一元一次方程知识点总结和例题讲解及练习题.doc

第六章 一元一次方程知识点汇总（一）、方程的有关概念1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程. 例如： 1700+50x=1800， 2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程. （例1）3方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解. （例2）注： 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程. 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.（二）、等式的性质等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.等式的性质(1)用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc 等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等， 等式的性质(2)用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c0)，那么=（三）、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项（例3）（四）、去括号法则1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变（五）、解方程的一般步骤（例4）1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2. 去括号(按去括号法则和分配律)3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)4. 合并(把方程化成ax = b (a0)形式)5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=).一列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案 第七章 二元一次方程组一、知识点总结1、二元一次方程：含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是，像这样的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是.2、二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【二元一次方程有无数组解】3、二元一次方程组：含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是，将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组.4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【二元一次方程组解的情况：无解，例如：，；有且只有一组解，例如：；有无数组解，例如：】5、二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法。6、三元一次方程组及其解法：方程组中一共含有三个未知数，含未知数的项的次数都是1，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。解三元一次方程组的关键也是“消元”：三元二元一元7、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步： （1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，； （2）设：找出能够表示题意两个相等关系；并用字母表示其中的两个未知数 （3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； （4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值； （5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.二、典型例题分析例1、若方程是关于的二元一次方程，求、的值.例2、将方程变形，用含有的代数式表示.例3、方程在正整数范围内有哪几组解？例4、若是方程组的解，求的值.例5、已知是关于的二元一次方程，求的值.例6、二元一次方程组的解x，y的值相等，求k例7：（1）用代入消元法解方程组： （2）、用加减法解二元一次方程组： (3)解复杂的二元一次方程组 例8、若关于X,y的二元一次方程组x+y=5k,x-y=9k的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，求k的值。知识点1:二元一次方程及其解1、下列各式是二元一次方程的是（）. 2、 若是关于的二元一次方程的一个（组）解，则的值为（ ） 3、二元一次方程在正整数范围内的解有（ ）.无数个 两个 三个 四个4、已知在方程中，若用含有的代数式表示，则 ，用含有的代数式表示，则 。5、若，则 。知识点2：二元一次方程组及其解1、有下列方程组：（1） （2） （3） （4）其中说法正确的是（ ）只有（）、（3）是二元一次方程组 只有（）、（）是二元一次方程组只有（）是二元一次方程组 只有（）不是二元一次方程组2、下列哪组数是二元一次方程组的解（ ） 3、若方程组有无数组解，则、的值分别为（ ） a=6,b=-1 a=3,b=-24、写出一个以 为解的二元一次方程组 ；写出以为解的一个二元一次方程 .5、已知是二元一次方程组的解，则的值为 。6、如果且那么的值是 .7、若与是同类项，则 知识点3 二元一次方程组的解法8、选择适当的方法解方程组 （提高题）1、已知关于的方程组的解满足求式子的值.2、小花在家做家庭作业时，发现练习册上一道解方程组的题目被墨水污染，（ ）表示被污染的内容，她着急地翻开书后面的答案，这道题目的解是，聪明的你能够帮她补上（ ）的内容吗？七年级数学测试题一、选择题：（每题3分，共33分）1下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A3x2y=4z B6xy+9=0 C+4y=6 D4x=2下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A3二元一次方程5a11b=21 （ ） A有且只有一解 B有无数解 C无解 D有且只有两解4方程y=1x与3x+2y=5的公共解是（ ） A5、方程组的解是（ ）A、 B、 C、 D、6、设方程组的解是那么的值分别为（ ）A、 B、 C、 D、7某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（ ）A二、填空题（每题3分，共33分）1若x3m32yn1=5是二元一次方程，则m=_，n=_2若（3x-2y+1）2+=0，则x=_，y=_.3已知的解，则m=_，n=_4、如果是关于的一元一次方程，那么= 。5、班上有男女同学32人，女生人数的一半比男生总数少10人，若设男生人数为x人，女生人数为y人，则可列方程组为 6、如果是同类项，那么 = ，= 。