题型五 二次函数与几何图形综合题.doc

目录目录 题型五题型五 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 2 类型一类型一 与特殊三角形形状有关与特殊三角形形状有关 2 类型二类型二 与特殊四边形形状有关与特殊四边形形状有关 8 类型三类型三 与三角形相似有关与三角形相似有关 18 类型四类型四 与图形面积函数关系式 最值有关与图形面积函数关系式 最值有关 23 类型五类型五 与线段 周长最值有关与线段 周长最值有关 29 题型五题型五 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 类型一类型一 与特殊三角形形状有关与特殊三角形形状有关 针对演练针对演练 1 16 原创 如图 已知抛物线 y x2 bx c 的对称轴为 x 1 与 y 轴的交点第 1 题 图 C 为 0 3 与 x 轴交于点 A B 顶点为 D 1 求抛物线的解析式 2 求 A B D 的坐标 并确定四边形 ABDC 的面积 3 点 P 是 x 轴上的动点 连接 CP 若 CBP 是等腰三角形 求点 P 的坐标 2 15 长沙模拟 如图 抛物线 y ax2 bx c 的图象过点 M 2 顶点为3 N 1 与 x 轴交于点 A B 点 A 在点 B 的右侧 与 y 轴交于点 C 4 3 3 1 求抛物线解析式 2 判断 ABC 的形状 并说明理由 3 若点 Q 是抛物线对称轴上一点 当 QBC 是直角三角形时 求点 Q 的坐 标 3 16 原创 如图 抛物线 y x2 mx n 与 x 轴交于点 A B 两点 与 y 轴 1 2 交于点 C 其对称轴与 x 轴的交点为 D 已知 A 1 0 C 0 2 1 求抛物线的解析式 2 判断 ACD 的形状 并说明理由 3 在抛物线对称轴上是否存在一点 P 使得 PBC 是以 P 为直角顶点的直 角三角形 若存在 求点 P 的坐标 若不存在 说明理由 4 如图 已知二次函数 L1 y x2 4x 3 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左 边 与 y 轴交于点 C 1 写出 A B 两点的坐标 2 二次函数 L2 y kx2 4kx 3k k 0 顶点为 P 直接写出二次函数 L2与二次函数 L1有关图象的两条相同的性质 是否存在实数 k 使 ABP 为等边三角形 如果存在 请求出 k 的值 如不 存在 请说明理由 若直线 y 8k 与抛物线 L2交于 E F 两点 问线段 EF 的长度是否会发生变化 如果不会 请求出 EF 的长度 如果会 请说明理由 答案答案 1 解 解 1 抛物线 y x2 bx c 的对称轴为 1 1 2 b x 解得 b 2 抛物线过点 C 0 3 c 3 抛物线解析式为 y x2 2x 3 2 由抛物线 y x2 2x 3 令 y 0 得 x2 2x 3 0 解得 x1 1 x2 3 点 A 1 0 点 B 3 0 当 x 1 时 y 12 2 3 4 点 D 的坐标为 1 4 如解图 过 D 作 DM AB 于 M 则 OM 1 DM 4 S四边形 ABDC S AOC S四边形 OMDC S BMD AO OC OC MD OM BM DM 1 2 1 2 1 2 1 3 3 4 1 4 2 1 2 1 2 1 2 9 3 设点 P 的坐标为 t 0 则 PC 2 t 2 32 PB 2 3 t 2 BC 2 32 32 18 若 PBC 是等腰三角形 则有 PC 2 PB 2 即 t 2 9 3 t 2 解得 t 0 此时点 P 的坐标为 0 0 PC 2 BC 2 则 t 2 9 18 解得 t 3 舍 或 t 3 此时点 P 的坐标为 3 0 PB 2 BC 2则 3 t 2 18 解得 t 3 或 t 3 3 23 2 此时点 P 的坐标为 3 0 或 3 0 3 23 2 2 解 解 1 由抛物线的顶点为 N 1 故设抛物线的顶点式为 y a x 1 4 3 3 2 4 3 3 将点 M 2 代入解析式得 3 a 2 1 2 3 4 3 3 解得 a 3 3 抛物线的解析式为 y x 1 2 3 3 4 3 3 即 y x2x 3 3 2 3 3 3 2 对于抛物线 y x2 x 令 y 