圆O的内接四边形ACBD=ABCD+ADBCAB=AD，BAD=60ABD是等边三角形AB=AD=BDACBD=BDCD+BDBCAC=BC+CDACB=ADB=60， ACD=ABD=60SABC=(1/2)ACBCsinACB =(1/2)ACBCsin60 SADC=(1/2)ACCDsinACD =(1/2)ACCDsin60S四边形ABCD=SABC+SADC=(1/2)ACBCsin60+(1/2)ACCDsin60 =(1/2)ACsin60(BC+CD) =(1/2)ACsin60AC =3a2/4【对应练习】一、选择题1、设ABCD为圆内接四边形，现给出四个关系式：(1)sinA=sinC； (2)sinA+sinC=0； (3)cosB+cosD=0； (4)cosB=cosD；其中总能成立的关系式的个数是( B )A、一个； B、两个； C、三个； D、四个；2、下面的四边形有外接圆的一定是( C )A、平行四边形； B、梯形； C、等腰梯形； D、两个角互补的四边形；3、四边形ABCD内接于圆，A：B：C=7：6：3，则D等于( B )A、36； B、72； C、144； D、54；4、如图1，在四边形ABCD中，AB=BC=AC=AD，AHCD于H，CPBC交AH于P，若，AP=1，则BD等于( C )A、； B、2； C、3； D、；5、对于命题：内角相等的圆内接五边形是正五边形；内角相等的圆内接四边形是正四边形。以下四个结论中正确的是( B )A、，都对； B、对，错；C、错，对； D、，都错；二、填空题6、如图2，ABC中，B=60，AC=3cm，则ABC的外接圆半径为 3cm 。7、如图3，ABC中，ACB=65，BDAC于D，CEAB于E，则AED= 65 ,CED= 25 。8、如图4，ABC中，AD是BAC的平分线，延长AD交ABC的外接圆于E，已知AB=，BD=，BE=，则AE= ac/b ，DE bc/a 。9、如图5，正方形ABCD的中心为O，面积为1989，P为正方形内一点，且OPB=45，PA：PB5：14，则PB= 42cm 。10、如图6，四边形ABCD内接于以AD为直径的圆中，若AB和BC的长度各为1，那么AD= 4 。（此题计算过于复杂！）三、解答题11、如图7，在ABC中，AD为高线，DEAB于E，DFAC于F。求证：B、C、F、E四点共圆。证法1：在ABD中，由射影定理得AD2=AEAB同理在ACD中，由射影定理得AD2=AFACAEAB =AEABB、C、F、E四点共圆证法2：连接EFDEAB，AED=90DFACAFD=90AED+AFD=180A、E、D、F四点共圆ADE=AFEEAD+B=90，EAD+ADE=90B=ADEB=AFEB、C、F、E四点共圆12、如图8，四边形ABCD内接于圆，AD、BC的延长线交于F，AB，DC的延长线交于E，EG平分AED交BC于M，交AD于G，FH平分AFB交AB于H，交CD于N。求证：EGFH。证法1：AGE=ADC+AED，AHF=ABC+AFBGKH=360-A-AGE-AHF=360-A-(ADC+AED)-(ABC+AFB)=360-A-(ADC+ABC)- (AED+AFB)=360-A-180- (AED+AFB)=180-A- (180-A-ADC+180-A-ABC)=180-A- 360-2A-(ADC+ABC)=180-A-180+A+180=90EGFH证法2：A、B、C、D四点共圆ECM=BAD又FGM=BAD+AEG=BAD+AEDFMG=ECM+DEG=ECM+AEDFGM=FMGFG=FM又AFH=BFHEGFH13、如图9， AB为圆的直径，AD、BC为圆的两条弦，且BD与AC相交于E。求证：ACAE+BDBE=AB2。证明：过点E作EFAB于F，则EFB=90，C=90EFB+C=180B、C、E、F四点共圆AEAC=AFABEFA=90，D=90EFA+D=90A、D、E、F四点共圆BEBD=BFAB+得AEAC+ BEBD= AFAB+ BFABAF+BF=ABAEAC+ BEBD=AB214、如图10，ABC内接于圆，P为BC上一点，PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F。求证：D、E、F三点共线。证明:连接BP、CP、DE、EFBDP=BEP=90B、D、E、F四点共圆DEP+DBP=180CEP=90，CFP=90CEP+CFP=180P、E、C、F四点共圆PCF=PEFA、B、P、C四点共圆PCF=DBPDBP=PEFDEP+PEF=180D、E、F三点共线对应练习的答案一、选择题1、(B)；因ABCD为圆内接四边形，故对角互补，即C180A，且A，C均不为0或180，(1)式恒成立，(2)式恒不成立。同样由D180B得，(3)式恒成立；(4)式只有BD=90时成立，故选(B)2、(C)；平行四边形及梯形都不能保证对角一定互补，而两个角互补的四边形，互补的两个有未必是对角。等腰梯形对角互补，故一定有外接圆。3、(B)；如图，因四边形ABCD为圆内接四边形，故对角互补，所以A+C180，又AC=73，设A7x，C=3x，x=18B=108又因B+D=180故D=724、(C)；由AB=AC=AD=BC知，B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，且由BAC=60，知的度数为60，BDC=30又ACP=30，BDC=ACP又CAP=CAD=CBP，BCDAPC 又AB=AC=3，AP=1BD=35、(B)；命题正确，证明如下：如图，ABCDE为圆内接五边形各内角相等。由A=B，知，BC=EA同理可证BC=DE=AB=CD=EAABCDE为正五边形命题不正确，反例如下：如图，ABCD为圆内接矩形，A=B=C=D=90，AB=CD，BC=DA，但，显然，ABCD满足命题的条件，但它不是正方形。二、填空题6、cm；根据正弦定理： (R为ABC的外接圆半径)，AC=3cm，B=60故R=cm7、65，25由已知，BDAC，CEABBEC=BDC=90，B、C、D、E四点共圆，又AED为四边形BCDE的外角，由圆内接四边形的性质知，AED=BCD=65，又CEA=90故DEC=258、由已知，A、B、E、C四点共圆，得EBC=EAC，又AD平分BAC，BAE=EAC，BAE=EBC且E=EABEBDE，即9、42；如图，连结OA，OB，由于O为正方形的中心，得OAB=45AOB=90 又OPB=45OPAB四点共圆，AOB=APB=90设PA=5x，PB=14x，在RtAPB中， 又正方形的面积为1989，1989 x=3则PB=14342。10、4；如图，连接AC，因AD为直径ACD=90又A、B、C、D四点共圆，B+D=180cosB=cosD=在ABC中，由余弦定理得： 即将AB=BC=1，代入并整理得：，即，即，AD=4(舍负)11、证明，如图，连接E、F，DEAB，DFAC，AED+AFD=180A、E、D、F四点共圆AEF=ADF 又ADBC，在RtADC与RtCDF中C=ADFC=AEF，而AEF为四边形BCFE的外角，B、C、F、E四点共