中国石油大学(华东)__大学物理2-1_课后习题答案.doc

第一章习题解答1-3 一粒子按规律沿x轴运动，试分别求出该粒子沿x轴正向运动；沿x轴负向运动；加速运动；减速运动的时间间隔 解 由运动方程可得质点的速度 （1）粒子的加速度 （2）由式（1）可看出 当时，粒子沿x轴正向运动； 当 时，粒子沿x轴负向运动由式（2）可看出 当 时，粒子的加速度沿x轴正方向； 当 时，粒子的加速度沿x轴负方向因为粒子的加速度与速度同方向时，粒子加速运动，反向时，减速运动，所以，当或间隔内粒子加速运动，在间隔内里粒子减速运动1-4 一质点的运动学方程为， （S1）试求： （1）质点的轨迹方程;（2）在s时，质点的速度和加速度解（1） 由质点的运动方程 消去参数t，可得质点的轨迹方程 （2） 由（1）、（2）对时间t求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度 所以 （3） 所以 （4） 把代入式（3）、（4），可得该时刻质点的速度和加速度 1-5 质点的运动学方程为，其中 A、B、为正常数，质点的轨道为一椭圆试证明质点的加速度矢量恒指向椭圆的中心证明 由质点的运动方程 （1）（2）对时间t求二阶导数，得质点的加速度 所以加速度矢量为 可得加速度矢量恒指向原点椭圆中心1-6 质点的运动学方程为 （SI），试求：（1）质点的轨道方程；（2） 时质点的速度和加速度解 （1） 由质点的运动方程，可得 消去参数t，可得轨道方程 （2） 由速度、加速度定义式，有 将 代入上两式，得 1-7 已知质点的运动学方程为，其中r、c均为常量试求：（1）质点作什么运动?（2）其速度和加速度? （3）运动学方程的矢量式 解 （1） 质点的运动方程 由（1）、（2）消去参数t得 此方程表示以原点为圆心以r为半径的圆，即质点的轨迹在xoy平面上的投影为圆 由式（2）可以看出，质点以速率c沿z轴匀速运动综上可知，质点绕z轴作螺旋线运动（2） 由式（1）、（2）、（3）两边对时间t求导数可得质点的速度所以 由式（1）、（2）、（3）两边对时间求二阶导数，可得质点的加速度 所以 （3） 由式（1）、（2）、（3）得运动方程的矢量式1-8 质点沿x轴运动，已知，当s时，质点在原点左边52m处（向右为x轴正向）试求：（1）质点的加速度和运动学方程；（2）初速度和初位置；（3）分析质点的运动性质解 （1） 质点的加速度 又 所以 对上式两边积分，并考虑到初始条件得所以 因而质点的运动学方程为 （2） 将代入速度表达式和运动学方程，得（3） 质点沿轴正方向作变加速直线运动，初速度为8m/s，初位置为m.1-9 一物体沿x轴运动，其加速度与位置的关系为物体在处的速度为，求物体的速度与位置的关系 解 根据链式法则 对上式两边积分并考虑到初始条件，得 故物体的速度与位置的关系为 1-10 在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为，g为重力加速度，B为与物体的质量、形状及介质有关的常数设时物体的初速度为零（1）试求物体的速度随时间变化的关系式；（2）当加速度为零时的速度（称为收尾速度）值为多大?