《线性代数》第五章相似矩阵及二次型精选习题及解答.pdf

第五章 相似矩阵及二次型 第五章 相似矩阵及二次型 5 1 目的要求 5 1 目的要求 1 要理解维实向量空间n n R的基与向量关于基的坐标的概念 会求一组基到另外一组 基的过渡矩阵 以及基变换后向量的坐标变换 2 要熟悉维欧式空间n n R中向量的内积运算及其性质 会求向量长度与向量间的夹角 3 要理解标准正交基的概念 会用施密特正交化方法由一组基求一组标准正交基 4 要熟悉正交矩阵及其性质 5 理解实二次型与实对称矩阵间的一一对应关系 熟练掌握二次型的矩阵表示 T f xx A x 其中 A T A 6 熟悉矩阵 A 合同 或相合 于 B 的定义 理解合同关系是等价关系 7 熟练掌握化二次型 T x Ax为平方和 标准形 或求实对称矩阵 A 的相合标准形的 3 种方法 正交变换法 配方法 和同型初等行 列变换法 8 了解惯性定理 会求矩阵A的正 负惯性指数和符号差 会求二次型的规范形 9 熟练掌握正定二次型 正定矩阵 的定义和判别方法 10 熟悉实对称矩阵A正定 二次型正定 的各种等价命题 正定的充要条件 11 理解A正定的必要条件 0 1 2 det 0 ii ainA L 12 会利用正交变换化二次型为标准型和极坐标平移方法判别一般二次曲线和曲面的类 型 5 2 重要公式和结论5 2 重要公式和结论 1 两向量内积计算公式 若 则它们 的内积为 1212 TT nn aaabbb LL 1 12 2 nn aba ba b L 性质有 1 对称性 2 线性性 kk 3 正定性 0 且 0 0 2 向量的长度计算公式 222 12 n aaa L 1 单位向量 1 性质有 1 正定性 0 且0 0 2 齐次性 kk 3 三角步等式 4 柯西 施瓦兹 Cauchy Schwarz 不等式 222 3 两向量的夹角计算公式 cos 0arc 4 两向量正交 0 5 向量组的有关结论 1 正交向量组必为线性无关组 2 若向量 与 12 s L 中的每个向量都正交 则 与 12 s L 的任一线性组合也正交 6 施密特 Schmidt 正交化法 把 12 r L 1 规范正交化 1 正交化 1 12 22 11 1 L 121 12 112211 rrrr rrr rr 1 L 2 单位化 12 12 12 r r r L 7 A是正交矩阵 1TT A AEAAA 的列向量是标准正交组的行向 量是标准正交组 A 8 方阵A的特征值与特征向量 1 满足0EA 的 值都是A的特征值 特征向量是非零向量 特征值问题只针 对方阵 特征值与特征向量不一定唯一 2 设阶方阵n ij Aa 的全部特征值为 12 n L 则有 12n A L 121122nn aaa n LL 3 阶方阵nA可逆的个特征值全不为零 A n 4 设 是A的特征值 则 1 是 1 A 的特征值 k 是的特征值 kA 1 A 是的特A 2 征值 m 是的特征值 m A 5 互异的特征值的特征向量线性无关 互异特征值对应的各自线性无关的特征向量并在 一块 所得的向量组仍然线性无关 6 阶方阵nA的任一重特征值 i t i 对应的线性无关的特征向量的个数不超过 i t 9 两个n阶方阵A B相似 即AB 可逆矩阵 使得 P 1 P APB 性质有 1 反身性 AA 2 对称性 ABBA 3 传递性 AB BCAC 4 mm R AR B AB AB AB AB 5 AB 且A可逆 11 AB 6 特 别 的 是 如 果 存 在 可 逆 矩 阵使 得P 11kk P APAPP 1 APP 7 与ABA B有相同的特征多项式 即有相同的特征值 10 相似对角化 若阶方阵nA的个特征值为n 12 n L 对应的n个线性无关的 特征向量为 12 n p p L p n Pppp LP 设 则可逆 且 12 1 21 n P AP O 11 阶方阵nA与对角矩阵 相似 则A有线性无关的特征向量 n 12 阶方阵nA有n个不同的特征值 则A可对角化 13 阶方阵nA的特征方程有重根 则此时不一定有个线性无关的特征向量 故不一 定能对角化 只有当有n个线性无关的特征向量时才可以对角化 n 14 对称矩阵 1 对称矩阵的特征值均为实数 