浙江专用2016_2017高中数学第三章三角恒等变换【新人教版】.docx

【创新设计】（浙江专用）2016-2017高中数学 第三章 三角恒等变换 新人教版必修43.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式目标定位1.了解学习两角和与差的三角函数公式的必要性.2.理解用三角函数线、向量推导两角差的余弦公式的思路.3.理解在两角差的余弦公式的推导过程中所体现的向量方法.4.理解和、差角的相对性，能对角进行合理拆分与能对公式进行简单逆用.自 主 预 习两角差的余弦公式名称简记符号公式适用条件两角差的余弦C()cos()coscossinsin，为任意角即 时 自 测1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)化简cos只能利用诱导公式.()(2)cos()cos cos 一般都成立.()(3)以Ox为始边作角，终边与单位圆交于点A，则A点的坐标为(sin ，cos ).()(4)cos 15cos(4530)().()提示(1)也可以用两角差的余弦公式化简.(2)一般不成立.(3)A(cos ，sin ).(4)cos 15cos(4530)().2.sin 14cos 16sin 76cos 74的值是()A. B. C. D.解析sin 14cos 16sin 76cos 74cos 76cos 16sin 76sin 16cos(7616)cos 60.答案B3.化简sinsincoscos的结果是()A.sin 2x B.cos 2xC.0 D.1解析原式coscos 0.答案C4.计算sin 60cos 60_.解析原式sin 30sin 60cos 30cos 60cos(6030)cos 30.答案类型一运用公式求值【例1】 求下列各式的值：(1)cos 40cos 70cos 20cos 50；(2).解(1)原式cos 40cos 70sin 70sin 40cos(7040)cos 30.(2)原式cos 15cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 45.规律方法对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值；要善于逆用或变用公式.【训练1】 求下列各式的值：(1)sin 46cos 14sin 44cos 76.(2)cos 15sin 15.解(1)原式sin(9044)cos 14sin 44cos(9014)cos 44cos 14sin 44sin 14cos(4414)cos 30.(2)原式cos 60cos 15sin 60sin 15cos(6015)cos 45.类型二给值求值问题【例2】 (2015绍兴高一期末测试)设cos ()，sin ，其中，求cos .解，sin .cos .cos coscoscossinsin.规律方法三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有：()，()，(2)()，等.【训练2】 已知cos ，cos()，且、，求cos 的值.解、，(0，).又cos ，cos()，sin ，sin().又()，cos cos()cos()cos sin()sin .类型三给值求角问题(互动探究)【例3】 已知、均为锐角，且cos ，cos ，求的值.思路探究探究点一要求的值，可以先求什么？提示可以先求cos()的值.探究点二要求cos()的值，还需求哪些值？提示还需求sin ，sin .探究点三由cos()的值，求的值，应注意什么？提示应注意的范围.解、均为锐角，sin ，sin .cos ()cos cos sin sin .又sin sin ，0，0.故.规律方法解给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值.(2)确定角的范围.(3)根据角的范围写出所求的角.【训练3】 已知cos ，cos()，且0，求的值.解由cos ，0，得sin ，由0，得0.又因为cos()，所以sin()，由()得cos cos()cos cos()sin sin()，所以.课堂小结1.公式的结构特点公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式.2.公式的适用条件公式中的，不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos中的“”相当于公式中的角，“”相当于公式中的角.3.公式的“活”用公式的运用要“活”，体现在顺用、逆用、变用.而变用又涉及两个方面：(1)公式本身的变用，如cos()cos cos sin sin ；(2)角的变用，也称为角的变换，如cos cos()，cos 2cos()().1.cos 78cos 18sin 78sin 18的值为()A. B. C. D.解析cos 78cos 18sin 78sin 18cos(7818)cos 60，故选A.答案A2.cos 165等于()A. B. C. D.解析cos 165cos(18015)cos 15cos(4530)(cos 45cos 30sin 45sin 30).答案C3.sin 60cos 60_.解析原式sin 60sin 60cos 60cos 60cos(6060)cos 01.答案14.已知sin ，sin ，且180270，90180，求cos()的值.解因为sin ，180270，所以cos .因为sin ，90180，所以cos .所以cos()cos cos sin sin .基 础 过 关1.若sin sin 1，则cos()的值为()A.0 B.1 C.1 D.1解析由sin sin 1，得cos cos 0，cos()cos cos sin sin 1.答案B2.化简cos(45)cos(15)sin(45)sin(15)的结果为()A. B. C. D.解析原式cos(45)cos(15)sin(45)sin(15)cos(45)(15)cos(60).