解 （1） 由得 两边分别积分，得 所以，物体的速率随时间变化的关系为： （2） 当时 有 （或以代入） 由此得收尾速率 1-11 一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向作谐振动，其加速，k为常数，y是离开平衡位置的坐标值设处物体的速度为，试求速度v与y的函数关系解 根据链式法则 对上式两边积分 即 故速度v与y的函数关系为1-12 一艘正以速率匀速行驶的舰艇，在发动机关闭之后匀减速行驶其加速度的大小与速度的平方成正比，即， k为正常数试求舰艇在关闭发动机后行驶了x距离时速度的大小解 根据链式法则 两边积分 化简得 所以 l-13 一粒子沿抛物线轨道运动，且知试求粒子在处的速度和加速度解 由粒子的轨道方程 对时间t求导数 （1）再对时间t求导数，并考虑到是恒量 （2）把代入式（1）得 所以，粒子在处的速度为与x轴正方向之间的夹角 由式（2）得粒子在处的加速度为加速度方向沿y轴的正方向1-14 一物体作斜抛运动，抛射角为，初速度为，轨迹为一抛物线（如图所示）试分别求抛物线顶点及下落点处的曲率半径解 物体在点的速度设为，法向加速度为，曲率半径为，由题图显然有 （1）=g （2） （3）联立上述三式得 物体B点的速度设为，法向加速度为，曲率半径为，由题图显然有 （4） （5） （6）联立上述三式得 1-15 一物体作如图所示的抛体运动，测得轨道的点A处，速度的大小为v，其方向与水平线的夹角为，求点A的切向加速度和该处的曲率半径解 设A点处物体的切向加速度为，法向加速度为，曲率半径为r，则由图知又 所以 1-16 在一个转动的齿轮上，一个齿尖沿半径为的圆周运动，其路程随时间的变化规律为，其中和都是正常量求时刻齿尖的速度及加速度的大小 解 设时刻齿尖的速率为，切向加速度，法向加速度，则 所以，时刻齿尖的加速度为1-17 火车在曲率半径R400m的圆弧轨道上行驶已知火车的切向加速度，求火车的瞬时速率为时的法向加速度和加速度解 火车的法向加速度 方向指向曲率中心 火车的总加速度 设加速度a与速度v之间的夹角为，则 1-18 一质点沿半径为的圆周运动，其角位置（1）在时，它的法向加速度和切向加速度各是多少?（2）切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时，值为多少?（3）何时切向加速度与法向加速度大小相等? 解 质点的角速度 质点的线速度 质点的法向加速度，切向加速度为 （1） （2）（1）把代入（1）式和（2）式，得此时（2）质点的总加速度由 得 解得 所以 （3）当即时有 1-19 河宽为d，靠河岸处水流速度变为零，从岸边到中流，河水的流速与离开岸的距离成正比地增大，到中流处为某人以相对水流不变的速率v垂直水流方向驶船渡河，求船在达到中流之前的轨迹方程解 取图示坐标系 已知 时，代入上式得所 （1）又 积分得 （2）代入（1）式得 积分得 （3）由（2）、（3）消去t得 第二章习题解答2-3 质量为m的子弹以速率水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。 解 设任意时刻子弹的速度为v，子弹进入沙土的最大深度为s，由题意知，子弹所受的阻力 f= - kv (1) 由牛顿第二定律 即 所以 对等式两边积分得 因此 (2) 由牛顿第二定律 , 即 所以 对上式两边积分 得到 即 2-4 质量为m的小球，在水中受到的浮力为F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为fkv(k为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v与时间的关系为证明 任意时刻t小球的受力如图所示，取向下为y轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 即 整理得 对上式两边积分 得 即 2-5 跳伞运动员与装备的质量共为m，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即。求跳伞员的运动速率v随时间t变化的规律和极限速率。