2 对称矩阵的互异特征值对应的 特征向量正交 3 阶对称阵nA的任一重特征值 i t i 对应的线性无关的特征向量的个数 恰有个 4 阶对称阵 i tnA必有正交矩阵 使得P 1 P AP 15 利用正交矩阵将对称矩阵对角化的具体步骤 1 求A的全部特征值 2 由 3 0 iE A x 求出A的特征向量 3 将特征向量正交化 4 将特征向量单位化 16 二次型 1 一个二次型f和一个对称矩阵A一一对应 2 若存在可逆矩阵 使得P T P APB 则AB 3 ABR AR B AB 反身性 对称性 传递性 若 是对称阵 则 也是对称阵 4 对任意的二次型 1 n ijijijji i j fa x xaa 总有正交变换XPY 使f化为标准形 22 1122nn 2 fyyy L 其中 12 n L是f的矩阵 ij Aa 的特征值 5 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 a 将二次型表示成矩阵形式 T fx Ax 求出A b 求出A的所有特征值 12 n L c 求出对应于特征值的特征向量 12 n L d 将 特 征 向 量 12 n L 正 交 化 单 位 化 得 12 n L 记 12 n C L e 作正交变换xCy 则得f的标准形 22 1122nn 2 fyyy L 6 实二次型 T fx Ax 为正定的充要条件是它的标准形的所有系数全为正 7 对称阵A正定的所有特征值全为正 A 8 对称阵A正定的所有顺序主子式全为正 A 9 对称阵A负定的奇数阶顺序主子式为负 偶数阶顺序主子式为正 A 10 A为正定实对称阵 则 1 T AAA 均为正定矩阵 11 若A B均为n阶正定矩阵 则AB 也是正定矩阵 5 3 例题分析 5 3 例题分析 例 5 1 例 5 1 设是阶列向量 anE是阶单位矩阵 证明n T T 2 AEaa a a 是正交矩阵 4 证明 证明 先证明 然后根据正交矩阵的定义证明 T A A T AAE TTT TT 22 AEaaEaa a aa a Q T A TT TT 22 A AAAEaaEaa a aa a T TTT TTTT TTT TT2 TTTTT TTT TT 2222 44 00 44 T Eaaaaaaaa a aa aa aa a Eaaa a a a a aa a aa aa a a aa a aa A AEaaaaE a aa a Q 故 A是正交矩阵 例 5 2 例 5 2 已知向量是线性无关向 量组 求与之等价的正交单位向量组 1 2 3 1 1 0 0 1 01 0 1 0 0 1 TT T 解法一 解法一 先正交化 再单位化 1 取 11 2 令 21 k 2 使得 2 与 1 正交 121112 0k Q 12 11 k 1 2 故 T 11 22 2 1 0 3 令 31122 kk 3 且 3 与 2 1 正交 得 1322 12 1122 11 2 3 kk 故 T 111 333 3 1 3 4 将 12 单位化 得 T 1 1 1 22 0 0 22 5 T 2 2 2 666 0 663 T 3 3 3 3333 6662 解法二 解法二 同时进行正交化与单位化 1 取 T 1 111 1 22 0 0 22 2 令 21 k 2 使得 2 与 1 正交 得 12 2 2 k 故 T 11 22 2 1 0 2 2 2 666 0 663 T 3 3 令 31122 kk 且 3 与 2 1 正交 得 113222 26 26 kk 故 3 111 1 333 T 3 3 3 3333 6632 T 例 5 3 例 5 3 计算 3 阶矩阵的全部特征值和特征向量 324 202 423 A 解 解 第一步 计算A的特征多项式 2 324 22 8 1 423 fEA 第二步 求出特征多项式 f 的全部根 即A的全部特征值 令 0f 解之得 123 8 1 即为A的全部特征值 第三步 求出A的全部特征向量 当 1 8 求对应线性方程组 1 EA x0 的一组基础解系 6 即 化简求得此方程组的一组基础解系 123 123 123 5240 282 425 xxx xxx xxx 