高三数学第一轮复习课件-双曲线.ppt

要点梳理1 双曲线的概念平面内动点M与两个定点F1 F2 F1F2 2c 0 的距离之差的绝对值为常数2a 2a 2c 则点M的轨迹叫 这两个定点叫双曲线的 两焦点间的距离叫 集合P M MF1 MF2 2a F1F2 2c 其中a c为常数且a 0 c 0 双曲线 基础知识自主学习 双曲线 焦距 1 当时 P点的轨迹是 2 当时 P点的轨迹是 3 当时 P点不存在 a c a c a c 焦点 双曲线 两条射线 2 双曲线的标准方程和几何性质 大开口大 3 图解双曲线的几何性质 o A1 A2 B1 B2 F1 F2 x y a b c b 2 c2 a2 b2 3 焦点到渐近线的距离是b 基础自测1 双曲线方程 那么K的范围是 A K 5B 2 K 5C 2 K 2D 2 K 2或K 5解析由题意知 K 2 5 K 0 解得 2 K 2或K 5 D 题型一双曲线的定义 例1 已知动圆M与圆C1 x 4 2 y2 2外切 与圆C2 x 4 2 y2 2内切 求动圆圆心M的轨迹方程 利用两圆内 外切的充要条件找出M点满足的几何条件 结合双曲线定义求解 思维启迪 题型分类深度剖析 解设动圆M的半径为r 则由已知 MC1 r MC2 r MC1 MC2 2 又C1 4 0 C2 4 0 C1C2 8 2 C1C2 根据双曲线定义知 点M的轨迹是以C1 4 0 C2 4 0 为焦点的双曲线的右支 a c 4 b2 c2 a2 14 点M的轨迹方程是 1 x 探究提高求曲线的轨迹方程时 应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型 从而再用待定系数法求出轨迹的方程 这样可以减少运算量 提高解题速度与质量 在运用双曲线的定义时 应特别注意定义中的条件 差的绝对值 弄清所求轨迹是整条双曲线 还是双曲线的一支 若是一支 是哪一支 以确保轨迹的纯粹性和完备性 例2 根据下列条件 求双曲线方程 1 与双曲线有共同渐近线 且过点 2 与双曲线有公共焦点 且过点 思维点拨 利用共渐近线的双曲线系方程解题简捷明了 要善于选择恰当的方程模型 题型二双曲线的标准方程 练习 已知双曲线的渐近线方程为2x 3y 0 1 若双曲线经过P 2 求双曲线方程 2 若双曲线的焦距是2 求双曲线方程 3 若双曲线顶点间的距离是6 求双曲线方程 用定义法或待定系数法求方程 解方法一由双曲线的渐近线方程y x 可设双曲线方程为 思维启迪 1 双曲线过点P 2 故所求双曲线方程为 2 若 0 则a2 9 b2 4 c2 a2 b2 13 由题设2c 2 1 所求双曲线方程为若 0 则a2 4 b2 9 c2 a2 b2 13 由2c 2 1 所求双曲线方程为所求双曲线方程为 3 若 0 则a2 9 由题设2a 6 1 所求双曲线方程为若 0 则a2 4 由题设2a 6 所求双曲线方程为故所求双曲线方程为 方法二 1 由双曲线渐近线的方程y x 可设双曲线方程为 mn 0 双曲线过点P 2 m 0 n 0 又渐近线斜率k 故所求双曲线方程为 2 设双曲线方程为 c2 a2 b2 13 a2 b2 由渐近线斜率得 所求双曲线方程为 3 由 2 所设方程故所求双曲线方程为 探究提高待定系数法是求曲线方程最常用的方法之一 1 与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可表示为 2 若双曲线的渐近线方程是y x 则双曲线的方程可表示为 3 与双曲线共焦点的双曲线方程可表示为 C 3 过双曲线x2 y2 8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上 若 PQ 7 F2是双曲线的右焦点 则 PF2Q的周长是 A 28B 14 8C 14 8D 8解析 PF2 PQ QF2 2a PF1 PQ 2a QF1 4a 2 PQ 8 14 C 4 2009 安徽 下列曲线中离心率为的是 A B C D 解析 e e2 即 故B选项正确 B 5 若m 0 点在双曲线上 则点P到该双曲线左焦点的距离为 解析在双曲线上 且m 0 代入双曲线方程解得m 3 双曲线左焦点F1 3 0 故 PF1 知能迁移1已知点P是双曲线 1上除顶点外的任意一点 F1 F2分别为左 右焦点 c为半焦距 PF1F2的内切圆与F1F2切于点M 则 F1M F2M 解析根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等 