湖北省武汉市华科附中、育才高中、19中、吴家山中学2018_2019学年高一数学下学期期中联考试题.docx

湖北省武汉市华科附中、育才高中、19中、吴家山中学2018-2019学年度高一下期中联考数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.+化简后等于A. B. 3C. D. 【答案】A【解析】+=+ ，故选A2.已知数列则是它的第（ ）项.A. 19B. 20C. 21D. 22【答案】C【解析】试题分析：观察式子,其中根式里面的数字为以6为公差的等差数列.而 ，所以答案为C.考点：等差数列3.已知是等差数列 的前 项和， ，则 =（）A. 20B. 28C. 36D. 4【答案】B【解析】【分析】结合等差数列的性质和得出，利用等差数列前项和公式解出。【详解】 故选B【点睛】本题考查了等差数列的角标之和的性质，属于基础题。4.已知中，满足，则这样的三角形有A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理和三角形的边角关系，即可判断这样的三角形的个数，得到答案.【详解】由题意，在中，满足，.所以这样的三角形有2个，故选C.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理判定三角形的个数问题，其中解答中合理利用正弦定理和三角形的边角关系是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.在中，则（ ）A. 或B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三角形面积公式可得，进而可得解.【详解】在中，,，可得，所以，所以【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，属于基础题.6.在中，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过解直角三角形得到，利用向量三角形法则及向量共线的充要条件表示出利用向量共线的充要条件表示出，根据平面向量就不定理求出，值【详解】中，又所以为AD的中点故选：D【点睛】本题考查解三角形、向量的三角形法则、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理7.已知等差数列的各项均为正数，且成等比数列，若，则A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】A【解析】【分析】设等差数列公差为，由题意知，由，成等比数列列式求得公差，再由等差数列的通项公式求得【详解】设等差数列公差为，由题意知，成等比数列， ，即，解得或（舍去），则故答案为：A【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础题8.已知向量、，满足，且，则在上的投影为A. B. C. D. 4【答案】C【解析】【分析】根据可得，进而可求出，利用投影公式即可得结果.【详解】，；又；在上的投影为故选：C【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量的数量积运算，向量投影的计算公式，属于基础题.9.已知非零向量 和满足，且，则为（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 三边均不相等三角形【答案】A【解析】即方向上的单位向量，即方向上的单位向量，向量在的平分线上，由可知，由，所以三角形为等边三角形.点睛：本题主要考查向量的数量积运算，考查两个向量数量积为零的几何意义，考查三角形形状的判断.首先要知道即方向上的单位向量这一概念，由此得到向量在的平分线上，根据数量积为零可知角平分线和垂直也即三角形为等腰三角形，再根据向量数量积运算得到夹角为，由此推出三角形为等边三角形.10.在等差数列中，已知，且，则中最大的是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质可判断出a60，a70，从而可得和取最大值时的条件【详解】等差数列an中，a3+a100，a6+a7a3+a100，S110，a1+a110，a1+a112a60，a60，a70，则当n6时，Sn有最大值故选：B【点睛】本题考查了等差数列的性质与求和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11.等比数列的各项均为正数，已知向量，且，则A. 12B. 10C. 5D. 【答案】C【解析】【分析】利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出【详解】向量（，），（，），且4，+4，由等比数列的性质可得：2，则log2（）故选：C【点睛】本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题12.在中，内角，所对应的边分别为，若，且，则（ ）A. B. C. 2D. 0【答案】D【解析】【分析】由，利用正弦定理可得，由求得，由两角和的余弦公式可得，由两角差的余弦公式可得，可得，从而可得结果.【详解】因为，所以，由正弦定理可得，即，因为 ，因为，所以，所以，又因为，所以，所以，故选D.【点睛】本题主要考查两角和与差的余弦公式，以及正弦定理的应用，属于难题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，若向量与向量共线，则实数k的值为_【答案】【解析】【分析】先由，得出向量的坐标表示，再由向量与向量共线，即可求出结果.【详解】因为向量，所以；又，向量与向量共线，所以，解得.故答案为【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记共线向量定理即可，属于基础题型.14.