解 设运动员在任一时刻的速率为v，极限速率为，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。 此时 即 有牛顿第二定律 整理得 对上式两边积分 得 整理得2-6 两个质量都是m的星球，保持在同一圆形轨道上运行，轨道圆心位置上及轨道附近都没有其它星球。已知轨道半径为R，求：(1)每个星球所受到的合力；(2)每个星球的运行周期。解 因为两个星球在同一轨道上作圆周运动，因此，他们受到的合力必须指向圆形轨道的圆心，又因星球不受其他星球的作用，因此，只有这两个星球间的万有引力提供向心力。所以两个星球必须分布在直径的两个端点上，且其运行的速度周期均相同(1)每个星球所受的合力(2) 设运动周期为T 联立上述三式得 所以，每个星球的运行周期 2-7 一种围绕地球运行的空间站设计成一个环状密封圆筒(像一个充气的自行车胎)，环中心的半径是1.8km。如果想在环内产生大小等于g的人造重力加速度，则环应绕它的轴以多大的速度旋转？这人造重力方向如何？解 由于人造重力即人在环内的惯性离心力，所以有 此人造重力的方向为沿着环的转动半径向外。2-8 一根线密度为的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面。现将手突然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离s时对桌面的瞬时作用力。解 链条对桌面的作用力由两部分构成：一是已下落的s段对桌面的压力，另一部分是正在下落的段对桌面的冲力，桌面对段的作用力为。显然 时刻，下落桌面部分长s。设再经过，有落在桌面上。取下落的段链条为研究对象，它在时间之内速度由变为零，根据动量定理 (1) (2) (3) 由(2)、(3)式得 故链条对桌面的作用力为 第三章习题解答3-4 质量为m=0.002kg的弹丸，其出口速率为300，设弹丸在枪筒中前进所受到的合力。开抢时，子弹在x=0处，试求枪筒的长度。解 设枪筒长度为L，由动能定理知 其中而，所以有： 化简可得： 即枪筒长度为0.45m。3-5 在光滑的水平桌面上平放有如图所示的固定的半圆形屏障。质量为m的滑块以初速度沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为，试证明：当滑块从屏障的另一端滑出时，摩擦力所作的功为 证明 物体受力：屏障对它的压力N，方向指向圆心，摩擦力f方向与运动方向相反，大小为 (1)另外，在竖直方向上受重力和水平桌面的支撑力，二者互相平衡与运动无关。由牛顿运动定律切向 (2)习题3-4图法向 (3)联立上述三式解得 又 以即 两边积分，且利用初始条件s=0时，得 即 由动能定理 ，当滑块从另一端滑出即时，摩擦力所做的功为 3-6 一质量为与另一质量为的质点间有万有引力作用。试求使两质点间的距离由增加到时所需要作的功。 解 万有引力 两质点间的距离由x增加到时，万有引力所作的功为故外力所作的功此题也可用功能原理求： 3-7 设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为，k为常数。若取无穷远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为r时的势能。解由势能的定义知r处的势能为: 3-8 设地球的质量为M，万有引力恒量为，一质量为m的宇宙飞船返回地球时，可认为它是在地球引力场中运动(此时飞船的发动机已关闭)。求它从距地心下降到处时所增加的动能。