同济大学概率论期末考题及答案.pdf

备用数据 0228 19 9 7004 2 9 2622 2 9 2 975 0 2 025 0 975 0 t 9878 0 25 2 一 填空题 18 分 1 已知随机事件BA 满足7 0 3 0 APBAP 则 ABP BAP 2 设一批产品中一 二 三等品各占 60 30 10 现从中随机地取出一件 结果发现取到的这件不是三等 品 在此条件下取到的这件产品是一等品的概率为 在此条件下取到的这件产品是二等品的概率 为 3 设 521 XXX 独立且服从相同的分布 1 0 1 NX 2 54 2 321 XX XXX cY 当常数c 时 Y服 从自由度为 的F分布 二 12 分 两台机床加工同样的零件 第一机床加工的零件的不合格品率为 5 第二台机床加工的零件的不合 格品率为 8 加工出来的零件放在一起 已知第一台机床加工的零件数量是第二台机床加工零件数量的两倍 现 从两台机床加工的零件中随机地抽取了一个零件 1 求抽到的这个零件是合格品的概率 2 若已知抽到的这个零件是不合格品 求它是由第二台机床加工的概率 三 16 分 设随机变量 21 XX的联合概率函数为 1 X 2 X 0 1 2 0 0 25 0 10 0 30 1 0 15 0 15 0 05 定义随机变量 max 21 XXZ 求 1 1 X和 2 X的边缘概率函数 2 Z的概率函数 3 1 ZX的联合概率函数 4 ZE ZD和 cov 1 ZX 四 16 分 设随机变量 X Y的联合密度函数为 其它 0 1 0 4 5 22 xyyx yxf 1 分别求 X Y的边缘密度函数 2 试问 X Y是否相互独立 请说明理由 3 求概率 1P XY 五 12 分 假定某电视节目在上海市的收视率为 20 有调查公司准备在上海市随机调查 8100 户居民家庭 记X 为被调查的 8100 户居民家庭中收看该电视节目的户数 1 用中心极限定理求概率 01 0 20 0 8100 X P的近似值 2 如果调查完成后发现 8100 户居民家庭中有 1458 户收看该电视节目 问 你会相信该电视节目在上海市的收 视率为 20 吗 请说明理由 六 14 分 设某种材料的抗压强度X服从正态分布 2 N 现对 10 个试验件做抗压试验 得到试验数据 1021 xxx 单位 公斤 2 m 并由此算出2124100 4600 10 1 2 10 1 i i i i xx 分别求 和 的置信水平 0 95 的双侧置信区间 七 12 分 设 n XXX 21 是取自总体X的简单随机样本 总体X服从正态分布 2 N 其 中 2 均未知 记 2 XE 1 分别写出 2 的极大似然估计量 2 求 的极大似然估计量 3 问 的极大似然估计量 是否为 的无偏估计 请说明理由 备用数据 22 0 990 9950 9950 0050 995 2 326 992 575 9966 510 99138 987 t 一 选择题 20 分 1 下列结论哪一个不正确 A设 A B 为任意两个事件 则 ABAB B若 AB 则 A B 同时发生或 A B 同时不发生 C若 AB 且 BA 则 AB D若 AB 则 A B 是不可能事件 2 设 X Y的联合概率函数为 X Y 0 1 2 3 0 0 125 0 25 0 125 0 1 0 0 125 0 25 0 125 则 1 13 0PYX 等于 A 5 8 1 2 B 3 4 C 7 8 D 2 ZXY 的概率函数为 A Z 0 1 2 3 4 概率 0 125 0 375 0 25 0 125 0 125 B Z 1 2 3 4 概率 0 375 0 25 0 25 0 125 C Z 1 2 3 4 概率 0 125 0 25 0 25 0 375 D Z 0 1 2 3 4 概率 0 125 0 25 0 25 0 25 0 125 3 如果 22 EYEX 且 X 与 Y 满足 D XYD XY 则必有 AX 与 Y 独立 