答案A3.若cos()，cos 2，并且、均为锐角且，则的值为()A. B. C. D.解析sin()(0).sin 2，cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin()，(0，)，.答案C4.已知点A(cos 80，sin 80)，B(cos 20，sin 20)，则|()A. B. C. D.1解析|1.答案D5.若cos()，则(sin sin )2(cos cos )2_.解析原式22(sin sin cos cos )22cos().答案6.已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，|ab|，求cos().解a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，ab(cos cos ，sin sin ).|ab|，22cos()，cos().7.已知、为锐角，cos ，sin()，求角的值.解为锐角，cos ，sin .又为锐角，0.sin()sin ，cos()，cos cos()cos()cos sin()sin ，为锐角，.8.求函数ycos xcos(xR)的最大值和最小值.解ycos xcos xcossin xsin cos xsin xcos.1cos1.ymax，ymin.能 力 提 升9.将函数ycos xsin x(xR)的图象向左平移m(m0)个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()A. B. C. D.解析ycos xsin x2cos，将函数y2cos的图象向左平移m(m0)个单位长度后，得到y2cos，此时关于y轴对称，则mk，kZ，所以mk，kZ，所以当k0时，m的最小值是，选B.答案B10.若sin xcos xcos(x)，则的一个可能值为()A. B. C. D.解析sin xcos xcos xcossin xsincos，故的一个可能值为.答案A11.已知sin sin sin 0和cos cos cos 0，则cos()的值是_.解析由已知得22得：(sin sin )2(cos cos )21，整理得：22cos()1，cos().答案12.若sin sin 1，cos cos ，则cos()的值为_.解析sin sin 1，cos cos ，22整理得22cos()1，即cos().答案13.已知：cos(2)，sin(2)，且，0，求cos().解因为，0，所以2.因为cos(2)，所以2.所以sin(2).因为，0，所以2.因为sin(2)，所以02，所以cos(2)，所以cos()cos(2)(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)0.探 究 创 新14.已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin ).其中0.(1)求证：ab与ab互相垂直.(2)若kab与akb的长度相等，求的值(k为非零的常数).(1)证明因为(ab)(ab)|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)110，所以ab与ab互相垂直.(2)解因为kab(kcos cos ，ksin sin )，akb(cos kcos ，sin ksin )，所以|kab|，|akb|.而|kab|akb|，所以，所以cos()0，又因为0，所以0，所以.3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)目标定位1.能利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式.2.能应用两角和与差的正弦、余弦公式解决有关问题.3.理解和、差角的相对性，能对角进行合理、正确的拆分.4.能对公式进行简单的逆用.自 主 预 习1.两角和与差的余弦公式C()：cos()cos_cos_sin_sin_.C()：cos()cos_cos_sin_sin_. 2.两角和与差的正弦公式S()：sin()sin_cos_cos_sin_.S()：sin()sin_cos_cos_sin_.3.两角互余或互补(1)若，其、为任意角，我们就称、互余.例如：与互余，与互余.(2)若，其，为任意角，我们就称、互补.例如：与互补，与互补.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)cos()cos cos 对任意角都不成立.()(2)cos sin sin(30).()(3)sin xcos x1，1.()(4)sin 15().()提示(1)，时，等式成立.(2)cos sin sin(30)(3)sin xcos xsin，.(4)sin 15().2.sin 7cos 37sin 83cos 53的值是()A. B. C. D.解析原式sin 7cos 37cos 7sin 37sin(30).答案A3.在ABC中 ，A，cos B，则sin C等于()A. B. C. D.解析sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B(cos B).答案A4.函数f(x)sin xcos x(xR)的值域是_.解析f(x)22sin.f(x)2，2.答案2，2类型一利用和(差)角公式化简【例1】 化简下列各式：(1)sin2sincos；(2)sin 14cos 16sin 76cos 74；(3)sin(54x)cos(36x)cos(54x)sin(36x)；(4)sincos.解(1)原式sin xcos cos xsin 2sin xcos 2cos xsin coscos xsinsin xsin xcos xsin xcos xcos xsin xsin xcos x0.(2)原式sin 14cos 16sin(9014)cos(9016)sin 14cos 16cos 14sin 16sin(1416)sin 30.