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第一章行列式 线性代数 1 1 1二阶与三阶行列式 第一章行列式 1 3n阶行列式的定义 1 2全排列及其逆序数 1 4对换 1 5行列式的性质 1 6行列式的展开 1 7克拉默法则 2 1 1二阶与三阶行列式 行列式 determinant 的历史 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中 十七世纪莱布尼茨的著作中已使用行列式来确定线性方程组解的个数及形式 十八世纪开始 行列式开始作为独立的数学概念被研究 十九世纪以后 行列式理论进一步得到发展和完善 3 莱布尼茨 历史上少见的通才 被誉为十七世纪的亚里士多德 在数学上 他和牛顿先后独立发明了微积分 在哲学上 莱布尼茨的 乐观主义 最为著名 他对物理学的发展也做出了重大贡献 由于莱布尼茨曾在德国汉诺威生活和工作了近四十年 为纪念他和他的学术成就 2006年7月1日 也就是莱布尼茨360周年诞辰之际 汉诺威大学正式改名为汉诺威莱布尼茨大学 4 一 二元线性方程组与二阶行列式 1 二元线性方程组 5 这样就有 6 称为二阶行列式 2 二阶行列式 即二阶行列式表示为 行列式中的相关术语 行列式的元素 行 列 主对角线 副对角线 7 对角线法则 a12a21 a11a22 二阶行列式是主对角线上两元素之积减去的副对角线上二元素之积所得的差 8 例1 求解二元线性方程组 解 9 二 三阶行列式 1 三阶行列式的定义 设有9个数排成3行3列的数表 用符号 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 并称它为三阶行列式 代表代数和 10 2 行列式中的相关术语 行列式的元素 行 列 主对角线 副对角线 3 三阶行列式的计算 对角线法则或沙路法则 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 11 例2 计算三阶行列式 1 2 3 224 41 2 D 按对角线法则 有 解 4 2 3 4 2 4 D 1 2 2 2 1 3 1 1 4 2 2 2 14 12 即x2 5x 6 0 解 方程左端的三阶行列式 x2 5x 6 D 3x2 4x 18 9x 2x2 12 x 2或x 3 值得注意的是 四阶及四阶以上行列式没有像二 三阶行列式那样的对角线法则 13 1 2全排列及其逆序数 依次选定百位数 十位数 个位数 引例 用1 2 3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数 解 百位数有3种选法 十位数有2种选法 个位数有1种选法 所以可以组成6个没有重复数字的三位数 321 这6个三位数是 123 132 231 213 312 14 我们把n个不同的对象 称为元素 排成一列 叫做这n个元素的全排列 简称排列 n个不同元素的所有排列的总数 通常用Pn表示 Pn的计算公式 Pn n n 1 n 2 3 2 1 n 1 全排列 举例 由a b c组成的所有排列为 cba cab bca bac acb abc abb是排列吗 15 在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同 就说有1个逆序 2 标准排列 在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列 3 逆序与逆序数 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数 16 在排列p1p2 pn中 如果pi的前面有ti个大于pi的数 就说元素pi的逆序数是ti 4 逆序数的计算 排列的逆序数为 举例 在排列32514中 t5 1 t4 3 t3 0 t2 1 t1 0 排列32514的逆序数为t 0 1 0 3 1 5 标准排列12345的逆序数是多少 17 例 P26 练习2 5 求排列 13 2n 1 24 2n 的逆序数 解 13 2n 1 24 2k 2n 18 举例 逆序数为奇数的排列叫做奇排列 5 奇排列与偶排列 排列32514的逆序数是5 它是奇排列 标准排列12345的逆序数是0 它是偶排列 逆序数为偶数的排列叫做偶排列 19 1 3n阶行列式 观察与想考 为了给出n阶行列式的定义 我们先研究三阶行列式的结构 1 三阶行列式结构 20 1 行列式右边任一项除正负号外可以写成 三阶行列式的结构 其中p1p2p3是1 2 3的某个排列 2 各项所带的正负号可以表示为 1 t 