0 3 3 2 3 3 3 得x2 x 0 3 3 2 3 3 3 解得 x1 1 x2 3 点 A 1 0 点 B 3 0 令抛物线 x 0 得 y 3 点 C 的坐标为 0 3 AB 2 42 16 AC 2 12 2 4 BC 2 32 2 12 33 AB 2 AC 2 BC 2 ABC 是直角三角形 3 由抛物线顶点 N 1 知抛物线的对称轴为 x 1 4 3 3 设点 Q 的坐标为 1 t 则 BQ 2 3 1 2 t 2 4 t 2 CQ 2 1 2 t 2 t 2 t 4 BC 2 12 32 3 要使 BQC 是直角三角形 当 BQC 90 则 BQ 2 QC 2 BC 2 即 4 t 2 t 2 t 4 12 2 3 解得 t1 t2 此时点 Q 的坐标为 1 或 1 3 2 11 2 3 2 2 3 3 2 11 2 3 2 11 2 当 QBC 90 则 BQ 2 BC 2 QC 2 即 4 t 2 12 t 2 t 4 解得 t 此时点 Q 的坐标为 1 2 32 32 3 当 BCQ 90 时 则 QC 2 BC 2 BQ 2 即 t 2 t 4 12 4 t 2 解得 t 此时点 Q 的坐标为 1 2 32 32 3 综上 当 QBC 是直角三角形时 点 Q 坐标为 1 311 2 1 2 3 3 解 解 1 点 A 1 0 C 0 2 在抛物线上 解得 1 0 2 2 mn n 3 2 2 m n 抛物线解析式为 y x2 x 2 1 2 3 2 2 ACD 是等腰三角形 理由 抛物线 y x2 x 2 的对称轴为直线 x 1 2 3 2 3 2 点 D 0 3 2 A 1 0 C 0 2 AC AD 1 CD 5 3 2 5 2 22 35 2 22 AD CD AC ACD 是等腰三角形 3 令抛物线 y x2 x 2 0 得 x1 1 x2 4 1 2 3 2 点 B 的坐标为 4 0 则 BC 2 5 取 BC 的中点为 S 则点 S 的坐标为 2 1 设点 P t 3 2 则 PS BC 即 2 2 t 1 2 5 1 2 5 3 2 解得 t1 1 t2 1 19 2 19 2 存在这样的点 P 其坐标为 1 或 1 3 2 19 2 3 2 19 2 4 解 解 1 当 y 0 时 x2 4x 3 0 x1 1 x2 3 即 A 1 0 B 3 0 2 二次函数 L2与 L1有关图象的两条相同的性质 对称轴都为直线 x 2 或顶点的横坐标都为 2 都经过 A 1 0 B 3 0 两点 存在实数 k 使 ABP 为等边三角形 y kx2 4kx 3k k x 2 2 k 顶点 P 2 k A 1 0 B 3 0 AB 2 要使 ABP 为等边三角形 必满足 k 3 k 3 线段 EF 的长度不会发生变化 直线 y 8k 与抛物线 L2交于点 E F 两点 kx2 4kx 3k 8k k 0 x2 4x 3 8 x1 1 x2 5 EF x2 x1 6 线段 EF 的长度不会发生变化且 EF 6 类型二类型二 与特殊四边形形状有关与特殊四边形形状有关 针对演练针对演练 1 抛物线 y x2 bx c 经过 A 0 2 B 3 2 两点 点 D 在 x 轴的正半轴 1 求抛物线与 x 轴的交点坐标 2 若点 C 为抛物线与 x 轴的交点 是否存在点 D 使 A B C D 四点围 成的四边形是平行四边形 若存在 求点 D 的坐标 若不存在 说明理由 2 如图 已知平面直角坐标系 xOy 中 O 是坐标原点 抛物线 y x2 bx c c 0 的顶点 D 在第二象限 与 y 轴的交点为 C 过点 C 作 CA x 轴交抛物线于点 A 在 AC 延长线上取点 B 使 AC 2BC 连接 OA OB BD 和 AD 1 若点 A 的坐标为 4 4 求抛物线的解析式 2 在 1 的条件下 求直线 BD 的解析式 3 是否存在 b c 使得四边形 AOBD 是矩形 若存在 直接写出 b 与 c 的关 系式 若不存在 说明理由 3 如图 已知直线 y x 8 与 x 轴交于点 A 与 y 轴交于点 B C 是线段 AB 4 3 的中点 抛物线 y ax2 bx c a 0 过 O A 两点 且其顶点的纵坐标为 4 3 1 分别写出 A B C 三点的坐标 2 求抛物线的函数解析式 3 在抛物线上是否存在点 