(3)原式sin(54x)(36x)sin 901.(4)法一原式222cos2cos.法二原式222sin2sin.规律方法化简三角函数式的标准和要求(1)能求出值的应求出值.(2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少.(3)使三角函数式的次数尽可能低.(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式.【训练1】 化简：(tan 10).解原式(tan 10tan 60)2.类型二利用和(差)角公式求值【例2】 若sin，cos，且0，求cos()的值.解0，0.又sin，cos，cos，sin，cos()sinsinsincoscossin.规律方法在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角.具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.【训练2】 已知，cos()，sin()，求cos 2与cos 2的值.解，0，.sin() ，cos() .cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()，cos 2cos()()cos()cos()sin()sin().类型三两角和与差的正弦、余弦公式在解三角形中的应用(互动探究)【例3】 在ABC中，sin A，cos B，求cos C.思路探究探究点一A、B、C之间有怎样的关系？提示ABC.探究点二由sin A，求cos A的值，由cos B，求sin B的值，值确定吗？提示应注意由三角函数值的符号，确定角A、B的范围.解cos B，B，则sin B.sin A，A.若A，B，则AB，与ABC矛盾，A，A，且cos A.cos Ccos(AB)cos(AB).规律方法在应用公式时，要注意角的范围，特别在三角形中，ABC，A，B，C(0，).【训练3】 (1)(2015常州高一检测)在ABC中，若sin Asin Bcos Acos B，则ABC的形状为_.(2)在ABC中，已知sin(AB)cos Bcos(AB)sin B1，则ABC是()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等腰非直角三角形解析(1)sin Asin B0而cos(AB)0，cos Ccos(AB)cos(AB)0.C为钝角.(2)由条件sin(AB)cos Bcos(AB)sin B1得sin A1，即sin A1.A为直角.故选C.答案(1)钝角三角形(2)C课堂小结1.公式C与S的联系、结构特征和符号规律对于公式S与S，可记为“异名相乘，符号同”.2.使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin cos()cos sin()时，不要将cos()和sin()展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin cos()cos sin()sin()sin()sin .3.运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解.1.cos 75cos 15sin 75sin 15的值等于()A. B. C.0 D.1解析原式cos(7515)cos 900.答案C2.已知sin ，是第四象限角，则sin的值等于()A. B. C. D.解析由已知：cos .sinsincos cossin .答案B3.化简sin(45A)sin(45A)_.解析原式(cos Asin A)(cos Asin A)sin A.答案sin A4.已知sin()，sin()，求的值.解sin()，sin cos cos sin .sin()，sin cos cos sin .由，解得sin cos ，cos sin ，5.基 础 过 关1.sin 245sin 125sin 155sin 35的值是()A. B. C. D.解析原式sin 65sin 55sin 25sin 35cos 25cos 35sin 25sin 35cos(3525)cos 60.答案B2.已知0，又sin ，cos()，则sin ()A.0 B.0或C. D.0或解析0，sin ，cos()，cos ，sin()或.sin sin()sin()cos cos()sin 或0.，sin .答案C3.已知cos cos sin sin 0，那么sin cos cos sin 的值为()A.1 B.0 C.1 D.1解析cos cos sin sin cos()0.k，kZ，sin cos cos sin sin()1.答案D4.已知锐角、满足sin ，cos ，则_.解析，为锐角，sin ，cos ，cos ，sin .cos()cos cos sin sin .0，.答案5.化简sincos的结果是_.解析原式sin cos cos sin cos cos sin sin cos .答案cos 6.求下列各式的值.(1)cos 105cos 15sin 75sin 15；(2)；解(1)cos 105cos 15sin 75sin 15cos(9015)cos15sin(9015)sin 15sin 15cos 15cos 15sin 15(sin 15cos 15cos 15sin 15)sin(1515)sin 30.(2)sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30，cos 15，.7.已知函数f(x)2sin，xR.(1)求f的值；(2)设、，f，f(32)，求cos()的值.解(1)f2sin2sin ；(2)由f得2sin ，即sin ，由f(32)得2sin，从而cos ，又、，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin .8.已知sin(2)3sin ，求证：tan()2tan .