0 0 1 212 T 所以对于 1 8 的全部特征向量为 111 0kk 的实数 同理对 23 1 求相应线性方程组 2 EA x0 的一个基础解系 即 求解此方程组得一个基础解系为 123 123 123 424 22 424 xxx xxx xxx 0 0 0 2 1 0 1 2 1 2 0 于是A的属于 23 1 的全部特征向量为 22323 kkkk 3 是不全为零的实数 从而A的全部特征向量为 11223 kkk 3 例 5 4 例 5 4 设阶方阵nA的全部特征值为 12 n L 属于 i 的特征向量 i 求 的特征值与特征向量 1 P AP 解 解 首先 证明A与有相同的特征值 只需证明它们有相同的特征多项式 1 P AP 因为 1 11 PAP 1 fEP APP PP AP 1 A PEA PEAf 所以 12 n L 就是的全部特征值 1 P AP 其次 求的属于 1 P AP i 的特征向量 ii A i Q 即 ii EA0 又 111 iii i EPA PPPPA P 1 ii PEA P 111 iii EPA PPPEA P P 1 i 0 1 ii PEA 即 111 ii P AP PP i 故 1 i P 是属于 1 P AP i 的特征向量 例 5 5 例 5 5 设A是阶方阵 其特征多项式为 n 1 11 nn An0 fEAaaa L 7 求 1 求的特征多项式 2 当 T AA非奇异时 求 1 A 的特征多项式 解解 1 T TT A A fEAEAEAf 所以A与有相同的特征多项式 T A 2 设 12 n L 是A的全部特征值 则 11 12 n 1 L 是的全部特征值 故的特征多项式为 1 A 1 A 1 1 12 11 A n fEA 1 L 1 11 00 1 nn n aa aa L 0 a 例 5 6 例 5 6 设A是3阶方阵 它的3个特征值为 123 1 2 1 设 32 5BAA 求B 5AE 解 解 利用A的行列式与特征值的重要关系 12n A L来计算A 令 3 5 2 f xxx 因为 123 是A的全部特征值 所以 13 ii f 是 3 5 2 f AAA 的全部特征值 故 123 4 6 12 288Bf Afff 下面求5AE 方法一方法一 令 因为 5g AAE A的所有特征值为 123 1 2 1 所以 的所有特征值为 g A 12 ggg 3 故 5 1 1 2 72AEg Aggg 方法二方法二 因为A的所有特征值为 123 1 2 1 故1 1 22A 又 322 5 5 BAAAAE 所 以 2 5BAAE 且288B 所 以 288 57 4 AE 2 当k是A的特征值时 0 kEAkEA 不可逆 当k不是A的特征值时 0 kEAkEA 可逆 8 例 5 7 例 5 7 设A是阶方阵 1 若n 2 8AEEA 是否可逆 2 设 是A的 特征值 且1 AE 是否可逆 解解 1 因为 所以 2 AE A的特征值是 12 1 1 故8k 不是A的特征值 从而8可逆 EA 2 因为1 所以不是1 A的特征值 于是10 1 EAEA0 又 1 1 nEAEAEA 所以 0 1 1 nAEEAAEA E 即0AE 故 AE 可逆 例 5 8 例 5 8 设A是阶下三角阵 1 在什么条件下nA可对角化 2 如果 且至少有一 1122nn aaa L 0 0 00 0 i j aij 证明A不可对角化 解解 1 因为 11 2122 12 00 0 nnnn a aa A aaa L L MMOM L 所以 1122 Ann fEAaaa 令 0 A f 即 1122 nn aaa0 得A得所有特征值 1 iii ain 当 1 2 ij ij i jn L时 即 iijj aa 时 A可对角化 2 用反证法 若A可对角化 则存在可逆矩阵 P 使是 12 1 1 n i P APdiagin L A的特征值 由 1 可知 11iii aa 所以 11 111 11 11 a a P APa E a O 11 111111 AP a E Pa PPa E 这与至少有一个矛盾 故 0 0 00 0 i j ai jA不可对角化 例 5 9 例 5 9 