三、用适当的方法解下列方程 四、（本题6分）某厂买进甲、乙两种材料共56吨，用去9860元。若甲种材料每吨190元，乙种材料每吨160元，则两种材料各买多少吨？第八章 一元一次不等式知识点及方法1、不等式的定义： 一般地，用符号“”、“”、“”、“”、“”连接的式子叫做不等式。注意：要弄清不等式和等式的区别：等式有等号，而不等式没有。 常用的不等号有：、。例：判断下列哪些式子是不等式，哪些不是不等式。；。解答：列不等式是数学化与符号化的过程，它与列方程类似，列不等式注意找到问题中不等关系的词，如：“正数(0)”， “负数（0）”， “非正数（0）”， “非负数（0）”，“超过(0)”， “不足（0）”， “至少（0）”， “至多（0）”，“不大于（0）”， “不小于（0）”除了常见不等式所表示的基本语言与含义还有：若ab0，则a大于b ；若ab0，则a小于b ；若ab0，则a不小于b ；若ab0，则a不大于b ；若ab0或，则a、b同号；若ab0或，则a、b异号。不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：ab可转换为ba，cd可转换为dc。例：规定一种新的运算：，比如：，请你比较： ， 。（填不等号）练习：1、用不等式表示： a是正数： ； x的平方是非负数： ； a不大于b： ； x的3倍与2的差是负数： ； 长方形的长为x cm，宽为10cm，其面积不小于200cm2： 。 2、试判断与的大小。 。 3、如果，则的从打到小的排序是： 。2、不等式的基本性质：等式的基本性质不等式的基本性质一般形式两边同时加上（或减去）同一个代数式所得结果仍是等式。性质1：两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。若，则两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数）所得结果仍是等式。性质2：两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。若，则性质3：两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。若，则为了更好的理解新旧知识之间的异同，便以表格形式将二者进行比较。比如：不等式的解集是，一定会有。练习： 用最确切的不等号填空：若3x，则x 3；若-2x，则0 x+2；若2a8，则a 4；若xy，则m2 x m2 y。关于x的一元一次方程4x-2m+1=5x-8的解是负数，则m的取值范围是 。如果，那么下列结论中错误的是（ ） AB. C. D.3、不等式的解和不等式的解集的定义：能使不等式成立的未知数的值（一个或几个），叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。注意：不等式的解集，包含两方面的含义：未知数取解集中的任何一个值时，不等式都成立。未知数取解集外的任何一个值时，不等式都不成立。求不等式的解集的过程叫做解不等式。不等式的解集可在数轴上直观表示。注意：用数轴表示不等式的解，应记住规律：大于向右画，小于向左画，有等号(、)画实心点，无等号(、)画空心圈。例如：不等式x5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示，在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈，表示5不在这个解集内。不等式x51的解集x4可以用数轴上表示4的点及其左边部分来表示，在数轴上表示4的点的位置画实心圆点，表示4在这个解集内。 例1：求不等式中字母的取值（实质仍是解不等式）关于不等式的解集如图所示，的值是（ ）A、0 B、2 C、2 D、4例2：不等式的正整数解有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个练习：解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。； 填空题：大于0且小于的整数是 ； ，则x的最小整数是 。不等式的解集在数轴上表示为（）。 3210321032103210A. B C D4、一元一次不等式的定义和解法：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式。其标准形式：ax+b0或ax+b0，ax+b0或ax+b0(a0)解一元一次不等式的一般步骤： 例： 解：去分母，得： 去括号，得： 移 项，得： 合并同类项，得： 系数化为1， 得： 根据实际问题列不等式并求解，主要有以下环节：（这个知识点我们招工不会考请大家放心哦！）审题，找出不等关系；设未知数；列出不等式；求出不等式的解集；找出符合题意的值；作答。练习：解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。； 5、一元一次不等式与一次函数利用函数图象求解不等式，通过直接观察图象，得到不等式的解集，并用解不等式方法加以验证；借助于函数关系建立不等式，即先建立函数模型，再建立不等式模型。解一元一次不等式与解一元一次方程的区别从表达含义来看：一元一次不等式表示的是不等关系，一元一次方程表示的是相等关系。从解法来看：解法的5个步骤相同，但是“去分母”“系数化为1”时，如果不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数时，不等号方向改变。从解的情况来看：不等式有无数个解，而一元一次方程只有唯一解。一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的互相转化作用令一次函数y=kx+b(k0)中的y=0，即可得一元一次方程，将一元一次方程中的等号改为不等号，一元一次方程则转化为一元一次不等式例：一次函数中，x为何值时，。练习：已知函数，求当x为何值时，。6、一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组。一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。一元一次不等式组的解法：先解出各个不等式的解集，然后再找出它们的公共部分。可以利用数轴来找。一元一次不等式组解集图示语言表达（）同大取大（）同小取小（）大小小大中间取（）无解大大小小无解答例1：解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来例2：求不等式组中字母的取值已知不等式组无解，则的取值范围是记住：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了！练习：1、解下列不等式组（1） （2）二、常见题型1、解不等式并在数轴上表示解集例1：解不等式并把它的解集在数轴上表示出来。2、求与不等式有关的特殊值例2：求不等式的非负整数解 例3：已知关于x的方程的解是非负数，求m的取值范围。3、函数的大小比较例4：已知，当x取何值时，y1y2？4、求范围例5、点A（m4，12m）在第三象限，则m的取值范围是（ ）A B C D5、解不等式组 例6：解不等式组6、解连不等式例7：解不等式357、方程组与不等式组综合 例8：已知关于x、y的方程组的解满足x1，求整数a的值。 一元一次不等式(组)课堂同步练习题 一.填空题 1、关于x的方程的解为正实数，则k的取值范围是 。2、如果不等式组的解集是，那么的值为 3、关于x的不等式组的解集是，则m = 4、若不等式组的解集是，则 5、不等式组的整数解