有理函数积分ppt课件.ppt

第四节 基本积分法 直接积分法 换元积分法 分部积分法 初等函数 初等函数 一 有理函数的积分 二 可化为有理函数的积分举例 有理函数的积分 本节内容 第四章 1 一 有理函数的积分 有理函数 时 为假分式 时 为真分式 有理函数 多项式 真分式 分解 其中部分分式的形式为 若干部分分式之和 1 有理函数的分解 2 1 分母中若有因式 则分解后为 有理函数化为部分分式之和的一般规律 特殊地 分解后为 其中都是常数 3 注 关于部分分式分解 例如 4 但若 矛盾 5 特殊地 分解后为 其中都是常数 6 例1 将下列真分式分解为部分分式 解 1 用拼凑法 7 2 用赋值法 故 8 3 比较系数法 原式 9 2 有理函数的积分 变分子为 再分项积分 四种典型部分分式的积分 10 讨论积分 令 则 记 11 这三类积分均可积出 且原函数都是初等函数 结论 有理函数的原函数都是初等函数 递推公式 12 注意 以上介绍的虽是有理函数积分的普遍方法 但对一个具体问题而言 未必是最简捷的方法 应首先考虑用其它的简便方法 基本思路 尽量使分母简单 降幂 拆项 同乘等 化部分分式 写成分项积分 可考虑引入变量代换 13 例2 求积分 解 14 例3 求 解 已知 15 例4 求 解 原式 思考 如何求 提示 变形方法同例4 16 例5 求 解 说明 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行 但不一定简便 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法 17 例6 求 解 原式 18 例7 求 解 原式 注意本题技巧 按常规方法较繁 19 按常规方法解 第一步令 比较系数定a b c d 得 第二步化为部分分式 即令 比较系数定A B C D 第三步分项积分 此解法较繁 20 二 可化为有理函数的积分举例 设 表示三角函数有理式 令 万能代换 t的有理函数的积分 1 三角函数有理式的积分 则 21 令 万能置换公式 22 例8 求 解 令 则 23 24 例9 求 解 说明 通常求含 的积分时 往往更方便 的有理式 用代换 25 例10 求积分 解法1 26 解法2 令 27 解法3 可以不用万能置换公式 结论 比较以上三种解法 便知万能置换不一定是最佳方法 故三角有理式的计算中先考虑其它手段 不得已才用万能置换 如 28 若用万能代换 则 化部分分式比较困难 但若是凑微分 则比较简单 基本思路 29 2 简单无理函数的积分 令 令 被积函数为简单根式的有理式 可通过根式代换 化为有理函数的积分 例如 令 30 例13 求 解 令 则 原式 31 例14 求 解 为去掉被积函数分母中的根式 取根指数2 3的 最小公倍数6 则有 原式 令 32 例15 求 解 令 则 原式 33 例16 求积分 解 先对分母进行有理化 原式 34 内容小结 1 可积函数的特殊类型 有理函数 分解 多项式及部分分式之和 三角函数有理式 万能代换 简单无理函数 三角代换 根式代换 2 特殊类型的积分按上述方