2018-2019第一学期海淀高三期中练习数学文科.doc

海淀区高三年级第一学期期中练习 数 学（文科） 2018.11 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合，若，则的取值范围为( )（A） （B） （C） （D） 2.下列函数中，是奇函数且在上存在最小值的是( )（A） （B） （C） （D）3.函数满足，则的值是( )（A） （B） （C） （D） 4.已知平面向量，则向量的夹角大小为( )（A） （B） （C） （D）5.已知函数的图象都经过点，则的值为 ( )（A） （B） （C） （D）6.在中，“”是“”的( )（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件7.数列的通项公式为，若数列单调递增，则实数的取值范围是( ) （A） （B） （C） （D） 8.已知向量满足，且，则，中最小的值是( ) （A） （B） （C） （D）不能确定的二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9. 角终边经过点，则 10. 等差数列中，则中为正数的项的个数为11. 已知，是不共线的两个向量，则12. 函数在上的最大值为13. 能说明“若存在，使得，则不是偶函数”为假命题的一个函数是_.14. 已知函数 （i）当时，函数的值域是 （ii）若函数的图象与直线只有一个公共点，则实数的取值范围是三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15. （本小题满分13分）已知函数.（）求的值；（）求函数的单调递增区间.16.（本小题满分13分）设为等比数列，其前项和为，且，.() 求的通项公式；() 若，求的最小值.17. （本小题满分13分）如图，在四边形中，.（）求的值；（）若是的角平分线，求的长. 18. （本小题满分14分）已知函数.() 当时，求函数的单调区间；() 求证：直线是曲线的切线；（）写出的一个值，使得函数有三个不同的零点（只需直接写出数值）. 19.（本小题满分13分）已知数列的前项为，且.（）求的值；（）求证：. 20.（本小题满分14分）已知函数.（）求函数的极值；（）求证：当时，存在，使得.海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案 数 学 （文科） 2018.11 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. C 2.D 3.A 4.B 5.D 6.A 7.C 8.A 二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 3 4 - 10.3 11. 1 2 12. 2 13. 2 ( ) 1 f x x=- 14. , 0,1 R 说明: 第 13 题答案不唯一 , 第 14 题第一空 3 分，第二空 2 分 三、解答题: 本大题共 6 小题，共 80 分. 15解：（）cos0 (0) 1 cos0 sin0 f = - .3 分 （）因为cos sin 0 xx -, 所以4xkpp +，即定义域为 | , 4 x x k k + Z .4 分 cos()cos sin xfxxx=- 2 cos sin cos sin xx xx -=-22 .6 分 cos sin xx =+ 2sin( + ) 4 x= .8 分 令 2 2 2 4 2 k x k - + + .10分 得3 2 2 44 k x k - + ，kZ .12 分 因为4xkpp +，kZ 所以函数 () fx的单调递增区间为 3 (2 ,2 ) 44 kk -+ ，kZ .13 分 文科答案 2 / 6 16.解：（）设 na 的公比为q 因为Sa -= 21 30 ， 所以 21 20 aa -= .1 分 所以 2 12aqa = .3 分 又a = 2 2， 所以 1 1 a = .4 分 所以 11 1 2 nn n a a q - = .6 分 （）因为 1(1 )211nnnaqSq- = = - - .10 分 所以 11 2 1 2 3 2 1 n n n nn Sa - + = - + = - .11 分 由 1 3 2 1 48 n- - ，得 1 3 2 49 n- ，即 14923 n- 解得 6 n , 所以n的最小值为6. .13 分 17. 解： （）在 ABC D 中，由余弦定理2 2 2cos2 a c bBac +- = .2 分 把 4, 5, 7 AB BC AC =代入 可得2 2 2 4 5 7 1cos2 4 5 5B+- = =- .4 分 因为 BD +=，所以 1 cos cos( ) cos 5 D B B = - =- = .6 分 （）法一： 在 ABC D 中，由余弦定理，可得 16 49 25 5 cos 2 4 7 7 BAC +- = = .8 分 所以26sin7BAC =， 因为 C A 是 DAB 的角平分线，所以 DAC BAC = 所以26sin7DAC = .9 分 因为0, D p 所以由（）可得 26 sin 5 D= . 在 ADC D 中，由正弦定理sin sin DC AC DAC D = .11 分 可得sin5.sin AC DACDCD = .13 分 文科答案 3 / 6 法二： 因为 C A 是 DAB 的角平分线，所以 DAC BAC = 根据正弦定理， 在 ABC D 中，有sin sin BC AC BAC B = .8 分 在 ADC D 中，sin sin DC AC DAC D = .10 分 因为sin sin BAC DAC = ，且sin sin( ) sin B D D = - = .12 分 所以DC BC = ，所以 5. DC = .13 分 18解：（）函数 ()f x x x ax = + + - 32 1的定义域为( , ) - + 当a =-1时， ()f x x x x = + - - 32 1 所以 ( )f x x x = + - 2 3 2 1 .2 分 令 ( ) fx=0, 得 ,xx =- = 12113 .3 分 当 x变化时， ( ) fx， () fx的变化情况如下表: .5 分 所以函数 () fx的单调递增区间为( , ) - -1 ，( , ) + 1 3, 单调递减区间为( , ) - 1 1 3. .7 分 （）因为 ( )f x x x a = + + 2 32 .8 分 令 ( ) f x x x a a = + + = 2 32 ，解得 ,xx = =- 12 2 0 3 .10 分 而 ( ) , f =- 01 曲线 () y f x = 在点( , ( ) f 00处的切线方程为 () y a x + = - 10， 即 y ax=-1， 所以无论a 为何值，直线 y ax=-1都是曲线 () y f x = 在点( , ( ) f 00处的切线 .12 分 （）取a 的值为-2. .14 分 这里a 的值不唯一，只要取a 的值小于-1 即可. x ( , ) - -1 -1 ( , ) - 1 1 3 1 3 ( , ) +1 3 ( ) fx + 0 - 0 + () fx 极大值 极小值 文科答案 4 / 6 19. 解：（）因为 2 ( 1)n n Sn = + - ，所以110aS= 2 2 1 5 a S S = - = ，3 3 2 3 a S S = - = .3 分 （）法一：因为 2 ( 1)n n Sn = + - 当 2 n 时，因为1 2 1 2( 1)nn n na S S n- = - = - + - .5 分 当n为偶数时， nan =+ 21 .7 分 当n为奇数时， nan =- 23 .9 分 当n为奇数，且n 3时， nan =- 23， () n a n n - = - + = - 1 2 1 1 2 1 所以此时 nn aa- 1， .11 分 所以aa 32, aa 54 , nn aa + 2 1 2 所以 nn a a a a a a + + + + + 3 5 2 1 2 4 2 .12 分 又 1 0 a = ，所以nn a a a a a a a a + + + 2120，所以 nn a a a a a a a a + + + 时， x变化时， ( ) fx， () fx的变化情况如下表: .5 分 所以函数 () fx在 1 x m = 处取得极小值 1 ln ()mfmm = .6 分 当 0 m 时，由（）可知， () fx的最小值是 1 ln ()mfmm = ， 所以“存在 x0 ，使得 0( ) 1 fx ”等价于“ 1( ) 1 f m .11 分 则11 (