BX 与 Y 不相关 0C D Y 0 D D X D Y 4 若 25 36 D XD Y X 与 Y 的相关系数 0 4 X Y 则 X Y的协方差 Cov X Y等于 5 A 10 B 12 C 36 D 二 12 分 设 X Y 为随机变量 且 3 0 0 7 P XY 4 00 7 P XP Y 求 1 min 0 PX Y 2 max 0 PX Y 三 10 分 一个男子在某城市的一条街道遭到背后袭击和抢劫 他断言凶犯是黑人 然而 当调查这一案件的 警察在可比较的光照条件下多次重新展现现场情况时 发现受害者正确识别袭击者肤色的概率只有 80 假定凶 犯是本地人 而在这个城市人口中 90 是白人 10 是黑人 且假定白人和黑人的犯罪率相同 1 问 在这位男子断言凶犯是黑人的情况下 袭击他的凶犯确实是黑人的概率是多大 2 问 在这位男子断言凶犯是黑人的情况下 袭击他的凶犯是白人的概率是多大 四 10 分 某商业中心有甲 乙两家影城 假设现有 1600 位观众去这个商业中心的影城看电影 每位观众随 机地选择这两家影城中的一家 且各位观众选择哪家影城是相互独立的 问 影城甲至少应该设多少个座位 才 能保证因缺少座位而使观众离影城甲而去的概率小于 0 01 要求用中心极限定理求解 五 16 分 设随机变量 X Y的联合密度函数为 2 01 0 xy f x y 其它 1 分别求 X Y的边缘密度函数 2 求 1 13 0 2 24 PXY 其中为未知参数 0 1 其它 1 求 的极大似然估计 2 记 1 求参数 的极大似然估计 3 问 在 2 中求得的 的极大似然估计是否为 的无偏估计 请说明理由 备用数据 1 11 0 8665 2 0 9772 95 0 645 1 22 0 9750 0250 975 8 2 31 8 2 18 8 17 50t 一 填空题 共 12 分 1 在 区 间 0 1 中 随 机 取 出 两 个 实 数YX 记 5 6 AXYBXY 则 AP BP 2 设随机变量X和Y相互独立 填写下表 随机变量 YX的联合概率函数和边缘概率函数 X Y 1 y 2 y 3 y ii pxXP 1 x 2 x 0 25 0 125 0 5 jj pyYP 1 3 设随机变量YX 的数学期望均为 5 方差均为 4 YX 的相关系数为 0 5 则 YXD 由 切比雪夫不等式得到 8YXP 二 选择题 12 分 每小题 4 分 将答案填在 内 1 设1 0 1 0 BPAP 且 1 BAPBAP 则下列选项中必定成立的是 A 事件A和事件B互不相容 B 事件A是事件B的对立事件 C 事件A和事件B不独立 D 事件A和事件B相互独立 2 对任意常数 baba 已知随机变量X满足 P XaP Xb 记 bXaPp 则下列随机变 量中不服从 2 分布的是 A 2 43 2 2 2 32 13 11 XXX B 2 4 2 21 2 56 61 11 XXX C 2 43 2 21 2 34 45 1 23 13 11 XXXX D 2 43 2 21 2 34 25 1 2 5 11 XXXX 三 10 分 在一个袋中有 15 个相同的乒乓球 球上分别写有 1 2 15 甲 乙两人先后从袋中不放回地 取出一个球 1 求甲取到的球上的数字是 3 的倍数的概率 2 若已知甲取到的球上的数字是 3 的倍数 求乙取到的球上的数字大于甲取到的球上数字的概率 四 12 分 设随机变量X和Y相互独立且服从相同的分布 X服从区间 0 2 上的均匀分布 记 ZXY 1 求Z的密度函数 f z 2 求 ZE和 ZD 五 16 分 设随机变量 X Y的联合密度函数为 其他 0 1 0 2 xyxk yxf 1 求常数k 2 分别求 X Y的边缘密度函数 3 求条件密度函数 1 4 Y XX Y fy xfx 六 12 分 某汽车销售点每天售出的汽车数服从参数为 2 的泊松分布 若一年 365 天这个销售点都经营汽车销售 且每天出售的汽车数相互独立 