F1M F2M PF1 PF2 2a 又 F1M F2M 2c 解得 F1M a c F2M c a 从而 F1M F2M c2 a2 b2 答案b2 题型二双曲线的标准方程 例2 已知双曲线的渐近线方程为2x 3y 0 1 若双曲线经过P 2 求双曲线方程 2 若双曲线的焦距是2 求双曲线方程 3 若双曲线顶点间的距离是6 求双曲线方程 用定义法或待定系数法求方程 解方法一由双曲线的渐近线方程y x 可设双曲线方程为 思维启迪 4 过两个已知点的双曲线的标准方程表示为 5 与椭圆有共同焦点的双曲线方程表示为利用上述结论求关于双曲线的标准方程 可简化解题过程 提高解题速度 知能迁移2根据下列条件 求双曲线的标准方程 1 与双曲线有共同的渐近线 且过点 3 2 2 与双曲线有公共焦点 且过点 3 2 解 1 设所求双曲线方程为将点 3 2 代入得所以双曲线方程为 2 设双曲线方程为由题意易求c 2 又双曲线过点 3 2 又 a2 b2 2 2 a2 12 b2 8 故所求双曲线的方程为 题型三双曲线的性质 例3 中心在原点 焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1 F2 且 F1F2 2 椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4 离心率之比为3 7 1 求这两曲线方程 2 若P为这两曲线的一个交点 求cos F1PF2的值 思维启迪 设椭圆方程为双曲线方程为 解 1 由已知 c 设椭圆长 短半轴长分别为a b 双曲线实半轴 虚半轴长分别为m n 解得a 7 m 3 b 6 n 2 椭圆方程为双曲线方程为 2 不妨设F1 F2分别为左 右焦点 P是第一象限的一个交点 则 PF1 PF2 14 PF1 PF2 6 所以 PF1 10 PF2 4 又 F1F2 2 cos F1PF2 探究提高在研究双曲线的性质时 实半轴 虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容 双曲线的离心率涉及的也比较多 由于e 是一个比值 故只需根据条件得到关于a b c的一个关系式 利用b2 c2 a2消去b 然后变形求e 并且需注意e 1 知能迁移3已知双曲线的方程是16x2 9y2 144 1 求此双曲线的焦点坐标 离心率和渐近线方程 2 设F1和F2是双曲线的左 右焦点 点P在双曲线上 且 PF1 PF2 32 求 F1PF2的大小 解 1 由16x2 9y2 144 得 a 3 b 4 c 5 焦点坐标F1 5 0 F2 5 0 离心率e 渐近线方程为y x 2 PF1 PF2 6 cos F1PF2 F1PF2 90 题型四直线与双曲线的位置关系 例4 12分 已知双曲线C 的右焦点为B 过点B作直线交双曲线C的右支于M N两点 试确定的范围 使 0 其中点O为坐标原点 直线方程与双曲线方程联立 寻找交点坐标的关系 思维启迪 解设M x1 y1 N x2 y2 由已知易求B 1 0 当MN垂直于x轴时 MN的方程为x 1 设M 1 y0 N 1 y0 y0 0 由 0 得y0 1 M 1 1 N 1 1 又M 1 1 N 1 1 在双曲线上 因为0 1 所以4分 当MN不垂直于x轴时 设MN的方程为y k x 1 得 1 k2 x2 2 1 k2x 1 k2 0 8分由题意知 1 k2 0 所以x1 x2 x1x2 于是y1y2 k2 x1 1 x2 1 10分 因为 0 且M N在双曲线右支上 由 知12分 探究提高 1 直线与双曲线的位置关系与直线与椭圆的位置关系有类似的处理方法 但要注意联立后得到的一元二次方程的二次项系数能否为零 2 当涉及直线与双曲线的交点在同一支或两支上时 在消元时要注意消去范围为R的变量 为解决根据一元二次方程两根的正负条件的问题打下基础 知能迁移4双曲线C与椭圆有相同的焦点 直线y x为C的一条渐近线 1 求双曲线C的方程 2 过点P 0 4 的直线l 交双曲线C于A B两点 交x轴于Q点 Q点与C的顶点不重合 当时 求Q点的坐标 解 1 设双曲线方程为由椭圆求得两焦点为 2 0 2 0 对于双曲线C c 2 又为双曲线C的一条渐近线 解得a2 1 b2 3 双曲线C的方程为x2 2 方法一由题意知 如图所示 直线l的斜率k存在且不等于零 设l的方程为 y kx 4 A x1 y1 B