其中t为列标排列的逆序数 三阶行列式可以写成 其中t为排列p1p2p3的逆序数 表示对1 2 3三个数的所有排列p1p2p3取和 共6种 21 二 n阶行列式的定义 定义 由n2个数aij i j 1 2 n 构成的代数和 称为n阶行列式 记为 简记为det aij 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 表示对所有排列p1p2 pn取和 22 特别规定一阶行列式 a 的值就是a 在n阶行列式D中 数aij为行列式D的 i j 元 23 例6 证明行列式 说明 此行列式称为左下三角形行列式 证明 因为它的列标排列为标准排列 其逆序数为0 所以在它前面带有正号 要使取自不同行不同列的n个元素的乘积不为零 第一行只能取a11 第二行只能取a22 第三行只能取a33 第n行只能取ann 这样的乘积项只有一个 即a11a22a33 ann 因此 D a11a22a33 ann 24 25 说明 下面六种特殊三角形行列式的值可作为结论用 即当将某个行列式化成上述六个行列式之一时 则该行列式的值即可得到 左下三角形行列式 右上三角形行列式 26 主对角行列式 副对角行列式 27 右下三角形行列式 左上三角形行列式 28 1 4对换 在排列中 将任意两个元素对调 其余的元素不动 就得到另一个排列 这种对排列的变换方法称为对换 将相邻两个元素对换 叫做相邻对换 对换 举例 在排列21354中 对换1与4 排列21354的逆序数是2 经过对换 排列的奇偶性发生了变化 得到的排列是24351 排列24351的逆序数是5 29 这是因为 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数 而标准排列是偶排列 因此知推论成立 定理1 1一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性 推论奇排列变成标准排列的对换次数为奇数 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数 30 其中t为行标排列p1p2 pn的逆序数 n阶行列式也可定义为 定理1 2 31 1 5行列式的性质 将行列式D的行变为列后得到的行列式称为D的转置行列式 记为DT a11a12 a1n a21a22 a2n an1an2 ann 即 一 行列式的转置 32 则bij aji i j 1 2 n 显然 如果 33 二 行列式的性质 性质1行列式与它的转置行列式相等 即 D DT 性质2互换行列式的两行 列 行列式反号 推论若行列式有两行 列 完全相等 则此行列式等于0 性质3行列式的某一行 列 中所有元素都乘以同一个数k 等于用数k乘以此行列式 推论行列式的某一行 列 中所有元素的公因子可以提到记号的外面 34 性质4行列式中若有两行元素对应成比例 则此行列式为零 性质5若行列式的某行 列 的元素都是两个数之和 如第i行的元素都是两数之和 35 则D等于下列两个行列式之和 36 性质6把行列式某一行 列 的各元素乘以数k 加到另一行 列 对应的元素上去 行列式不变 即 37 性质1行列式与它的转置行列式相等 D DT 性质2互换行列式的两行 列 行列式反号 推论若行列式有两行 列 完全相等 则此行列式等于0 行列式的性质总结 38 性质3行列式的某一行 列 中所有元素都乘以同一个数k 等于用数k乘以此行列式 推论行列式的某一行 列 中所有元素的公因子可以提到记号的外面 性质4行列式中若有两行元素对应成比例 则此行列式为零 39 性质5若行列式的某行 列 的元素都是两个数之和 则行列式可以写成两个行列式之和 推论若行列式某一行 列 的元素都是m 2 个数的和 则此行列式可以写成m个行列式之和 性质6把行列式某一行 列 的各元素乘以数k 加到另一行 列 对应的元素上去 行列式不变 以数k乘第j行加到第i行上 记作ri krj 以数k乘第j列加到第i列上 记作ci kcj 40 在计算行列式时 可以使用如下记号以便检查 1 符号规定 第i行 或列 提出公因子k 记作ri k 或ci k 交换i j两行记作ri rj 交换i j两列记作ci cj 以数k乘第j行 列 加到第i行 列 上 记作ri krj ci kcj 说明 行列式中的行 row行列式中的列 column 三 利用行列式的性质计算行列式 41 2 消零化三角形法 用归纳法可证明任何n阶行列式总能利用运算ri krj化为右上三角形行列式或左下三角形行列式 即 42 例7计算 c1 c2 r2 r1 r4 5r1 0 0 8 16 6 4 7 2 r2 r3 解 43 r3 4r2 r4 