解 由动能定理，宇宙飞船动能的增量等于万有引力对飞船所作的功，而此功又等于这一过程中地球与飞船系统势能增量的负值，即： 3-9 双原子中两原子间相互作用的势能函数可近似写成，式中a、b为常数，x为原子间距，两原子的势能曲线如图所示。(1)x为何值时?x为何值时为极小值?(2)试确定两原子间的作用力；(3)假设两原子中有一个保持静止，另一个沿x轴运动，试述可能发生的运动情况。解 (1) 当=0时，有:即 或 习题2-32图故 (x)为极小值时，有 即 所以 (2)设两原子之间作用力为，则 在一维情况下，有 (3)由原子的受力情况可以看出可能发生的运动情况为:当x0，它们互相排斥，另一原子将远离；当xx2 时f(x)0，它们又互相吸引，另一原子在远离过程中减速，直至速度为零，然后改变方向加速靠近静止原子，再当x0，质点作初速度为零的加速运动，t=T/2时，a=0，速度达到最大；在t=T/2到t=T时间内，a0，故质点作减速运动，t=T时 a=0，速度达到最小，等于零；此后，质点又进行下一周期的相似运动。总之，质点作速度方向不变的变速直线运动。4-19 如图所示，将质量为 m的球，以速率射入最初静止于光滑平面上的质量为M的弹簧枪内，使弹簧达到最大压缩点，这时球体和弹簧枪以相同的速度运动。假设在所有的接触中无能量损耗，试问球的初动能有多大部分贮存于弹簧中?解 设地球和弹簧枪的共同速度为，将球体和弹簧枪看作一个系统，因为水平方向所受合外力为零，所以该系统在水平方向上动量守恒，且碰撞前后速度方向相同，故有 (1) 习题3-14 把球体、弹簧枪、地球看作一个系统，不考虑接触时的能量损失，则该系统的机械能守恒，所以贮存于弹簧中的能量 (2)联立以上两式得 4-20 角动量为L，质量为m的人造地球卫星，在半径为r的圆形轨道上运行，试求其动能、势能和总能量。 解 将人造地球卫星看作质点，因为卫星作圆周运动，所以，由知， 所以卫星的动能 选无穷远处为势能零点，由牛顿运动定律得: 所以 ,所以所以 4-21 如图所示，在水平光滑平面上有一轻弹簧，一端固定，另一端系一质量为m的滑块。弹簧原长为，倔强系数为k。当t0时，弹簧长度为。滑块得一水平速度，方向与弹簧轴线垂直。t时刻弹簧长度为L。求t时刻滑块的速度v的大小和方向(用角表示)。 解因为弹簧和小球在光滑水平面上运动，所以若把弹簧和小球作为一个系统，则系统的机械能守恒，即 (1)小球在水平面上所受弹簧拉力通过固定点，则小球对固定点角动量守恒，即 恒量故 (2)由(1)式得 代入(2)式得4-22 在核反应堆中，石墨被用作快速中子的减速剂，裂变产生的快中子的质量为1个原子质量单位(记作1u)，石墨原子质量为12u。若中子与石墨原子作弹性碰撞，试计算：(1)碰撞前后中子速率的比值，(2)碰撞过程中中子的能量损失多少?设碰撞前中子的动能为。解 设中子质量为，碰撞前后速度分别为；石墨原子质量为，碰撞后速度为。碰撞前后中子和石墨原子组成的系统动量守恒，在一维碰撞中，有： 此碰撞可看作完全弹性碰撞，所以有：化简上两式，得： 可解出 碰撞过程中中子损失的能量： 第五章习题解答5-2-1 如图所示的一块均匀的长方形薄板，边长分别为a、b中心O取为原点，坐标系如图所示设薄板的质量为M，求证薄板对Ox轴、Oy轴和Oz轴的转动惯量分别为 解 根据转动惯量的定义 对 取图示微元，有 同理对于 dmdrrROx5-2-2 一个半圆形薄板的质量为m、半径为R，当它绕着它的直径边转动时，其转动惯量是多大?