江苏省淮安市2020届高三期中联考数学(理科)试题(解析版).doc

2019-2020学年江苏省淮安市高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题）1. 全集U=1,2，3，4，5，集合A=1,3，4，B=3,5，则U(AB)=_2. 已知向量a=(2,m)，b=(1,-2)，且ab，则实数m的值是_3. 函数y=ln(x+1)+22-x的定义域为_4. 已知单位向量a,b的夹角为120，则|a-2b|的值是_5. 已知等比数列an满足a2+2a1=4，a32=a5，则该数列的前5项和为_6. “ab”是“2a2b”的_条件(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”选一)7. 设函数f(x)=Asin(x+)(A,为常数，且A0，0，00，且任意x1有f(x+a)-f(1+a)15a2lnx，求实数a的取值范围20. 给定数列an，若满足a1=a(a0且a1)，对于任意的n，mN*，都有an+m=anam，则称数列an为“指数型数列”()已知数列an，bn的通项公式分别为an=53n-1，bn=4n，试判断an，bn是不是“指数型数列”；()若数列an满足：a1=12，an=2anan+1+3an+1(nN*)，判断数列1an+1是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；()若数列an是“指数型数列”，且a1=a+1a+2(aN*)，证明：数列an中任意三项都不能构成等差数列21. 已知矩阵A=0123，B=2018，求A-1B22. 已知矩阵A=12-14，向量a=53，计算A5a23. 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB/DC，DAB=90，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=12AB=1，M是PB的中点(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；(2)求面AMC与面PMC所成锐二面角的大小的余弦值24. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC，AB=2，AC=4，AA1=2，BD=DC(1)若=1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2)若二面角B1-A1C1-D的大小为60，求实数的值答案和解析1.【答案】1,2，4，5【解析】解：A=1,3，4，B=3,5，AB=3，则U(AB)=1,2，4，5，故答案为：1,2，4，5根据集合交集，并集定义进行求解即可本题主要考查集合的基本运算，结合交集补集的定义是解决本题的关键2.【答案】1【解析】解：ab；ab=2-2m=0；m=1故答案为：1根据ab即可得出ab=2-2m=0，从而求出m的值考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算3.【答案】(-1,2)【解析】解：依题意，x+102-x02-x0，解得-1xb，利用指数函数的单调性可得2a2b，反之，由2a2b，可得ab“ab”是“2a2b”的充要条件故答案为：充要由指数函数的单调性结合充分必要条件的判定得答案本题考查指数函数的单调性，考查充要条件的判定，是基础题7.【答案】3【解析】解：根据函数f(x)=Asin(x+)(A,为常数，且A0，0，0)的部分图象，可得342=712+6，=2再根据五点法作图可得2(-6)+=0，=3，故答案为：3先由周期求出，再由五点法作图求出的值本题主要考查由函数y=Asin(x+)的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题8.【答案】-15【解析】解：sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理可得：a：b：c=2：3：4，不妨设a=2t，b=3t，c=4t，则cosC=a2+b2-c22ab=4t2+9t2-16t222t3t=-14，C(0,)tanC=-1cos2C-1=-15故答案为：-15由正弦定理可得a：b：c=2：3：4，不妨设a=2t，b=3t，c=4t，则由余弦定理可求cosC，结合范围C(0,)，利用同角三角函数关系式即可求值本题考查正余弦定理的应用，考查了比例的性质，同角的三角函数基本关系式的应用，属中档题9.【答案】x|x2+1【解析】解：f(x)=x|x-4|，由f(2x)f(2)得，2x|2x-4|4，x|x-2|1，x2-2x1x2或2x-x21x2，解得x2+1，f(2x)f(2)的解集为x|x2+1故答案为：x|x2+1可由f(2x)f(2)得出x|x-2|1，从而得到x2-2x1x2或2x-x21x2，解不等式组即可得出原不等式的解集本题考查了绝对值不等式的解法：去绝对值号，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题10.