8r2 40 44 例8计算 解 6 c1 c2 c3 c4 6 c1 6 r2 r1 r4 r1 r3 r1 6 8 48 45 解法二 48 r1 r2 46 例9计算 解 D r4 r3 r3 r2 r2 r1 r4 r3 r3 r2 r4 r3 a4 47 例10设 证明 D D1 D2 48 证 对D1作行运算ri krj 把D1化为下三角形行列式 设为 对D2作列运算ci kcj 把D2化为下三角形行列式 设为 49 同样 对D的前k行作运算ri krj 再对后n列作运算ci kcj 把D化为下三角形行列式 故D p11 pkkq11 qnn D1 D2 50 3 拆项法 例 已知求 51 52 有 bij aji i j 1 2 n 性质1证明 由定理1 2 有 53 性质2证明 54 记 当时 当时 55 例 若 试证明 56 计算4阶行列式 思考题 57 思考题解答 解 58 59 1 6行列式按行 列 展开 一 余子式与代数余子式 在n阶行列式中 把元素aij所在的第i行和第j列划去后 剩下来的n 1阶行列式叫做元素aij的余子式 记作Mij 记Aij 1 i jMijAij叫做元素aij的代数余子式 60 A23 1 2 3M23 M23 例如 则a23的余子式和代数余子式为 余子式Mij与代数余子式Aij关系 61 二 行列式按行 列 展开法则 引理 一个n阶行列式 若其中第i行所有元素除 i j 元aij外都等于零 则该行列式等于aij与其代数余子式 的乘积 即 证 先证i 1 j 1的情形 此时 由例10知 一般情形 只要适当交换D的行与列的位置 即可得到结论 62 定理1 3 行列式按行 列 展开法则 行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 63 证 64 三 利用展开法则求行列式 例 计算行列式 解 由定理1 3 将 按第 行展开 65 结合利用性质 对行列式进行运算 某行或某列尽量多的元素为0 然后展开 如用此法重解例7 66 范德蒙德 Vandermonde 行列式 例12 证明 67 证明 后一行减去前一行的x1倍 按第1列展开 68 即有 69 例 计算行列式 解 70 推论 行列式一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 证明 71 当i j 将式中ajk换成aik k 1 2 n 可得 72 加边法 求行列式 代数余子式的性质小结如下 代数余子式的性质可反过来用 这就是所谓的 加边法 73 例计算行列式 解 当x 0或y 0时 显然D 0 现假设x 0且y 0 由引理知 74 进一步推广的结果 行列式按第i行展开 得 将元素ai1换成b1 ai2换成b2 ain换成bn 得 75 同理如果第j列的元素为b1 b2 bn 则有 76 例13 设 A11 A12 A13 A14及M11 M21 M31 M41 D的 i j 元的余子式和代数余子式分别记为Mij和Aij 求 解 按第3列展开 77 78 1 7克拉默法则 一 克拉默法则 本节讨论n个未知数n个方程的线性方程组 的求解问题 79 克拉默法则 如果线性方程组 的系数行列式D不等于零 则方程组 有唯一解 其中Dj j 1 2 n 是把系数行列式D中第j列的元素a1j a2j anj对应地换为方程组的常数项b1 b2 bn后所得到的n阶行列式 80 因为 解 D 27 D1 81 例14 解线性方程组 提示 27 81 81 因为 D 27 D1 81 例14 解线性方程组 提示 108 D2 108 27 解 82 因为 D 27 D1 81 例14 解线性方程组 提示 D2 108 27 解 27 D3 27 83 因为 D 27 D1 81 例14 解线性方程组 提示 D2 108 27 解 D3 27 27 D4 27 84 因为 D 27 D1 81 例14 解线性方程组 D2 108 解 D3 27 D4 27 所以 所给方程组的唯一解为 85 例15 设曲线y a0 a1x a2x2 a3x3通过四点 1 3 2 4 3 3 4 3 求系数a0 a1 a2 a3 解 把四个点的坐标代入曲线方程 得线性方程组 其系数行列式 86 所以方程有唯一解 即曲线方程为 87 二 线性方程组解的个数判断 1 讨论 常数项均为零的线性方程组称为齐次线性方程组 问齐次线性方程组有什么样的解 定理4如果线性方程组 的系数行列式D 0 则方程组 一定有解 且解是唯一的 定理4 如果线性方程组 无解或有两个不同的解 则它的系数行列式必为零 88 定理5如果齐次线性方程组 的系数行列式D 0 则齐次线