第二习题辅导.doc

线代辅导21检验下列集合对指定的加法和数量乘法, 是否构成所给域上的线性空间.若是，给出基和维数。(5,6) C(C); C(R); R(C); R(R)；Q(R) 对通常数的加法和数量乘法。解 1；1, i; 不是; 1; 不是。(2) R2(R) 对向量加法和如下定义的数量乘法： 1。解 都不是。因为1中。(10） 对通常的函数加法和数与函数的乘法。解 V1是，V2不是。(12) 平面上终点在第一象限的向量对向量加法数量乘法。解 不是。2. 判断下列子集是否为给定线性空间的子空间(对中的子集并说明其几何意义)：(1)答是。与向量（a1,a2,an）正交的过原点的n维平面上的全体向量。(5) 答是。(p+q)(1)=0; (kp)(1)=0,p(x), q(x) Wi.(6) 其中F(R,R)是所有实变量的实值函数对通常的函数加法及数与函数的乘法在实数域上构成的线性空间.答：是。偶函数的和与数乘还是偶函数。加题f(-x)= f(x)偶函数集且f(0)=1，则不是其子空间.因为加法没有单位元。4. 设, , 如果证明.证明所以a1, a2与a2, a3等价。6.设, 问下列属于吗？如属于, 它们由线性表示唯一吗？为什么？(1) (2) 答： 7. 判别下列向量组的线性相关性：(1) 答: a2= a3 -a1.相关(2)答：b3= 3b1 +b2相关(3) 其中常数答：k1+k2 (x-x0)+k3 (x-x0)2=0 k1=k2 =k3=0. 无关。10. 下列命题是否正确？如正确, 证明之, 如不正确, 举反例.(1) 若线性相关, 则其中每一向量都是其余向量的线性组合.答：否。如a2, a1线性无关, a2, -a1, a1线性相关.a2不是其余向量的线性组合.(2) 若线性无关, 则其中每一向量都不是其余向量的线性组合, 这个命题的等价命题应如何叙述？答：若存在一向量是其余向量的线性组合,则线性相关。(3) 线性无关的充要条件是任意两个向量都线性无关.答：对；不对(4) 若线性相关, 线性相关, 则也线性相关.答：否。(5) 若线性无关, 则也线性无关.答：n为偶数时相关；n为奇数时无关.因为(6) 若线性相关, 则也线性相关.答：是。不妨设(7) 设是的一组基, 非零向量, 则也是的一组基.答：不对。取(8) 设是的一组基, 则也是的一组基.答：是。因为(9) 一个有限维线性空间只含有有限个子空间.答：否，如过原点的平面，其上过原点的直线。(10) 如果是的两个子空间, 分别是的基,则存在的一组基B, 使得答：否，如12. 设在线性空间中, 向量是的线性组合, 但不是的线性组合, 证明：答：13若线性相关, 但其中任意三个向量线性无关, 则存在一组全不为零的数, 使得答：16证明：若向量可经向量组线性表示, 则表示法唯一的充要条件是线性无关.证明： 17. 在线性空间中, 对于给定的一个向量组, 如何判断它是否是的一组基向量. 如果已知dimV=n,又如何判断是否是的一组基向量. 什么是有限维线性空间的维数?答：18. 求下列线性空间的维数及其一组基(向量)：(1) 全体二元复数向量在复数域上构成的线性空间.答：2; (1,0), (0,1)(3) 全体二元复数向量在实数域上构成的线性空间.答：4; (1,0), (0,1)，(i,0); (0,i)21 已知是线性空间的一组基向量, 如何求中任一向量关于这一基的坐标？解23.已知的两组基为：, 其中 试求一个非零向量, 使关于这两组基有相同的坐标, 并求这个关于基的坐标, 其中 解：24. 证明：是的一组基, 并求关于这组基的坐标.解：26.求下列子空间的交与和的维数及其一组基：解加题。求 ,并将基扩充为R4的基.解：解空间=L(-a1,1,0,0)T,(-a2,0,1,0)T,(-a3,0,0,1)T); dimW=3; 添加e4=(1,0,0,0).28.设是线性空间V的两个子空间, ,证明：(1) (2) 证明：29设W是的k维子空间(0kn), 如何求W的补空间V.解： 把的W基a1, ak扩大为的基a1, ak,ak+1, an则L(ak+1, an)是W的补空间32. 求与向量a1=都正交的单位向量.解法1：设所求向量为a=(x1, ,x4), 由(a,ai)=0(i=1,2,3,4),解非常组得a=(-4,0,-1,3);单位化得a0=(-4,0,-1,3)/26。解法2：取a使a1，a2，a3，a线性无关，再正交化，单位化得a035., 定义：(其中), 问：满足什么条件时,是上的一个内积.解：由(a,b)=(b,a),得b=c; 由(a,a)=38.求齐次线性方程组的解空间S的正交补S解：设a1=(2,1,3,-1)T,a2=(3,2,0,-2 ) T,a3=(3,1,9,-1) T,则S=L(a1,a2,a3)=L(a1,a2).39. 设W是的非平凡子空间, , 证明：使, 且解： 40.设是n维欧氏空间V的一组单位正交基, 证明：(1) 如果且, 则(2) 如果且, 均有则解：41.设是n维欧氏空间中的一个固定的非零向量, 证明：(1) 是V的一个子空间.(2)证明：(1)a1,a2W, (a1+a2, x)=0. a1+a2W; kR, kaW.是V的一个子空间.(2) 将x扩充为V的正交基x，a1，an-1,则W=L(a1，an-1).补 充 题1 设E是域F的一个子域.(1) 证明：F关于自身的加法和乘法, 构成一个E上的向量空间, 并举一例.(2) 举例说明, E不必是F上的向量空间.(3) 证明：若V是F上的一个向量空间, 则V也是E上的一个向量空间.证明：取F=R, E=Q(或F=C, E=R). F(E)对加法，乘法封闭，满足加乘运算率，是线性空间。E(F)不是线性空间（乘法不封闭）如R(Q)是线性空间;Q(R)不是线性空间.V(F)是线性空间,则V(E)也是线性空间,因为V(E)对V(F)的加法，数乘封闭，满足加乘运算率。2 设V是一个线性空间, W是V的子集. 证明：W是V的子空间证“”若W的基为“”L(W)=W 中元素对加法数乘封闭，是线性空间,是V的子空间.3. 设是线性空间V的两个子集,证明： 并在中分别举出两个例子, 使得上式中等号成立和等号不成立.证明: 4证明：若中的向量满足 则a,b是R2的一组单位正交基证明：(a,b)=0, |a|=|b|=1, a,b是R2的一组单位正交基.5. 设是的一组基, 又 证明：是的基证明： 6. 设向量组线性无关, 证明：在向量组中至多有一个向量可被其前面的i个向量线性表示.证明：若线性无关，没有ai可被其余向量线性表示；若线性无关（b0），而线性相关，则若存在7. 证明：(其中)线性相关存在一个, 使得可以由线性表示, 且表示法唯一.证明：8. 设是线性空间V的两个非平凡子空间, 证明： 使和同时成立，并在中举一例。