P 使得以 O P B C 为顶点的四边形是菱形 若 存在 求所有满足条件的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 4 15 毕节 16 分 如图 抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于 A 1 0 B 3 0 两点 顶点 M 关于 x 轴的对称点是 M 第 4 题图 1 求抛物线的解析式 2 若直线 AM 与此抛物线的另一个交点为 C 求 CAB 的面积 3 是否存在过 A B 两点的抛物线 其顶点 P 关于 x 轴的对称点为 Q 使得 四边形 APBQ 为正方形 若存在 求出此抛物线的解析式 若不存在 请说明理 由 5 15 黄冈 14 分 如图 在矩形 OABC 中 OA 5 AB 4 点 D 为边 AB 上一 点 将 BCD 沿直线 CD 折叠 使点 B 恰好落在 OA 边上的点 E 处 分别以 OC OA 所在的直线为 x 轴 y 轴建立平面直角坐标系 1 求 OE 的长 2 求经过 O D C 三点的抛物线的解析式 3 一动点 P 从点 C 出发 沿 CB 以每秒 2 个单位长的速度向点 B 运动 同 时动点 Q 从 E 点出发 沿 EC 以每秒 1 个单位长的速度向点 C 运动 当点 P 到 达点 B 时 两点同时停止运动 设运动时间为 t 秒 当 t 为何值时 DP DQ 4 若点 N 在 2 中的抛物线的对称轴上 点 M 在抛物线上 是否存在这样 的点 M 与点 N 使得以 M N C E 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 请求出 M 点的坐标 若不存在 请说明理由 答案答案 1 解解 1 把 A 0 2 B 3 2 代入 y x2 bx c 得 解得 2 932 c bc 3 2 b c 抛物线的解析式为 y x2 3x 2 当 y 0 时 x2 3x 2 0 解得 x1 1 x2 2 抛物线与 x 轴的交点坐标为 1 0 2 0 2 存在 理由 A 0 2 B 3 2 AB x 轴 且 AB 3 要使 A B C D 四点为顶点的四边形是平行四边形 则只要 CD AB 3 当 C 点坐标为 1 0 时 D 坐标为 4 0 当 C 点坐标为 2 0 时 D 坐标为 5 0 存在点 D 使以 A B C D 四点为顶点的四边形是平行四边形 D 点的坐 标为 4 0 或 5 0 2 解 解 1 CA x 轴 点 A 的坐标为 4 4 点 C 的坐标为 0 4 将点 A 与点 C 代入 y x2 bx c 得 解得 1644 4 bc c 4 4 b c 抛物线的解析式为 y x2 4x 4 2 AC 2BC BC 2 点 B 的坐标为 2 4 由抛物线 y x2 4x 4 得顶点 D 的坐标为 2 8 设直线 BD 的解析式为 y kx m 则 解得 28 24 km km 1 6 k m 直线 BD 的解析式为 y x 6 3 存在 b 与 c 的关系式为 b c 2 解法提示解法提示 点 C 的坐标为 0 c 抛物线的对称轴为 x 0 即 2 b b 0 AC x 轴 点 A 的坐标为 b c AC 2BC 点 B 的坐标为 c 2 b 则 AB 的中点坐标为 c 4 b 若四边形 AOBD 是矩形 则需 OD 的中点坐标为 c OD AB 4 b 由 得点 D 的坐标为 2c 4 b 由 得 2 2 2c 2 整理得 2c2 b2 3 2 b 4 b c 0 b 0 b c 2 3 解 解 1 令 y 0 即 x 8 0 得 x 6 A 点坐标为 6 0 4 3 令 x 0 则 y 8 B 点坐标为 0 8 C 点坐标为 3 4 2 点 C 在抛物线的对称轴上 抛物线顶点坐标为 3 4 3 依题意有 解得 0 3660 4 93 3 c abc abc 4 27 8 9 0 a b c 抛物线的函数解析式为 2 48 279 yxx 3 存在 AOB 90 A 6 0 B 0 8 2222 6810ABOAOB C 是 AB 的中点 OC AB BC 5 1 2 OB 8 OB OC 且 OB BC 当以 O P B C 为顶点的四边形是菱形时 OB 是菱形的对角线 连接 PC 则 OB 是 PC 