解 建立坐标系，取图示面积元 ，根据转动惯量的定义有dlx5-2-3 一半圆形细棒，半径为R，质量为m，如图所示求细棒对轴的转动惯量解 建立图示的坐标系，取图示线元，根据转动惯量的定义式有 ryx5-2-4 试求质量为m、半径为R的空心球壳对直径轴的转动惯量 解 建立如图所示的坐标系，取一的球带，它对y轴的转动惯量又所以此即空心球壳对直径轴的转动惯量5-2-5 历史上用旋转齿轮法测量光速的原理如下：用一束光通过匀速旋转的齿轮边缘的齿孔A，到达远处的镜面反射后又回到齿轮上设齿轮的半径为5cm，边缘上的齿孔数为500个，齿轮的转速使反射光恰好通过与A相邻的齿孔B（1）若测得这时齿轮的角速度为600，齿轮到反射镜的距离为500 m，那么测得的光速是多大?（2）齿轮边缘上一点的线速度和加速度是多大?解 （1） 齿轮由A转到B孔所需要的时间所以光速 （2）齿轮边缘上一点的线速度 齿轮边缘上一点的加速度 5-3 一飞轮从静止开始加速，在6s内其角速度均匀地增加到200，然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制动，其角速度均匀减小又过了5s后，飞轮停止转动若该飞轮总共转了100转，求共运转了多少时间?解 分三个阶段进行分析 10 加速阶段由题意知 和 得 20 匀速旋转阶段 30 制动阶段 由题意知 联立得到 所以 因此转动的总时间 5-4 图示为一阿特伍德机，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳的两端分别系有质量为和的物体，且设定滑轮是质量为M，半径为r的圆盘，绳的质量及轴处摩擦不计，绳子与轮之间无相对滑动试求物体的加速度和绳的张力解 物体及滑轮M受力如图所示对取向下为正方向： （1）对取向上为正方向： （2）对取顺时针方向为正方向： （3）又 （4） （5） （6） （7）联立（1）-（7）式，解得 5-5 提示:第一步,角动量守恒;第二步,角动量定理5-6 一砂轮直径为，质量为，以的转速转动，一工件以200 N的正压力作用于轮子的边缘上，使砂轮在内停止转动求砂轮与工件间的摩擦系数（砂轮轴的摩擦可忽略不计，砂轮绕轴的转动惯量为，其中，m和R分别为砂轮的质量和半径）解 根据角动量定理， 联立上述四式得到 5-7 一飞船以角速度绕其对称轴自由旋转，飞船的转动惯量若宇航员想停止这种转动，启动了两个控制火箭它们装在距转轴的位置若控制火箭以的速率沿切向向外喷气，两者总共的排气率试问这两个切向火箭需要开动多长时间? 解 把飞船和喷出的气体当作研究系统在喷气过程中，时间内喷出的气体为，在整个过程中，喷出的气体的总角动量为 当飞船停止转动时，它的角动量为零由系统角动量守恒得 所以 所求的时间为 5-8 擦地板机圆盘的直径为D，以匀角速度旋转，对地板的压力为F，并假定地板所受的压力是均匀的，圆盘与地板间的摩擦系数为，试求开动擦地板机所需的功率（提示：先求圆盘上任一面元所受的摩擦力矩，而整个圆盘所受摩擦力矩与角速度的乘积即是摩擦力矩的功率）解 在圆盘上取一细圆环，半径r，宽度为dr，则其面积为此面积元受到的摩擦力为 所以此面元所受的摩擦力矩为 其方向与方向相反其大小 又因为各面元所受的摩擦力矩方向相同，所以整个圆盘所受的摩擦力矩为所以所需要的功率 5-9 如图所示，A、B两飞轮的轴可由摩擦啮合使之连结轮A的转动惯量，开始时轮B静止，轮A以的转速转动，然后使A与B连结，轮B得以加速，而轮A减速，直至两轮的转速都等于为止求：（1）轮B的转动惯量；（2）在啮合过程中损失的机械能是多少? 解 （1）以飞轮A，B为研究对象，在啮合过程中,系统受到轴向的正压力和啮合的切向摩擦，前者对轴的力矩为零，后者对轴的力矩为系统的内力矩，整个系统对转轴的角动量守恒，按角动量守恒定律，有而所以 在啮合的过程中，部分机械能转化为热能，损失的机械能为 第七章相关 本章无习题解答,以下题目仅供练习.个别题目与作业题相同.1 目前可获得的极限真空为，求此真空度下习题体积内有多少个分子?