【答案】4【解析】【分析】本题考查了抽象函数的应用问题，也考查了函数的奇偶性与周期性应用问题，是基础题由题意令x=-2求得f(2)=0，且f(x)的周期为4，再计算f(3)+f(10)的值【解答】解：由f(x+4)=f(x)+f(2)，令x=-2，得f(-2+4)=f(-2)+f(2)；又f(x)为偶函数，f(-2)=f(2)，f(2)=0；f(x+4)=f(x)，f(x)的周期为4；又f(1)=4，f10=f2+24=f2=0，f3=f3-4=f-1=f1=4，f(3)+f(10)=4+0=4故答案为411.【答案】12【解析】解：因为ABAC=2ABAD，所以ABAC-ABAD=ABDC=ABAD，因为AB/CD，CD=2，BAD=4，所以上式化简得：2|AB|=|AB|AD|cos4，即|AD|=22，所以ADAC=AD(AD+DC)=AD2+ADDC=8+222cos4=12故答案为：12因为ABAC=2ABAD，根据向量变换得到|AD|=22，代入ADAC求出即可考查向量的数量积，向量的加减法，向量的夹角公式的综合运算，中档题12.【答案】2+3【解析】解：由BC=3AC，利用正弦定理可得sinA=3sinB，由tanA=3tanB，可得sinAcosA=3sinBcosB，由可得cosA=33cosB，由，两式平方相加可得sinB=12，所以B=6或56，由tanA=3tanB，知B=56应舍去，所以B=6，代入式可得A=3，由三角形内角和定理可得C=-A-B=2，可得C2=4，所以tan(B+C2)=tanB+tanC21-tanBtanC2=33+11-33=2+3故答案为：2+3由已知利用正弦定理可得sinA=3sinB，sinAcosA=3sinBcosB，进而可得cosA=33cosB，可求sinB=12，从而求得B的值，进而可求A，C，C2的值，利用两角和的正切函数公式即可求解本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式等在解三角形中的综合应用，考查了化归和转化能力以及运算求解能力，属于中档题13.【答案】733【解析】解：依题意，因为S9=S3+2S6，所以q1，所以a1(1-q9)1-q=a1(1-q3)1-q+2a1(1-q6)1-q，即(q3-2)(q3-1)(q3+1)=0，因为数列an为正项数列，所以q3=2当S6+1S3取得最小值时，S6S3=1，即(a11-q)2(1-q6)(1-q3)=1，所以a11-q=-33，所以S9=a11-q(1-q9)=-33(1-23)=733故填：733因为S9=S3+2S6，所以q1，所以a1(1-q9)1-q=a1(1-q3)1-q+2a1(1-q6)1-q，即(q3-2)(q3-1)(q3+1)=0，因为数列an为正项数列，所以q3=2.当S6+1S3取得最小值时，S6S3=1，即(a11-q)2(1-q6)(1-q3)=1，所以a11-q=-33，即可得到S9本题考查了等比数列的前n项和，通项公式和前n项和公式的灵活运用，基本不等式等属于中档题14.【答案】ln2-102,2ln4-163)【解析】【分析】推导出f(x)=lnx+1，f(x)在(0,1e)上单调递减，(1e,+)上单调递增，且f(1)=1，f(x)的函数图象开口向下，对称轴为x=6+a2，利用数形结合法求出不等式f(x)g(x)的解集中恰有两个整数是2，3，列出不等式组，能求出实数a的取值范围本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查换元法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题【解答】解：f(x)=lnx+1，故当x(0,1e)时，f(x)0，f(x)在(0,1e)上单调递减，(1e,+)上单调递增，且f(1)=1又g(x)的函数图象开口向下，对称轴为x=6+a2，要使不等式f(x)g(x)的解集中恰有两个整数，其图象如下：不等式f(x)g(x)的解集中恰有两个整数是1，2，f(1)g(1)f(2)g(2)f(3)g(3)，无解，不等式f(x)g(x)的解集中恰有两个整数是2，3，解得ln2-102a2ln4-163实数a的取值范围是ln2-102，2ln4-163).故答案为：ln2-102，2ln4-163).15.【答案】(本题满分为12分)解：(1)(b-c)2=a2-bc，可得：b2+c2-a2=bc，由余弦定理可得：cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，又A(0,)，A=3(2)由sinC=2sinB及正弦定理可得：c=2b，a=3，A=3，由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=3b2，解得：b=3，c=23，SABC=12bcsinA=1232332=332【解析】(1)由已知等式可得b2+c2-a2=bc，由余弦定理可得cosA=12，结合范围A(0,)，即可求得A的值(2)由sinC=2sinB及正弦定理可得c=2b，又a=3，A=3，由余弦定理可解得b，c的值，利用三角形面积公式即可得解本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16.