证明sin(2)3sin sin()3sin()sin()cos cos()sin 3sin()cos 3cos()sin 2sin()cos 4cos()sin tan()2tan .能 力 提 升9.若函数f(x)(1tan x)cos x，0x，则f(x)的最大值为()A.1 B.2C.1 D.2解析f(x)(1tan x)cos xcos xsin x2(cos xsin x)2sin(x)，0x，x.f(x)max2.答案B10.在三角形ABC中，三内角分别是A、B、C，若sin C2cos Asin B，则三角形ABC一定是()A.直角三角形 B.正三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形解析sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B2cos Asin B，sin Acos Bcos Asin B0.即sin(AB)0，AB.答案C11._.解析原式2.答案212.已知，为锐角，且sin ，cos ，则_.解析因，为锐角，sin ，cos ，所以cos ，sin ，所以sin()sin cos cos sin .因为，所以，所以.答案13.已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，|ab|.(1)求cos()的值；(2)若0，0且sin ，求sin 的值.解(1)ab(cos cos ，sin sin )，|ab|2(cos cos )2(sin sin )222cos()，22cos()，cos().(2)0，0且sin ，cos 且0.又cos()，sin().sin sin()sin()cos cos()sin .探 究 创 新14.证明：sin()sin()sin2sin2，并利用该式计算sin220sin 80sin 40的值.证明左边sin()sin()(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )sin2cos2cos2sin2sin2(1sin2)(1sin2)sin2sin2sin2sin2sin2sin2sin2sin2sin2右边.sin()sin()sin2sin2.sin220sin 80sin 40sin220sin(6020)sin(6020)sin220sin260sin220sin260.3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)目标定位1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用公式进行和、差角的求值和化简.3.能对公式进行简单的逆用和变形应用.自 主 预 习1.两角和与差的正切公式(1)T()：tan().(2)T()：tan().2.两角和与差的正切公式的变形(1)T()的变形：tan tan tan()(1tan_tan_).tan tan tan tan tan()tan().tan tan 1.(2)T()的变形：tan tan tan()(1tan_tan_).tan tan tan tan tan()tan().tan tan 1.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)公式T()中，只有，满k(kZ)才可使用.()(2)tan无法化简.()(3)tan 15.()(4)当时，(1tan )(1tan )2.()提示(1)T()中，都不能等于k，kZ.(2)利用两角差的正切公式化简即可.(3)tan 15.(4)当时，(1tan )(1tan )2.2.若tan3，则tan 的值为()A.2 B. C. D.2解析tan tan.答案B3.已知AB45，则(1tan A)(1tan B)的值为()A.1 B.2C.2 D.不确定解析(1tan A)(1tan B)1(tan Atan B)tan Atan B1tan(AB)(1tan Atan B)tan Atan B11tan Atan Btan Atan B2.答案B4.已知tan 2，tan()，则tan 的值为_.解析tan 2，tan()，解得tan 3.答案3类型一利用和(差)角的正切公式求值【例1】 求下列各式的值：(1)；(2)tan 15tan 30tan 15tan 30.解(1)原式tan(6015)tan 75tan(3045)2；(2)tan 451，tan 15tan 301tan 15tan 30原式1tan 15tan 30tan 15tan 301.规律方法公式T()，T()是变形较多的两个公式，公式中有tan tan ，tan tan (或tan tan )，tan()(或tan()三者知二可表示或求出第三个.【训练1】 求下列各式的值.(1)；(2)tan 36tan 84tan 36tan 84.解(1)原式tan(4575)tan(30)tan 30.(2)原式tan 120(1tan 36tan 84)tan 36tan 84tan 120tan 120tan 36tan 84tan 36tan 84tan 120.类型二给值求角问题【例2】 已知tan ，sin ，且，为锐角，求2的值.解tan 1且为锐角，0，又sin 且为锐角，0，02.由sin ，为锐角，得cos ，tan .tan().tan(2)1.由可得2.规律方法此类题是给值求角题，解题步骤如下：求所求角的某一个三角函数值，确定所求角的范围.此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解.【训练2】 已知tan ，tan 是方程x23x40的两根，且，求角.解由已知得tan 、tan 均为负，0，0.0，tan().类型三和(差)角的正切公式的综合应用(互动探究)【例3】 已知ABC中，tan Btan Ctan Btan C，且tan Atan Btan Atan B1，试判断ABC的形状.思路探究探究点一由两角和(差)的正切公式.由条件tan Btan Ctan Btan C可得到什么结论？