在锐角三角形ABC中，已知内角 所对的边分别为， ，则 _【答案】【解析】【分析】由得到,利用平方关系得到。【详解】， 即 【点睛】本题考查了正弦定理涉及同角三角函数的基本关系，关键在于三角形的面积表示，属于基础题。15.数列满足 ，则=_.【答案】【解析】【分析】在满足的关系式中，设，则左式即为的前项和，由此可以利用数列的项与和的关系，求得，进一步求得，得到结果.【详解】令，因为 ，所以有，两式相减得，所以，故答案是：64.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有数列的和与项的关系，整体思维的运用，属于简单题目.16.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为a，在线段上取两个点，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，现给出有关数列的四个命题：数列是等比数列；数列是递增数列；存在最小的正数，使得对任意的正整数 ，都有 ；存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有其中真命题的序号是_（请写出所有真命题的序号）.【答案】【解析】【分析】通过分析图1到图4，猜想归纳出其递推规律，再判断该数列的性质，即可求解。【详解】由题意，得图1中线段为，即；图2中正六边形边长为，则；图3中的最小正六边形边长为，则；图4中的最小正六边形边长为，则；由此类推，所以为递增数列，但不是等比数列，即错误，正确；因为，即存在最大正数，使得对任意的正整数，都有，即正确；错误，综上可知正确的由。【点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论。三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量（1）若，求k的值；（2）求与夹角的余弦值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）用坐标表示出，利用向量垂直的坐标运算即可得出k的值.（2）分别计算出， ，再代入数量积的公式，即可得出与夹角的余弦值。【详解】（1）；（2），；=【点睛】本题考查了向量的坐标运算，要掌握向量垂直的性质以及向量夹角的求法，在解题的过程中，要注意向量坐标不要算错。18.已知数列an是等差数列，首项a1=1，且a3+1是a2+1与a4+2的等比中项（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和Sn【答案】（1）an=2n-1；（2）【解析】【分析】（1）设出数列的公差为d,根据等比中项列出等式，得到公差，即可得到通项公式；（2）利用裂项相消求和法可得结果.【详解】（1）设数列an的公差为d，a1=1，且a3+1是a2+1与a4+2的等比中项，可得（a3+1）2=（a2+1）（a4+2），即（2+2d）2=（2+d）（3+3d），解得d=2或d=-1，当d=-1时，a3+1=0，a3+1是a2+1与a4+2的等比中项矛盾，舍去d=2，a1=1数列an的通项公式为an=2n-1；（2），前n项和Sn=1-+-+-=1-=【点睛】本题考查等差数列基本量的运算和等比中项的概念，考查裂项相消求和法的应用，属于基础题.19.如图，在平行四边形ABCD中，M为DC的中点，设（1）用向量表示向量；（2）若，与的夹角为，求的值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量线性运算即可得到。（2）利用（1）的结论和数量积的公式计算得出的值。【详解】（1）因为在平行四边形ABCD中，M为DC中点，又，故=，=，= = （2）= = +=故答案为：-【点睛】用已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基本功，应充分运用平面几何的一些定理，在求向量时要尽可能地转化到平行四边形或三角形中，把未知向量转化为已知有直接关系的向量进行求解。20. 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由【答案】（1）当t时，Smin10，此时v30（2）航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇【解析】试题分析：（1）设相遇时小艇的航行距离为海里，则由余弦定理得，再由二次函数的性质求得最值；（2）根据题意，要用时最小，则首先速度最高，即为海里/小时，然后是距离最短，则，解得，再解得相应角试题解析：（1）设相遇时小艇的航行距离为海里，则故当时，即小艇以海里/小时的速度航行，相遇小艇的航行距离最小（2）设小艇与轮船在处相遇.则，故，即，解得又时，故时，取得最小值，且最小值等于此时，在中，有，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时考点：函数模型的选择与应用21.在中，内角、的对边分别是、，且.（1）求的值；（2）若向量，当取得最大值时，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知利用正弦定理可求a2+c2b2，进而利用余弦定理可求cosB的值，即可得解B的值（2）利用平面向量数量积的运算和三角函数恒等变换的应用可求结合已知可求sinA的值，利用正弦定理即可得解b的值【详解】（1）因为中，所以变形为.由正弦定理得：.由余弦定理得：，又因为，.（2）因为，所以当时，取得最大值，此时，由正弦定理得.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，平面向量数量积的运算和三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题22.