的垂直平分线 点 P 与点 C 关于 y 轴对称 C 3 4 P 3 4 把点 P 3 4 代入抛物线解析式得 2 48 279 yxx 当 x 3 时 y 3 2 3 4 4 27 8 9 点 P 3 4 在抛物线上 故在抛物线上存在点 P 使以 O P B C 为顶点的四边形是菱形 且点 P 的 坐标是 3 4 4 解 解 1 抛物线与 x 轴交于点 A 1 0 B 3 0 抛物线的解析式为 y x 1 x 3 x2 2x 3 4 分 2 抛物线 y x2 2x 3 x 1 2 4 点 M 的坐标为 1 4 点 M 与点 M 关于 x 轴对称 点 M 的坐标为 1 4 6 分 设直线 AM 的解析式为 y kx m 将点 A 1 0 点 M 1 4 代入得 解得 0 4 km km 2 2 k m 直线 AM 的解析式为 y 2x 2 8 分 将直线 AM 与抛物线 y x2 2x 3 联立得 解得 2 22 23 yx yxx 1 1 1 0 x y 2 2 5 12 x y 点 C 的坐标为 5 12 10 分 又 AB 3 1 4 S CAB 4 12 24 12 分 1 2 3 四边形 APBQ 是正方形 PQ 垂直且平分 AB 且 PQ AB 设 PQ 与 x 轴交点为 N 则 PN AB 2 1 2 抛物线的对称轴为 x 1 点 P 的坐标为 1 2 或 1 2 13 分 设过 A B 两点的抛物线的解析式为 y a x 1 x 3 将点 1 2 代入得 a 1 2 此时抛物线解析式为 y x 1 x 3 x2 x 15 分 1 2 1 2 3 2 将点 1 2 代入得 a 1 2 此时抛物线解析式为 16 分 2 113 1 3 222 yxxxx 5 解解 1 四边形 OABC 为矩形 BC OA 5 OC AB 4 COA 90 又 CED 是 BCD 沿直线 CD 折叠得到的 点 B 的对应点为点E CE BC 5 在 Rt COE 中 OE 2 CE 2 OC 2 OE 22 54 OE 3 2 分 2 设 AD m 则 DE BD 4 m OE 3 AE OA OE 5 3 2 在 Rt ADE 中 AD 2 AE 2 DE 2 即 m 2 22 4 m 2 m 3 2 D 5 4 分 3 2 又 C 4 0 O 0 0 设过 O D C 三点的抛物线的解析式为 y ax x 4 5 a 4 3 2 3 2 a 4 3 经过 O D C 三点的抛物线的解析式为 y x2 x 6 分 4 3 16 3 3 由于运动时间为 t 秒 则 EQ t CP 2t 如解图 BCD 沿直线 CD 折叠得到 ECD BD DE 若 DP DQ 则 Rt PBD Rt QED HL PB QE 即 CB CP EQ 5 2t t 解得 t 8 分 5 3 4 如解图 当 M 点在对称轴右侧 即为 M1点 M1N CE 且 M1N CE 时 四边形 ECNM 1为平行四边形 过 M 1作 M 1F 垂直对称轴于点 F 则 M 1FN COE FM 1 OC 对称轴为直线 x 2 此时 点 M 1的横坐标为 2 对于 y x2 x 当 x 2 时 y 16 4 3 16 3 点 M 1的坐标为 2 16 10 分 如解图 当 M 点在对称轴左侧 即为 M 2 M 2N CE 且 M 2N CE 时 四边形 ECM 2N 为平行四边形 过 M 2作 M 2F 垂直对称轴于点 F 则 M 2FN COE FM 2 OC 对称轴直线 x 2 此时 点 M 2的横坐标为 6 对于 y x2 x 当 x 6 时 y 16 4 3 16 3 点 M 2的坐标为 6 16 12 分 如解图 当 M 点在抛物线的顶点上 即为 点 M 3 CN M 3E 且 CN M 3E 时 四边形 EM 3CN 为平行四边形 CE 与 NM 3相 交于点 O 则 O 为线段 CE 的中点 又 点 M 3在对称轴上 则 M 3的横坐标为 2 对于 y x2 x 当 x 2 时 y 4 3 16 3 16 3 点 M 3的坐标为 2 16 3 综上所述 当点 M 的坐标为 2 16 6 16 2 时 以 16 3 M N C E 为顶点的四边形为平行四边形 14 分 类型三类型三 与三角形相似有关与三角形相似有关 针对演练针对演练 1 15 黔南州 12 分 