设是对称阵 求正交变换T使为对角阵 220 212 020 A 1 TAT 解 解 第一步 求A得特征值 9 由 220 212 4 1 2 02 EA 0 得 123 4 2 1 第二步 由 iE A x0 求出A的特征向量 当 1 4 由得 4 0EA x 12 123 23 22 232 24 xx xxx xx 0 0 0 解得基础解系 1 2 2 1 当 2 1 由得 0EA x 12 13 23 20 220 20 xx xx xx 解得基础解系 2 2 1 2 当 3 2 由 2得 0EA x 12 123 23 42 2320 220 xx xxx xx 0 解得基础解系 3 1 2 2 第三步 将特征向量正交化 因为 123 是属于A的 3 个不同特征值的特征向量 故他们两两正交 第四步 将特征向量单位化 令 1 2 i i i i3 得 1 2 3 2 3 1 3 2 2 3 1 3 2 3 1 1 3 2 3 2 3 所以 令 221 1 212 3 122 T 则 1 400 010 002 TAT 例 5 10 例 5 10 用正交变换化 2 123132 2f xxxx xx 为标准形 解 解 第一步 将二次型表示成矩阵形式 1 1231232 3 001 010 100 T x f x xxx xxxx Ax x 得实对称矩阵 001 010 100 A 第二步 求出A的所有特征值 由 2 1 1 EA 0 得 123 1 1 10 第三步 解方程组 1 EA x0 得它的基础解系 1 1 0 1 2 0 1 0 因 为 12 0 所 有 1 与 2 正 交 把 它 们 单 位 化 得 1 1 1 1 2 0 1 2 2 2 2 0 1 0 解方程组 3 EA x0 得它的基础解系 3 1 0 1 单位得 3 3 3 1 2 0 1 2 因为 13 所以 3 与 12 正交 令T 123 则T为正交矩阵 且 为对角阵 1 100 010 001 TAT 第四步 作正交变换XTY 得 22 12 TTT2 3 fYT AT YYYyyy 例 5 11 例 5 11 用配方法化二次型为标准形 并求相应得线性变换 222 123123122313 210282f xxxxxxx xx xx x 解 解 第一步 将f中含 1 x的项集中进行配方 并作相应的线性变换 22 12311232323 2 2108 2 f xxxxxxxxxx x 2222 12323232 2108 3 xxxxxxxx x 222 123232 96 3 xxxxxx x 作线性变换 即 112 22 33 yxxx yx yx 3 1 YPX 且 1 111 010 001 P 11 222 1232 96 3 fyyyy y 第二步 将f中含 2 y的项集中进行配方 并作相应的线性变换 2222 12323123 96 3 2 fyyyy yyyy 令 11 22 33 3 zy 3 zyy zy 即 2 ZPY 且 1 100 013 001 P 于是 2 12 2 fzz 相应的线性变换为 221 ZPYP PX 5 4 独立作业 5 4 独立作业 5 4 1 基础练习 5 4 1 基础练习 1 1223 3 15 1 求 2 若 为可逆阵 的特征值 则 1 2 1 3 A 的一个特征值为 3 试证 阶方阵 的满足 2 AA 则 的特征值为 0 或者 1 4 已 知 三 维 向 量 空 间 中 正 交 试 求 12 1 1 1 121 TT 3312 使得是三维向量空间的一个正交基 5 已知向量 求 1 1 1 1 T 3 R的一个标准正交基 6 已知 问 A 能否化为对角阵 若能对角化 则求出可逆矩阵 P 使为对角阵 122 224 242 A 3 1 P AP 7 将二次型 222 12312132 171414448fxxxx xx xx x 通过正交变换xPy 化成标准型 8 判别二次型 222 123123121 323 55484f x x xxxxx xx xx x 是否正定 5 4 2 提高练习 5 4 2 提高练习 1 设 n 阶实对称矩阵 A 满足 2 AA 且 A 的秩为 r 试求行列式 det 