（设温度为27） 解 由理想气体状态方程 得 ， 故 2 使一定质量的理想气体的状态按图中的曲线沿箭头所示的方向发生变化，图线的段是以横轴和纵轴为渐近线的双曲线 （1）已知气体在状态时的温度是，求气体在B、C、D时的温度（2）将上述状态变化过程在 图（为横轴）中画出来，并标出状态变化的方向 解 （1）由理想气体状态方程，可得AB这一等压过程中则 K 因BC段为等轴双曲线，所以BC为等温过程，则 600 K CD为等压过程，则 K（2）3 有容积为V的容器，中间用隔板分成体积相等的两部分，两部分分别装有质量为m的分子 和个, 它们的方均根速率都是，求：（1）两部分的分子数密度和压强各是多少?（2）取出隔板平衡后最终的分子数密度和压强是多少?解 （1）分子数密度 由压强公式： 可得两部分气体的压强为 （2） 取出隔板达到平衡后，气体分子数密度为 混合后的气体，由于温度和摩尔质量不变，所以方均根速率不变，于是压强为： 4 在容积为的容器中，储有个氧分子，个氮分子，氢分子混合气体，试求混合气体在时的压强 解 由 则 Pa5 有刚性双原子理想气体，其内能为(作业7-3) （1）试求气体的压强（2）设有个分子，求分子的平均平动动能及气体的温度 解 （1）理想气体的内能 （1） 理想气体的压强 （2）由（1）、（2）两式可得 Pa（2）由 则 K又 J6 一容积为的电子管，当温度为300K时，用真空泵把管内空气抽成压强为的真空，问此时管内有多少个空气分子? 这些分子的总平动动能是多少? 总转动动能是多少? 总动能是多少?解 由理想气体状态方程得个总平均动能J将空气中的分子看成是由双原子刚性分子组成，总的转动动能为： J总动能 J 7 某些恒星的温度可达的数量级，在这温度下原子已不存在，只有质子存在试求：（1）质子的平均动能是多少电子伏? （2）质子的方均根速率是多少?解 质子只有3个平动自由度，所以其平均动能也就是它的平均平动动能eV质子的方均根速率为： 8 容器内某理想气体的温度，压强,密度为,求：（1）气体分子的方均根速率；（2）气体的摩尔质量，是何种气体?（3）气体分子的平均平动动能和转动动能； （4）单位体积内气体分子的总平动动能；（5）气体的内能设该气体有(作业7-5)解（1）由 所以 （2）气体的摩尔质量 所以该气体是或（3）气体分子的平均平动动能 气体分子的转动动能 （4）单位体积内气体分子的总平动动能（5）该气体的内能 9 容积为的容器以速率匀速运动，容器中充有质量为50g，温度为18的氢气设容器突然静止，全部定向运动的动能都转变为气体热运动的动能，若容器与外界没有热交换，达到平衡时氢气的温度增加了多少?压强增加了多少?氢分子视为刚性分子解 由能量守恒定律知又因 所以 由 10 一摩尔水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加了百分之几（不计振动自由度）?解 由水的分解方程知，1mol水蒸气分解为1mol氢气和mol氧气设温度为T，1mol水蒸气的内能 1mol氢气的内能 mol氧气的内能所以 所以内能增加的百分比为 11 求速度与最概然速率之差不超过最概然速率1%的分子数占分子总数的百分比解 根据题意，由麦克斯韦分布定律 又 所以 在附近， 12 速率分布函数的物理意义是什么?