试用中心极限定理求该汽车销售点一年中售出的汽车数大于 700 辆的概率 七 12 分 设某种新型塑料的抗压力X服从正态分布 2 N 现 对 9 个试验件做压力试验 得到试验数据 单 位 10MPa 并由此算出样本均值和样本方差分别为 2 457 36xs 分别求 和 的置信水平 0 95 的双侧 置信区间 八 14 分 某车间生产了一批产品 现要估计这批产品的不合格率p 随机抽取了容量为 n 的样本 12 n XXX 这里 件产品为合格品 取到的第 件产品为不合格品 取到的第 i i Xi 0 1 1 求p的极大似然估计量 p 2 问 p的极大似然估计量 p 是否为p的无偏估计量 请说明理由 3 若抽查了这批产品中的 100 件 发现其中只有 92 件合格品 求这批产品的不合格率p的极大似然估计值 备用数据 0 833 0 80 1 645 0 95 22 0 950 050 95 9 1 8331 9 3 325 9 16 919t 一 填空题 共 18 分 每小题 6 分 1 已知8 0 6 0 5 0 ABPBPAP 则 ABP BAP P AB 2 设随机变量X的概率密度为 其它 0 1 0 5 4 xx xf 则使得 aXPaXP成立的常数 a XYln2 的密度函数为 yfY 3 设 12 n XXX 相互独立且服从相同的分布 n i i X n XXDXE 1 11 1 3 1 则由切比雪夫不等式可 得 11XP n i i X n 1 2 1 以概率收敛于 二 选择题 12 分 1 对于任意二个随机事件BA 则下列选项中必定成立的是 A 若 AB 则事件A和事件B相互独立 B 若0 ABP 则事件A与事件B互不相容 C 若0 AP 则事件A和事件B相互独立 D 若 AB 则事件A和事件B不相互独立 2 对于任意二个随机事件BA 其中1 0 APAP 则下列选项中必定成立的是 A ABPABP 是BA 独立的充分必要条件 B ABPABP 是BA 独立的充分条件非必要条件 C ABPABP 是BA 独立的必要条件非充分条件 D ABPABP 是BA 独立的既非充分条件也非必要条件 3 设随机变量X的概率密度函数为 xexf x 2 则X的分布函数是 A 0 1 0 5 0 2 x xe xF x B 0 5 01 0 5 0 2 2 xe xe xF x x C 1 1 01 5 01 0 5 0 2 2 x xe xe xF x x 三 10 分 在某外贸公司出口罐头的索赔事件中 有 50 是质量问题引起的 有 30 是数量短缺问题引起的 有 20 是包装问题引起 又已知在质量问题引起的索赔事件中经协商解决的占 40 数量短缺引起的索赔事件中经协 商解决的占 60 包装问题引起的索赔事件中经协商解决的占 75 现在该公司遇到一出口罐头的索赔事件 1 求该索赔事件经协商解决的概率 2 若已知该索赔事件最终经协商解决 求该索赔事件不是由于质量问题引起的概率 四 12 分 设随机变量X的概率函数为25 0 1 1 XPXP 5 0 0 XP 随机变量Y服从 1 1 3 B 且 1 0 XYP 1 求 X Y的联合概率函数 2 求 XYE和 cov YX 3 问 YX 是否相互独立 YX 是否不相关 请说明理由 五 14 分 设随机变量 X Y的联合密度函数为 6 02 04 0 kxyxy f x y 其他 1 求常数k 2 分别求 X Y的边缘密度函数 3 问 YX 是否相互独立 请说明理由 4 求 4 YXP 六 10 分 设某出租汽车公司有 3600 辆出租车 每辆车明年需大修的概率为 0 36 各辆车每年是否需要大修是 相互独立的 记X表示明年该公司需大修的车辆数 求概率 13201272 XP的近似值 要求用中心极限定 理求解 七 10 分 设某厂生产的运动饮料的体积X 单位 毫升 服从正态分布 2 N 现随机抽取 10 瓶这种饮 料 测得其体积 1021 xxx 单位 毫升 并由此算出 1010 2 11 6000 36