【答案】解：(1)设D(t,0)(0t1)，由题易知C(-22,22)，所以OC+OD=(-22+t,22)所以|OC+OD|2=12-2t+t2+12=t2-2t+1=(t-22)2+12(0t1)，所以当t=22时，|OC+OD|最小，为22(2)由题意，得C(cosx，sinx)，m=BC=(cosx+1，sinx)，则mn=1-cos2x+sin2x-2sinxcosx=1-cos2x-sin2x=1-2sin(2x+4)，因为x0,2，所以42x+454，所以当2x+4=2，即x=8时，sin(2x+4)取得最大值1，所以mn的最小值为1-2，此时x=8【解析】(1)设D(t,0)(0t1)，利用二次函数的性质求得它的最小值(2)由题意得mn=1-2sin(2x+4)，再利用正弦函数的定义域和值域求出它的最小值本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题17.【答案】解：(1)连接CO并延长交半圆于M，则AOM=COD=4，故4，同理可得34，4,34.过O作OGBC于G，则OG=1，GOF=|2-|，OF=1cos|2-|=1sin，又AE=，T()=5v+16v+16vsin，4,34.(2)T()=15v-cos6vsin2=6sin2-5cos30vsin2=-6cos2-5cos+630vsin2，令T()=0可得-6cos2-5cos+6=0，解得cos=23或cos=-32(舍)设cos0=23，04,34，则当40时，T()0，当00，当=0，T()取得最小值故cos=23时，时间T最短【解析】(1)求出小球的运动路程，得出T()的解析式；(2)利用导数判断函数单调性，求出函数的最小值对应的cos的值即可本题考查了函数解析式，函数单调性与最值的计算，属于中档题18.【答案】解：(1)当f(x)=3x+2时，方程f(t+2)=f(t)+f(2)3t+8=3t+10(2分) 此方程无解，所以不存在实数t，使得f(t+2)=f(t)+f(2)，故f(x)=3x+2不属于集合M. (4分) (2)由f(x)=lgax2+2属于集合M，可得方程lga(x+2)2+2=lgax2+2+lga6有实解a(x+2)2+2=6(x2+2)有实解(a-6)x2+4ax+6(a-2)=0有实解，(7分) 若a=6时，上述方程有实解；若a6时，有=16a2-24(a-6)(a-2)0，解得12-63a12+63，故所求a的取值范围是12-63,12+63. (10分) (3)当f(x)=2x+bx2时，方程f(x+2)=f(x)+f(2)2x+2+b(x+2)2=2x+bx2+4+4b32x+4bx-4=0，(12分) 令g(x)=32x+4bx-4，则g(x)在R上的图象是连续的，当b0时，g(0)=-10，故g(x)在(0,1)内至少有一个零点；当b0时，g(0)=-10，故g(x)在(1b,0)内至少有一个零点；故对任意的实数b，g(x)在R上都有零点，即方程f(x+2)=f(x)+f(2)总有解，所以对任意实数b，都有f(x)M.(16分)【解析】(1)利用f(x)=3x+2，通过f(t+2)=f(t)+f(2)推出方程无解，说明f(x)=3x+2不属于集合M.(2)由f(x)=lgax2+2属于集合M，推出lga(x+2)2+2=lgax2+2+lga6有实解，即(a-6)x2+4ax+6(a-2)=0有实解，若a=6时，若a6时，利用判断式求解即可(3)当f(x)=2x+bx2时，方程f(x+2)=f(x)+f(2)32x+4bx-4=0，令g(x)=32x+4bx-4，则g(x)在R上的图象是连续的，当b0时，当b1时，f(x)=x3+3x-3，f(2)=11.由，得所以y=f(x)在x=2处的切线方程为y=15(x-2)+11即15x-y-19=0(2)当a-1时，得f(x)=x3+3x-3a，因为 0/，所以f(x)在-1,1单调递增，所以f(x)min=f(-1)=-4-3a当a1时，得f(x)=x3-3x+3a，因为，所以f(x)在-1,1单调递减，所以f(x)min=f(1)=-2+3a当-1a1时，f(x)=x3+3x-3a,ax1x3-3x+3a,-1xa由知：函数f(x)在(-1,a)单调递减，(a,1)单调递增，所以f(x)min=f(a)=a3综上，当a-1，f(x)min=-4-3a；当-1a0，且任意x1有f(x+a)-f(1+a)15a2lnx，即对任意x1有(x+a)3+3x-15a2lnx-(a+1)3-30设g(x)=(x+a)3+3x-15a2lnx-(a+1)3-3，则g(1)=0，设，因为a0，x1，所以 0/，所以h(x)在1,+)单调递增，所以h(x)h(1)，即，1当即01时，因为 0/，且在1,+)单调递增，所以存在唯一的x01，使得，因此当1xx0时 0/；所以g(x)在(1,x0)单调递减，(x0,+)单调递增所以g(x0)g(1)=0，不满足题意综上，01时，f(x)=x3+3x-3，f(2)=11.