第九章 微分方程与差分方程简介.ppt

1 第九章微分方程与差分方程简介 第一节微分方程的一般概念第二节一阶微分方程第三节几种二阶微分方程第四节二阶常系数线性微分方程 在科学研究中 常常需要寻求变量间的函数关系 但有时这种关系不能直接得到 而只能建立待求变量间的导数或微分关系 这类含有未知函数的导数或微分的关系 即是微分方程 通过解微分方程才能得到所求函数关系 8 10学时 2 第一节微分方程的一般概念 例1 设曲线y f x 过点 1 2 且其上各点的切线斜率等于该点横坐标的2倍 则有 将x 1时y 2代入 3 第一节微分方程的一般概念 例2 设s s t 为作自由落体运动的物体在t时刻的下落距离 则有 4 第一节微分方程的一般概念 定义9 1 微分方程 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程 微分方程的阶方程中出现的未知函数的各阶导数的最高阶数 称为微分方程的阶 定义9 2 微分方程的解 如果一个函数代入微分方程后 方程两端恒等 则称此函数为该微分方程的解 5 第一节微分方程的一般概念 定义9 3 微分方程的通解和特解 如果微分方程的解中所含任意常数的个数等于微分方程的阶数 则此解称为微分方程的通解 初始条件用于确定通解中的任意常数的条件称为初始条件 在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解称为特解 6 第一节微分方程的一般概念 1 微分方程 ordinarydifferentialequation 2 微分方程的阶 order 3 微分方程的解 solution 4 微分方程的通解 generalsolution 5 微分方程的特解 particularsolution 6 微分方程的初始条件 initialcondition 7 第二节一阶微分方程 一 可分离变量的一阶微分方程变量已分离的微分方程 积分 可分离变量的微分方程 分离变量 分离变量 8 一 可分离变量的微分方程 例1 马尔萨斯人口模型 或 若 则有 故 解 9 一 可分离变量的微分方程 例2 积分变量 解 10 称它们为方程的奇解或包络 一 可分离变量的微分方程 例3 显然 也是该方程的解 但它们不包含 在方程的通解中 二 齐次微分方程 解 11 二 齐次微分方程 如果方程F x y y 0能够写成形如 的形式 则方程F x y y 0称为齐次微分方程 例如 12 二 齐次微分方程 齐次方程的解法 13 二 齐次微分方程 例 令 则 14 三 一阶线性微分方程 linearfirstorderdifferentialequation 齐次 homogeneous 非齐次 inhomogeneous 15 三 一阶线性微分方程 对 求导 将 代入方程 可得 16 三 一阶线性微分方程 将 代入 得 齐次通解 非齐次特解 返回 17 三 一阶线性微分方程 例1 得 故 由 常数变易 代入非齐次方程 得 将 解 18 三 一阶线性微分方程 例2 因 故 解 19 三 一阶线性微分方程 例3 解 20 三 一阶线性微分方程 常数变易 故 21 三 一阶线性微分方程 因 故 22 三 一阶线性微分方程 例4 设某种商品的供给量QS与需求量QD是只依赖于价格P的线性函数 且a b c d都是已知的正常数 当QS QD时 得 均衡价格 当QS QD时 价格将下降 当QS QD时 价格将上涨 故价格是时间t的函数 假设在时刻t价格P t 的变化率与这时的过剩需求量 成正比 即 则 23 第三节几种二阶微分方程 一 最简单的二阶微分方程 解 例1 求解微分方程 24 二 不显含未知函数y的二阶微分方程 令 则 于是 例2 求解微分方程 解 设 则 代入方程得 25 故 二 不显含未知函数y的二阶微分方程 由 代入 代入 即 26 故 二 不显含未知函数y的二阶微分方程 或由 代入 代入 即 27 三 不显含自变量x的二阶微分方程 令 则 于是 例3 求解微分方程 解 设 则 代入方程得 28 三 不显含自变量x的二阶微分方程 由 由 包含在上述通解中 代入 代入 故 为所求特解 29 三 不显含自变量x的二阶微分方程 或由 代入 代入 故 为所求特解 而由 与 矛盾 即 30 练习题及解答 1 求解微分方程 法一 令 则 代入原方程 31 练习题及解答 1 求解微分方程 代入 矛盾 故 代入 因 故 32 练习题及解答 1 求解微分方程 法二 令 则 代入原方程 33 练习题及解答 1 求解微分方程 代入 故 代入 因 故 34 练习题及解答 2 解 令 故所求通解为 35 第四节二阶常系数线性微分方程 二阶常系数线性微分方程 齐次 非齐次 二阶常系数线性齐次微分方程 36 一 二阶常系数线性齐次方程 叠加原理 方程 和 的解 的线性组合 仍是该方程的解 证明 37 一 二阶常系数线性齐次方程 定理9 1如果y1 y2是方程y py qy 0的两个特解 而且y1 y2不等于常数 则y C1y1 C2y2是该方程的通解 其中C1与C2为任意常数 线性无关 线性相关 38 一 二阶常系数线性齐次方程 将 代入方程 特征方程 characteristicequation 特征根 characteristicroot 39 一 二阶常系数线性齐次方程 1 当 故为所求通解 故所求通解为 时 方程 的特解 和 线性无关 例1 解 特征方程 特征根 40 一 二阶常系数线性齐次方程 2 当 故所求通解为 时 方程 的特解为 为求与 线性无关的解 设 得 代入方程 中 41 一 二阶常系数线性齐次方程 例2 故为所求特解 解 特征方程 特征根 即 为所求通解 42 一 二阶常系数线性齐次方程 3 当 得 时 的特解 和 得的方程 由欧拉公式 故有 43 一 二阶常系数线性齐次方程 因 故为所求通解 故所求实数形式的通解为 例3 解 特征方程 特征根 44 一 二阶常系数线性齐次方程 例4 解 特征方程 特征根 故所求通解为 45 一 二阶常系数线性齐次方程 例5 解 特征方程 特征根 故所求通解为 46 一 二阶常系数线性齐次方程 练习题 如果是方程的解 则a 2 解 特征方程为 47 二 二阶常系数线性非齐次方程 定理9 2 非齐次方程解的结构 若 是非齐次方程 的任意一个特解 是对应的齐次方程 的通解 则 是非齐次方程 的通解 48 二 二阶常系数线性非齐次方程 1 例1 49 二 二阶常系数线性非齐次方程 50 二 二阶常系数线性非齐次方程 51 二 二阶常系数线性非齐次方程 52 二 二阶常系数线性非齐次方程 53 二 二阶常系数线性非齐次方程 54 二 二阶常系数线性非齐次方程 55 二 二阶常系数线性非齐次方程 56 二 二阶常系数线性非齐次方程例1 例1 解 57 二 二阶常系数线性非齐次方程 58 二 二阶常系数线性非齐次方程 59 二 二阶常系数线性非齐次方程 2 60 二 二阶常系数线性非齐次方程例2 例2 解 61 二 二阶常系数线性非齐次方程 由 62 二 二阶常系数线性非齐次方程 将 63 二 二阶常系数线性非齐次方程例3 例3 解 64 二 二阶常系数线性非齐次方程 由