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 抛物线 y x2 bx c 1 6 过点 A 0 4 和 C 8 0 P t 0 是 x 轴正半轴上的一个动点 M 是线段 AP 的中点 将线段 MP 绕点 P 顺时针旋转 90 得线段 PB 过点 B 作 x 轴的垂线 过点 A 作 y 轴的垂线 两直线相交于点 D 1 求 b c 的值 2 当 t 为何值时 点 D 落在抛物线上 3 是否存在 t 使得以 A B D 为顶点的三角形与 AOP 相似 若存在 求此 时 t 的值 若不存在 请说明理由 2 15 常德模拟 已知抛物线 y ax2 2x c 与 x 轴交于 A 1 0 B 两点 与 y 轴交于点 C 对称轴为 x 1 顶点为 E 直线 y x 1 交 y 轴于点 D 1 3 1 求抛物线的解析式 2 求证 BCE BOD 3 点 P 是抛物线上的一动点 当点 P 运动到什么位置时 BDP 的面积等 于 BOE 的面积 答案答案 解 解 1 由抛物线 y x2 bx c 过点 A 0 4 和 C 8 0 可得 1 6 解得 4 1 6480 6 c bc 5 6 4 b c 故 b 的值为 c 的值为 4 3 分 5 6 2 AOP PEB 90 OAP EPB 90 APO AOP PEB 则 2 OAAP PEPB AO 4 P t 0 PE 2 OE OP PE t 2 又 DE OA 4 点 D 的坐标为 t 2 4 点 D 落在抛物线上时 有 t 2 2 t 2 4 4 1 6 5 6 解得 t 3 或 t 2 t 0 t 3 故当 t 为 3 时 点 D 落在抛物线上 6 分 3 存在 理由 由 2 知 AOP PEB 则 2 OPAP BEPB P t 0 即 OP t BE 2 t 当 0 t 8 时 若 POA ADB 则 OPAO ADBD 即 4 1 2 4 2 t t t 整理得 t 2 16 0 t 无解 若 POA BDA 则 即 POAO BDAD 4 1 2 4 2 t t t 解得 t1 2 或 t2 2 舍去 2 52 5 当 t 8 时 如解图 若 POA ADB 则 POAO ADBD 即 4 1 2 4 2 t t t 解得 t1 8 或 t2 8 负值舍去 4 54 5 若 POA BDA 同理可得 t 无解 综上可知 当 t 2 或 8 时 以 A B D 为顶点的三角形与 AOP2 54 5 相似 12 分 2 解 解 1 由抛物线 y ax2 2x c 得 对称轴 a 1 2 1 22 b x aa 将点 A 1 0 及 a 1 代入 y ax2 2x c 中 得 1 2 c 0 c 3 抛物线的解析式 y x2 2x 3 2 由抛物线的解析式 y x2 2x 3 x 1 2 4 x 1 x 3 得点 C 0 3 B 3 0 E 1 4 易知点 D 0 1 则有 OD 1 OB 3 BD CE BC BE 1023 22 5 ODOBBD CEBCBE BCE BOD 3 S BOE BO yE 3 4 6 1 2 1 2 S BDP BD h S BOE 6 即 h 1 2 12 10 在 y 轴上取点 M 过点 M 作 MN 1 BD 于 N 1 使得 MN 1 h 12 10 在 Rt MN 1D 中 sin MDN 1 sin BDO 3 10 OB BD 且 MN 1 12 10 则 MD 4 1 1 sin MN MDN 点 M 0 3 或 0 5 过点 M 作直线 l MN 2 如解图 则直线 l y x 3 或 y x 5 1 3 1 3 联立抛物线的解析式有 或 2 1 3 3 23 yx yxx 2 1 5 3 23 yx yxx 解得 或 1 1 0 3 x y 2 2 3 5 32 9 x y 3 3 5313 6 85313 18 x y 4 4 5313 6 85313 18 x y 当点 P 的坐标为 0 3 5 3 32 9 5313 6 85313 18 时 BDP 的面积等于 BOE 的面积 5313 6 85313 18 类型四类型四 与图形面积函数关系式 最值有关与图形面积函数关系式 最值有关 针对演练针对演练 1 15 安顺 26 题 14 分 如图 抛物线 y ax2 bx 