2E A 12 2 设 问 A 能否对角化 若能对角化 则求出可逆矩阵P 使得 为对角阵 460 350 361 A 1 P AP 3 已知实对称矩阵 分别求出正交矩阵 P 使为对角阵 220 212 020 A 1 P AP 4 化二次型 123121 323 f x x xx xx xx x 为标准形 并求所作的可逆线性变换 5 设 A B 分别为 m 阶 n 阶正定矩阵 试判定分块矩阵 0 0 A C B 是否为正定矩阵 6 判别二次型 222 56444fxyzxyx z 的正定性 7 判断下列两矩阵 A B 是否相似 1 1100 1 11100 1 11100 n AB LL LL MMMMMM LL 第五章 参考答案 第五章 参考答案 5 4 1 基础练习 5 4 1 基础练习 1 181 cos 43 2 62 Q 2 3 4 3 略 4 设 则 3123 0 T xxx 1223 0 0 即 12313 3 1232 1 0 0 200 1 xxxxx xxxx 5 设非零向量 23 都与 2 正交 即满足方程 112 0 0 T xxxx 3 或者 其基础解 系为 令 12 10 0 1 11 12132 11 1 0 1 11 0 1 13 1 正交化 令 12 112212 11 11 1 0 11 132323 331232 112222 1 1 2 2 1 2 标准化 令 1 ii i 则 123 11 111 1 0 2 322 6 11 1 1 6 由 2 122 224 2 7 242 AE 得 123 2 7 0 0将代入 得方程组 12 2 1 A E x 0 123 123 123 22 244 2440 xxx xxx xxx 解值得基础解系 同理 对 由 12 20 0 1 11 3 7 3 A E x 0 求得基础解系 31 2 2 T 由于 201 0120 112 所以 123 线性无关 即 A 有 3 个线性无关得特征向量 因而 A 可对角化 可逆矩阵为 123 201 012 112 P 7 第一步 写出对应得二次型矩阵 并求其特征值 1722 2144 2414 A 2 1722 2144189 2414 AE 从而 A 的全部特征值为 123 9 18 第二步 求特征向量 将 1 9 代入 0AE x 得基础解系 1 1 2 1 1 T 14 将 23 18 代入 0AE x 得基础解系 23 2 1 0 2 0 1 TT 第三步 将特征向量正交化 取 11 22 23 33 22 2 得到正交向量组 1 1 2 1 1 T 23 2 1 0 2 5 4 5 1 TT 第四步 将正交向量组单位化 得正交矩阵 P 令 1 2 i i i i3 得 1 1 3 2 3 2 3 2 25 15 0 3 245 445 545 所以 1 325245 2 315445 2 30545 P 于是所求正交变换为 11 22 33 1 325245 2 315445 2 30545 xy xy xy 且有 222 12 91818 3 fyyy 8 123 f x x x的矩阵为 524 212 425 它的所有顺序主子式 5 0 52 10 21 524 2121 425 0 所以 123 f x x x是正定的 5 4 2 提高练习 5 4 2 提高练习 1 由可得 A 的特征值是 0 或者 1 又 A 是实对称阵且秩为 r 故 存在可逆矩阵 P 使得 2 A A 1 r 0 r 00 r E P APE 其中是 阶单位矩阵 从而 11 0 det 2 det 2 det 2 det2 02 rn r n r E EAPPP PE E 15 2 由 2 460 35012 361 AE 得AA 得全部特征值为 123 1 2 将 12 1 代入 0AE x 得方程组 12 12 12 360 36 36 xx xx xx 0 0 解之得基础解系 1 2 1 0 2 0 0 1 同理将 3 2 代入 0AE x 得方程组的基础解系 3 1 1 1 T 由于 123 201 1010 011 所以 123 线性无关 令 则有 123 201 101 011 P 1 100 010 002