由，得由此利用导数的几何意义能求出y=f(x)在x=2处的切线方程(2)当a-1时，得f(x)=x3+3x-3a，由 0/，得到f(x)min=f(-1)=-4-3a.当a1时，得f(x)=x3-3x+3a，由，得到f(x)min=f(1)=-2+3a.当-1a1时，f(x)=x3+3x-3a,ax1x3-3x+3a,-10，且任意x1有f(x+a)-f(1+a)15a2lnx，即对任意x1有(x+a)3+3x-15a2lnx-(a+1)3-30.设g(x)=(x+a)3+3x-15a2lnx-(a+1)3-3，则g(1)=0，设，则 0/，由此利用导数性质能求出结果本题考查切线方程、函数的最小值、实数的取值范围的求法，考查导数的几何意义、导数性质、函数最值、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20.【答案】()解：对于数列an，an+m=anam=53(53n+m-1)an，所以an不是指数型数列对于数列bn，对任意n，mN*，因为bn+m=4n+m=4n4m=bnbm，所以bn是指数型数列()证明：由题意，1an+1，是“指数型数列”，an=2anan+1+3an+1，1an+1=3an+21an+1+1=3(1an+1)，所以数列1an+1是等比数列，1an+1=(1an+1)3n-1=3n，(1an+1)(1am+1)=3n3m=3m+n=(1an+m+1)，数列1an+1是“指数型数列”()证明：因为数列an是指数数列，故对于任意的n，mN*，有an+m=anam，an+1=ana1an=a1n=(a+1a+2)n，假设数列an中存在三项au，av，aw构成等差数列，不妨设uvw，则由2av=au+aw，得2(a+1a+2)v=(a+1a+2)u+(a+1a+2)w，所以2(a+2)w-v(a+1)v-u=(a+2)w-u+(a+1)w-u，当t为偶数时，2(a+2)w-v(a+1)v-u是偶数，而(a+2)w-u是偶数，(a+1)w-u是奇数，故2(a+2)w-v(a+1)v-u=(a+2)w-u+(a+1)w-u不能成立；当t为奇数时，2(a+2)w-v(a+1)v-u是偶数，而(a+2)w-u是奇数，(a+1)w-u是偶数，故2(a+2)w-v(a+1)v-u=(a+2)w-u+(a+1)w-u也不能成立所以，对任意aN*，2(a+2)w-v(a+1)v-u=(a+2)w-u+(a+1)w-u不能成立，即数列an的任意三项都不成构成等差数列【解析】()利用指数数列的定义，判断即可；()利用a1=12，an=2anan+1+3an+1(nN*)，说明数列1an+1是等比数列，然后证明数列1an+1为“指数型数列”；()利用反证法，结合n为偶数以及奇数进行证明即可本题考查指数数列的定义，考查反证法的运用，正确理解与运用新定义是关键21.【答案】解：设A-1=abcd，AA-1=1001，c=1d=02a+3c=02b+3d=1，即a=-32b=12c=1d=0，A-1=-321210，A-1B=-52420【解析】根据矩阵乘法法则计算本题考查了矩阵乘法计算，属于基础题22.【答案】解：f()=-1-21-4=2-5+6，由f()=0，解得=2或3当=2时，对应的一个特征向量为1=12；当=3时，对应的一个特征向量为2=11设35=m12+n11，解得m=2n=1A5a=22512+13511=371307【解析】令f()=-1-21-4=2-5+6=0，解得=2或3.分别对应的一个特征向量为12；11.设35=m12+n11.解得m，n，即可得出本题考查了矩阵与变换、特征向量，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23.【答案】解：因为PAPD，PAAB，ADAB，以A为坐标原点AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，不妨设AD=1，则各点坐标为A(0,0，0)B(0，2，0)，C(1,1，0)，D(1,0，0)，P(0,0，1)，M(0,1，12) (1)因AC=(1,1,0),PB=(0,2,-1)，故|AC|=2,|PB|=5,ACPB=2，所以cos=ACPB|AC|PB|=105(2)由题得：平面PMC的法向量为n1=(x1,y1,z1)，PM=(0,1,-12),PC=(-1,-1,1) 所以n1PM=y1-z12=0n1PC=-x1-y1+z1=0 解得：n1=(1,1,2) 同理设平面AMC的法向量为n2=(x2,y2,z2)，AM=(0,1,12),AC=(1,1,0) 所以n2AM=y2+z22=0n2AC=x2+y2=0 解得：n2=(1,-1,2) 故co