与直线 AB 交于点 A 1 0 5 2 B 4 52 点 D 是抛物线 A B 两点间部分上的一个动点 不与点 A B 重合 直线 CD 与 y 轴平行 交直线 AB 于点 C 连接 AD BD 1 求抛物线的解析式 2 设点 D 的横坐标为 m ADB 的面积为 S 求 S 关于 m 的函数关系式 并求出当 S 取最大值时的点 C 的坐标 2 15 岳阳模拟 如图 抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于 A 1 0 B 3 0 两点 1 求该抛物线的解析式 2 设 1 中的抛物线交 y 轴于 C 点 在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q 使得 QAC 的周长最小 若存在 求出 Q 点的坐标 若不存在 请说明理 由 3 在 1 中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P 使 PBC 的面积最 大 若存在 求出点 P 的坐标及 PBC 的面积最大值 若没有 请说明理由 3 15 永州模拟 如图 已知平面直角坐标系 xOy 中 抛物线 y ax2 bx c 的 对称轴为 x 0 点 A m 6 B n 1 为两动点 其中 0 m 3 连接 OA OB OA OB 1 求证 mn 6 2 当 S AOB 10 时 抛物线经过 A B 两点且以 y 轴为对称轴 求抛物线对 应的二次函数的关系式 3 在 2 的条件下 设直线 AB 交 y 轴于点 F 过点 F 作直线 l 交抛物线于 P Q 两点 问是否存在直线 l 使 S POF S QOF 1 3 若存在 求出直线 l 对应的函数关系式 若不存在 请说明理由 答案答案 1 解 解 1 由题意得 2 分 5 0 2 55 164 22 ab ab 解得 4 分 1 2 2 a b 6 分 2 15 2 22 yxx 2 设直线 AB 为 则有 ykxb 0 5 4 2 kb kb 解得 7 1 2 1 2 k b 分 直线 AB 的解析式为 8 分 11 22 yx 则 9 分 2 1511 2 2222 D mmmC mm 2 1511 2 2222 CDmmm 10 分 2 13 2 22 mm 11 1 4 22 ACDBCD SSSmCDmCD 2 1 5 2 113 5 2 222 CD mm 11 分 2 515 5 44 mm 0 5 4 抛物线开口向下 故当 m 时 S 有最大值 12 分 3 2 当 m 时 3 2 111315 222224 m 点 C 3 2 5 4 当 S 取最大值时的点 C 坐标为 14 3 2 5 4 分 2 解 解 1 将 A 1 0 B 3 0 代入 y x2 bx c 中 得 10 930 bc bc 2 3 b c 抛物线解析式为 y x2 2x 3 2 存在 理由如下 由题意知 A B 两点关于抛物线的对称轴 x 1 对称 直线 BC 与 x 1 的交点即为 Q 点 此时 AQC 的周长最 小 y x2 2x 3 C 的坐标为 0 3 直线 BC 的解析式为 y x 3 将 x 1 代入 y x 3 中 解得 y 2 Q 1 2 3 存在 理由如下 B 3 0 C 0 3 水平宽 a xC xB 0 3 3 设点 P x x2 2x 3 3 x 0 过 P 点作 PE x 轴交 x 轴于点 E 交 BC 于点 F 则 F 点坐标为 x x 3 铅垂高 h yP yF x2 2x 3 x 3 x2 3x S ah x2 3x x2 3x 1 2 3 2 3 2 9 4 9 4 x 2 3 2 3 2 27 8 当 x 时 BPC 的面积最大 最大为 3 2 27 8 当 x 时 x2 2x 3 3 2 15 4 点 P 的坐标为 3 2 15 4 3 1 证明 证明 作 BC x 轴于点 C AD x 轴于点 D A B 点坐标分别为 m 6 n 1 BC 1 OC n OD m AD 6 又 OA OB 易证 CBO DOA CBCO DODA 1 6 n m mn 6 2 解 解 由 1 知 CBO DOA 即 OA mBO 1OBBC OAODm 又 S AOB 10 OB OA 10 即 OB OA 20 3 2 mBO 