提示条件可变形为：.探究点二由条件tan Atan Btan Atan B1可得什么结论？提示条件可变形为：.解tan Atan Btan Atan B1，(tan Atan B)tan Atan B1，tan(AB).又0AB，AB，C，tan Btan Ctan Btan C，tan C，tan Btan B，tan B，0B，B，A，ABC为等腰钝角三角形.规律方法三角形中的问题，ABC肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角的个数.【训练3】 已知A、B、C为锐角三角形ABC的内角.求证：tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.证明ABC，ABC.tan(AB)tan C.tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.即tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.课堂小结1.公式T()的适用范围由正切函数的定义可知、(或)的终边不能落在y轴上，即不为k (kZ).2.从三个角度入手直接利用公式T()求值(1)复角化单角：公式tan()及tan()反映了复角化单角的思想，即要求的正切函数值，只需知道tan 和tan 的值，代入求解便可.(2)整体意识：公式T()中有两个小团体“tan tan ”及“tan tan ”，求解时可利用整体思想代入求解.(3)角的配凑：公式T()中，只代表了角的某一形式，其可能是单纯的，也可能是某些小团体.3.公式T()的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.如tan 1，tan ，tan 等.要特别注意tan，tan.1.已知cos ，且，则tan等于()A. B.7 C. D.7解析由已知：sin ，tan .tan7.答案D2.()A. B. C. D.解析原式tan(30).答案D3.tan 36tan 84tan 36tan 84_.解析tan 120，tan 36tan 84tan 36tan 84，tan 36tan 84tan 36tan 84.答案4.已知A，B都是锐角，且tan A，sin B，求AB的值.解由已知：cos B，tan B，tan(AB)1.又0A，0B，0AB，AB.基 础 过 关1.在ABC中，若tan Atan Btan Atan B1，则cos C的值是()A. B. C. D.解析由tan Atan Btan Atan B1，可得1，即tan(AB)1，AB(0，)，AB，则C，cos C.答案B2.已知tan()，tan，那么tan等于()A. B. C. D.解析tantan.答案C3.已知tan ，tan ，0，则的值是()A. B. C. D.解析tan()1，0，2，.答案C4.已知、均为锐角，且tan ，则tan()_.解析tan .tan tan tan 1tan .tan tan tan tan 1.tan tan 1tan tan .1，tan()1.答案15.在ABC中，cos A，tan B2，则tan 2C_.解析cos A，0A，tan A，又tan B2，tan Ctan(AB)，tan 2Ctan(CC).答案6.已知tan()，tan ，且、(0，).(1)求tan 的值；(2)求2的值.解(1)tan tan().(2)tan(2)tan()1.tan 0，(0，)，0，0.0，.2(，0).2.7.求下列各式的值：(1)sin 15cos 15；(2)(1tan 59)(1tan 76).解(1)sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30，cos 15，sin 15cos 15.(2)原式1tan 59tan 76tan 59tan 761(tan 59tan 76)tan 59tan 761tan 135(1tan 59tan 76)tan 59tan 7611tan 59tan 76tan 59tan 762.8.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为、.(1)求tan()的值；(2)求2的值.解由条件得cos ，cos .、为锐角，sin ，sin .因此tan 7，tan .(1)tan()3.(2)tan(2)tan()1.又，为锐角，02，2.能 力 提 升9.化简tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 10的值等于()A.1 B.2C.tan 10 D.tan 20解析原式tan 10tan 20tan 20 tan 10(tan 10tan 20tan 10tan 20)1.答案A10.A，B，C是ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x25x10的两个实数根，则ABC是()A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.无法确定解析tan Atan B，tan Atan B，tan(AB)，tan Ctan(AB)，C为钝角.答案A11.如果tan ，tan 是方程x23x30的两根，则_.解析.答案12.若sin sin ，则cos cos 的取值范围为_.解析令cos cos t，则(sin sin )2(cos cos )2t2，即22cos()t2，2cos()t2，2t22，t2，t.答案13.已知A、B、C是ABC的三内角，向量m(1，)，n(cos A，sin A)，且mn1.(1)求角A；(2)若tan3，求tan C.解(1)mn1，(1，)(cos A，sin A)1，即sin Acos A1，2sin1.sin.0A，A.A，即A.(2)由tan3，解得tan B2.又A，tan A.tan Ctan(AB)tan(AB).探 究 创 新14.已知tan 、tan 是方程x23x30的两根，试求