试说明下列各量的意义：（1） ；（2） ；（3） ；（4）；（5）答 表示在热力学温度T时，处于平衡状态的给定气体中，单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比（1） 表示某分子的速率在vv+dv间隔内的概率；或者说速率在vv+dv间隔内的分子数占总分子数的百分比；（2） 表示分子速率在vv+dv间隔内的分子数；（3） 表示分子速率在间隔内的概率，或者说该分子速率在间隔内的分子数占总分子数的百分比；（4） 表示分子速率在间隔内的分子数；（5） 无直接明显的物理意义，只能表示在间隔内分子对速率算术平均值的贡献13 由N个粒子组成的系统，其速率分布曲线如图所示，当时，求： （1）常数a；（2）速率大于和小于的粒子数；（3）分子的平均速率解 （1） 由归一化条件知曲线下的面积所以 得到 （2） v时，曲线下的面积 ，所以粒子数为 （3） 由图知 所以14 容积为 的容器中，储有的气体，其压强为求气体分子的最概然速率、平均速率及方均根速率解 设容器内气体分子总数为N，则有 该气体分子质量为 最概然速率为 平均速率为方均根速率15 质量为的粒子悬浮于27的液体中，观测到它的方均根速率为 （1）计算阿佛加德罗常数（2）设粒子遵守麦克斯韦分布律，求粒子的平均速率解 （1）由方均根速率公式 得到 阿佛加德罗常数为 （2） 而 所以 16 由麦克斯韦分布律求速率倒数的平均值 解 由麦克斯韦分布律所以 17 大气压强随高度的变化规律为拉萨海拔约3600m，设大气温度为27，而且处处相同，求拉萨的大气压是多少?空气的摩尔质量是海平面处大气压为1atm解 拉萨大气压强为 atm18 实验测得常温下距海平面不太高处，每升高10m，大气压约降低1mmHg，试用恒温度气压公式证明此结果（海平面处大气压按760 mmHg计，温度取273K）证明 因为大气压强随高度变化规律为 ,升高后大气压为所以 19 重力场中粒子按高度的分布为设大气中温度随高度的变化忽略不计，在27时，升高多大高度，大气压强减为原来的一半解 由知，当大气压强减为原来的一半时，由得，即 20 试计算空气分子在标准状况下的平均自由程和平均碰撞频率取分子的有效直径为，空气平均摩尔质量为 (作业7-9)解 平均自由程平均碰撞频率 21 一定量的理想气体贮于固定体积的容器中，初态温度为，平均速率为，平均碰撞频率为，平均自由程为若温度升高为时，求、和各是多少?解 平均速率 故当时， 平均碰撞频率 因为容器体积不变，分子数密度不变，所以 平均自由程 由于n不变，所以 22 设气体放电管中气体分子数密度为n 电子不断与气体分子碰撞，因电子速率远大于气体分子的平均速率，所以气体分子可以认为是不动的，设电子的“有效直径”比起气体分子的有效直径d来可忽略不计求电子与气体分子碰撞的平均自由程 解 因为电子的有效直径可以忽略不计，所以电子与气体分子碰撞的有效半径为，所以一秒钟时间内电子和其他分子碰撞的平均次数为所以平均自由程为 23 在质子回旋加速器中，要使质子在的路径上不和空气分子相撞，真空室内的压强应为多大?设温度为300K，空气分子的有效直径为，质子的有效直径可忽略不计，空气分子可认为静止不动 解 空气分子的有效直径为，因为质子的有效直径可以忽略不计，所以质子与空气分子碰撞的有效半径为，碰撞的有效面积为 按题意，要求在体积 最多有一个分子才能满足条件，所以单位体积内空气分子数为所以空气压强为 24 真空管的线度为，其中真空度为，设空气分子的有效直径为，求27时单位体积内的分子数，平均自由程和平均碰撞频率 解 由 知平均自由程 而真空管的线度为，所以分子间很难碰撞，空气分子只能与器壁碰撞，所以其自由程为 平均碰撞频率 由知 第八章 相关习题1 一系统由图示的状态经到达状态，系统吸收了320J热量，系统对外作功126J （1）若adb过程系统对外作功 42J，问有多少热量传入系统? （2）当系统由b沿曲线ba返回状态a，外界对系统作功84 J，试问系统是吸热还是放热? 热量是多少?