2 20 又 OB 2 BC 2 OC 2 n2 1 m n2 1 20 又 mn 6 m 2 n 3 A 坐标为 2 6 B 坐标为 3 1 易得抛物线解析式为 y x2 10 3 解 解 存在 理由如下 直线 AB 的解析式为 y x 4 且与 y 轴交于点 F 0 4 OF 4 假设存在直线 l 交抛物线于 P Q 两点 使 S POF S QOF 1 3 如解图所示 则有 PF FQ 1 3 作 PM y 轴于点 M QN y 轴 于点 N 设 P 坐标为 x x2 10 PM x OM x2 10 则 FM OM OF x2 10 4 x2 6 易证 PMF QNF 1 3 PMMFPF QNFNQF QN 3PM 3x NF 3MF 3x2 18 ON NF OF 3x2 18 4 3x2 14 Q 点坐标为 3x 3x2 14 Q 点在抛物线 y x2 10 上 3x2 14 9x2 10 解得 x1 x2 22 P 1 8 Q 1 3 8 22 P 2 8 Q 2 3 8 22 易得直线 PQ 的函数关系式为 y 2x 4 或 y 2x 4 22 类型五类型五 与线段 周长最值有关与线段 周长最值有关 针对演练针对演练 1 如图 已知抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于 O B 两点 其中 O 为原点 且 OB 6 抛物线的顶点为 A 若点 M 1 是抛物线上一点 20 9 1 求抛物线的解析式 2 若 N 为抛物线对称轴上一个动点 当 NO NM 的值最小时 求点 N 的坐标 2 15 枣庄 10 分 如图 直线 y x 2 与抛物线 y ax2 bx 6 a 0 相交于 A 和 B 4 m 两点 点 P 是线段 AB 上异于 A B 的动点 过点 P 1 2 5 2 作 PC x 轴于点 D 交抛物线于点 C 1 求抛物线的解析式 2 是否存在这样的点 P 使线段 PC 的长有最大值 若存在 求出这个最大 值 若不存在 请说明理由 3 当 PAC 为直角三角形时 求点 P 的坐标 3 15 沈阳 14 分 如图 在平面直角坐标系中 抛物线与 2 24 2 33 yxx x 轴交于 B C 两点 点 B 在点 C 的左侧 与 y 轴交于点 A 抛物线的顶点为 D 1 填空 点 A 的坐标为 点 B 的坐标为 点 C 的坐标为 点 D 的坐标为 2 点 P 是线段 BC 上的动点 点 P 不与点 B C 重合 过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 E 若 PE PC 求点 E 的坐标 在 的条件下 点 F 是坐标轴上的点 且点 F 到 EA 和 ED 的距离相等 请 直接写出线段 EF 的长 若点 Q 是线段 AB 上的动点 点 Q 不与点 A B 重合 点 R 是线段 AC 上的动 点 点 R 不与点 A C 重合 请直接写出 PQR 周长的最小值 温馨提示 可以根据题意 在备用图中补充图形 以便作答 答案答案 解 解 1 由对称性得抛物线与 x 轴的交点为 O 0 0 B 6 0 设抛物线的解析式为 y a x 0 x 6 M 1 是抛物线上一点 20 9 a 1 5 a 20 9 4 9 抛物线的解析式为 y x2 x 4 9 8 3 2 抛物线对称轴为 x 3 点 O B 关于对称轴对称 连接 MB 交对称轴于 N 如解图 这时 NO NM 的值最小 设 MB 的解析式为 y k1x b1 将 B 6 0 M 1 代入 MB 的解析式中 20 9 得 解得 11 11 06 20 9 kb kb 1 1 4 9 8 3 k b 易得直线 MB 的解析式为 48 93 yx 当 x 3 时 y 4 3 N 3 4 3 2 解 解 1 B 4 m 在直线 y x 2 上 m 4 2 6 B 4 6 点 A B 4 6 在抛物线 y ax2 bx 6 上 1 2 5 2 解得 2 2 115 6 222 4466 b ab 2 8 a b 抛物线的解析式为 y 2x2 8x 6 3 分 2 设动点 P 的坐标为 n n 2 则点 C 的坐标为 n 2n2 8n 6 PC n 2 2n2 8n 6 2n2 9n 4 2 n 2 9 4 49 8 当 n 时 线段 PC 取得最