2019_2020学年新教材高中数学第5章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换讲义新人教A版必修第一册.docx

5.5.2简单的三角恒等变换学 习 目 标核 心 素 养1.能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用(重点)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用(难点、易错点)1.通过公式的推导，培养逻辑推理素养.2.借助三角恒等变换的简单应用，提升数学运算素养.半角公式(1)sin ，(2)cos ，(3)tan ，(4)tan，tan.1已知180360，则cos的值等于()AB.C D.C180360，90180，又cos2，cos .2已知cos ，则sin 等于()A.B C.D.A由题知，sin 0，sin .3已知24，且sin ，cos 0，则tan的值等于_3由sin ，cos 0得cos ，tan3.化简求值问题【例1】(1)设56，cosa，则sin等于()A.B.C D(2)已知，化简：.思路点拨(1)先确定的范围，再由sin2得算式求值(2)1cos 2cos2，1cos 2sin2，去根号，确定的范围，化简(1)D56，.又cosa，sin.(2)解原式.，cos0，sin0，原式cos.1化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等2利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2，cos2计算(4)下结论：结合(2)求值提醒：已知cos 的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号1已知cos ，且180270，求tan .解法一：180270，90135，即是第二象限角，tan 0，tan 2.法二：180270，即是第三象限角，sin ，tan 2.三角恒等式的证明【例2】求证：sin 2.思路点拨法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；法二：cos2不变，直接用二倍角正切公式变形证明法一：用正弦、余弦公式左边sincoscos sin cos sin 2右边，原式成立法二：用正切公式左边cos2cos2tan cos sin sin 2右边，原式成立三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边右边0”或“左边/右边1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.2求证：.证明左边右边所以原等式成立恒等变换与三角函数图象性质的综合【例3】已知函数f(x)cos2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期(2)求证：当x时，f(x).思路点拨解(1)f(x)cos2sin xcos xcos 2xsin 2xsin 2xsin 2xcos 2xsin，所以T.(2)证明：令t2x，因为x，所以2x，因为ysin t在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)sin，得证三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成yasin xbcos xk的形式，借助辅助角公式化为yAsin(x)k(或yAcos(x)k)的形式，将x看作一个整体研究函数的性质.3已知函数f(x)sin2sin2(xR)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合解(1)f(x)sin2sin2sin1cos212sin12sin1，T.(2)当f(x)取得最大值时，sin1，有2x2k，即xk(kZ)，所求x的集合为.三角函数在实际问题中的应用探究问题1用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响2建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？提示：化成yAsin(x)b的形式【例4】如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使OAB的周长最大？思路点拨解设AOB，OAB的周长为l，则ABRsin ，OBRcos ，lOAABOBRRsin Rcos R(sin cos )RRsinR.0，l的最大值为RR(1)R，此时，即，即当时，OAB的周长最大1在例4条件下，求长方形面积的最大值解如图所示，设AOB，则ABRsin ，OARcos .设矩形ABCD的面积为S，则S2OAAB，S2Rcos Rsin R22sin cos R2sin 2.，2(0，)因此，当2，即时，SmaxR2.这时点A，D到点O的距离为R，矩形ABCD的面积最大值为R2.2若例4中的木料改为圆心角为的扇形，并将此木料截成矩形，(如图所示)，试求此矩形面积的最大值解如图，作POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连接OE，设MOE，在RtMOE中，MERsin ，OMRcos ，在RtONH中，tan，得ONNHRsin ，则MNOMONR(cos sin )，设矩形EFGH的面积为S，则S2MEMN2R2sin (cos sin )R2(sin 2cos 2)2R2sinR2，由，则2，所以当2，即时，Smax(2)R2.应用三角函数解实际问题的方法及注意事项(1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.(2)注意：在求解过程中，要注意三点：充分借助平面几何性质，寻找数量关系.注意实际问题中变量的范围.重视三角函数有界性的影响.提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误.1学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式2研究形如f(x)asin xbcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一对一些特殊的系数a、b应熟练掌握例如sin xcos xsin；sin xcos x2sin等.1思考辨析(1)cos .()(2)存在R，使得cos cos .()(3)对于任意R，sin sin 都不成立()(4)若是第一象限角，则tan .()提示(1).只有当2k2k(kZ)，即4k4k(kZ)时，cos .(2).当cos 1时，上式成立，但一般情况下不成立(3).当2k(kZ)时，上式成立，但一般情况下不成立(4).若是第一象限角，则是第一、三象限角，此时tan 成立答案(1)(2)(3)(4)2若f(x)cos xsin x在0，a是减函数，则a的最大值是()A.B.C.DCf(x)cos xsin xcosx.当x0，a时，x，a，所以结合题意可知，a，即a，故所求a的最大值是.故选C.3函数f(x)sin2x的最小正周期为_因为f(x)sin2x，所以f(x)的最小正周期T.4北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等