解由热力学第一定律得 ;在过程中，在adb过程中，内能变化量与过程相同因此 在ba过程中 由于热量为负值，所以本过程中系统放热2 2mol氮气由温度为 300K，压强为Pa （1atm）的初态等温地压缩到 Pa（2atm）求气体放出的热量解 在等温过程中气体吸收的热量等于气体对外做的功，所以即气体放热为3 一定质量的理想气体的内能E随体积的变化关系为E- V图上的一条过原点的直线，如图所示试证此直线表示等压过程证明 设此直线斜率为k，则此直线方程为又E随温度的关系变化式为 所以 因此（为恒量）又由理想气体的状态方程知， （为恒量）所以 p为恒量，即此过程为等压过程4 2mol氧气由状态1变化到状态2所经历的过程如图所示：（1）沿lm2路径（2）12直线试分别求出两过程中氧气对外作的功、吸收的热量及内能的变化解 （1） 在1m2这一过程中，做功的大小为该曲线下的面积，氧气对外做负功 由气体的内能公式和理想气体的状态方程得对于氧气，所以其内能的变化为此过程吸收的热量为 （2）在从12过程中，由图知氧气对外作功为内能的变化吸收的热量 5 10mol单原子理想气体在压缩过程中外界对它作功209J，其温度上升1K，试求：（1）气体吸收的热量与内能的增量（2） 此过程中气体的摩尔热容量解 （1） 内能的增量为 气体吸收的热量 （2） 由气体摩尔热容量知 6 将压强为1atm，体积为的氧气（）从0加热到100试分别求在等体（积）过程和等压过程中各需吸收多少热量解 由理想气体状态方程 在等容过程中吸收的热量为 在等压过程中吸收的热量为 7 已知氩气的定体（积）比热为，若将氩气看作理想气体，求氩原子的质量（定体（积）摩尔热容）解 由定容摩尔热容量的定义知因此 氩原子的质量为 8 为测定气体的（）值有时用下列方法：一定量的气体的初始温度、体积和压强为、和，用一根电炉丝对它缓慢加热两次加热的电流强度和时间相同，第一次保持体积不变，而温度和压强变为和第二次保持压强不变，而温度和体积变为和试证明 证明 两次加热气体吸收的热量相同，等容过程吸收的热量为等压过程吸收的热量为 由 可得 所以 由理想气体状态方程 因此 所以得到 9 已知1mol固体的状态方程为，内能，式中、a、b、c均为常量，求该固体的、解 由热力学第一定律可得 （1） 由已知条件可得 （2） （3）将（2）、（3）代入（1）得 （4）在等压过程中，所以因此 在等容过程中 代入（2）式得 因此 代入（4）式得 所以 10 已知范德瓦尔斯气体的内能其中、a、为常数，试证明其绝热过程方程为证明 范德瓦尔斯气体的状态方程为 （1） 又由已知条件可得 （2） 绝热过程 ，由热力学第一定律得 （3）有（2）、（3）式可得 （4）由（1）式得 （5）将（5）代入（4）式有 整理得积分得 即 ,这就是范德瓦尔斯气体的绝热过程方程11 如图所示是氮气循环过程，求：（1）一次循环气体对外作的功；（2）循环效率解 （1） 一次循环过程气体对外作功的大小为闭合曲线所包围的面积，由图知，其包围的面积为该循环对外作功为正，所以 （2） 该循环过程中，从12，23为吸收热量过程12为等容过程，吸收热量为23为等压过程，吸收热量为因此吸收的总热量为 该循环的效率为 12 一理想气体的循环过程如图所示，其中ca为绝热过程，点 a的状态参量为，点b的状态参量为，理想气体的热容比为，求（1）气体在ab、bc过程中与外界是否有热交换? 数量是多少?（2）点c的状态参量；（3）循环的效率解 （1） ab过程是等温过程，系统吸收热量为 因，故该过程是吸热过程bc过程是等容过程，系统吸收热量为 因 ，故该过程是放热过程（2） 从图上可看到 又 ac为绝热过程，故根据绝热方程 又有 得到 （3） 13 图中闭合曲线为一理想气体的循环过程曲线，其中、为绝热线，为等体（积）线，为等压线，试证明其效率为式中、分别为、