x2 y2 则Q 1 A x1 y1 在双曲线C上 16 k2 32 16 0 同理有 16 k2 322 16 0 若16 k2 0 则直线l过顶点 不合题意 16 k2 0 1 2是二次方程 16 k2 x2 32x 16 0的两根 1 2 k2 4 此时 0 k 2 所求Q的坐标为 2 0 方法二由题意知直线l的斜率k存在且不等于零 设l的方程 y kx 4 A x1 y1 B x2 y2 则Q 1 即2k2x1x2 5k x1 x2 8 0 又消去y得 3 k2 x2 8kx 19 0 当3 k2 0时 则直线l与双曲线的渐近线平行 不合题意 3 k2 0 由根与系数的关系有代入 式得k2 4 k 2 所求Q点的坐标为 2 0 方法与技巧1 两条双曲线的渐近线的交点就是双曲线的中心 2 焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 3 共用渐近线的两条双曲线可能是 共轭双曲线 放大的双曲线 共轭放大或放大后共轭的双曲线 所以与双曲线共用渐近线的双曲线的方程可设为 t 0 思想方法感悟提高 4 已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时 只要令双曲线的标准方程中的 1 为 0 就得到两渐近线方程 即方程就是双曲线的两条渐近线方程 失误与防范1 区分双曲线中的a b c大小关系与椭圆a b c关系 在椭圆中a2 b2 c2 而在双曲线中c2 a2 b2 2 双曲线的离心率大于1 而椭圆的离心率e 0 1 3 双曲线 a 0 b 0 的渐近线方程是y a 0 b 0 的渐近线方程是y 4 若利用弦长公式计算 在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况 5 直线与双曲线交于一点时 不一定相切 例如 当直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交于一点 但不是相切 反之 当直线与双曲线相切时 直线与双曲线仅有一个交点 一 选择题1 双曲线的焦点坐标为 A 1 0 1 0 B 3 0 3 0 C 0 1 0 1 D 0 3 0 3 解析a2 4 b2 5 c2 a2 b2 9 又焦点在y轴上 焦点坐标为 0 3 和 0 3 定时检测 D 2 若双曲线 1的一条渐近线方程为 y 0 则此双曲线的离心率为 A B C D 解析渐近线方程为 y 0 又a2 b2 c2 从而即e B D 4 2009 全国 设双曲线 a 0 b 0 的渐近线与抛物线y x2 1相切 则该双曲线的离心率等于 A B 2C D 解析双曲线的渐近线方程为因为y x2 1与渐近线相切 故x2 1 x 0只有一个实根 4 0 e C 5 2009 四川 已知双曲线 b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 其一条渐近线方程为y x 点P y0 在该双曲线上 则 A 12B 2C 0D 4解析 渐近线方程为y x b2 2 又P y0 在双曲线上 y 1 又 F1 2 0 F2 2 0 2 y0 2 y0 3 4 y 0 C 6 已知点F是双曲线 1 a 0 b 0 的左焦点 点E是该双曲线的右顶点 过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A B两点 若 ABE是直角三角形 则该双曲线的离心率是 A B 2C 1 D 2 解析将x c代入双曲线方程得y 由 ABE是直角三角形得 a c 即a2 ac b2 c2 a2 整理得c2 ac 2a2 0 e2 e 2 0 解得e 2 e 1舍去 B 二 填空题7 2009 湖南 过双曲线C a 0 b 0 的一个焦点作圆x2 y2 a2的两条切线 切点分别为A B 若 AOB 120 O是坐标原点 则双曲线C的离心率为 解析如图 由题知OA AF OB BF且 AOB 120 AOF 60 又OA a OF c cos60 2 2 8 P为双曲线x2 1右支上一点 M N分别是圆 x 4 2 y2 4和 x 4 2 y2 1上的点 则 PM PN 的最大值为 解析已知两圆圆心 4 0 和 4 0 记为F1和F2 恰为双曲线x2 1的两焦点 当 PM 最大 PN 最小时 PM PN 最大 PM 最大值为P到圆心F1的距离 PF1 与圆F1半径之和 同样 PN 最小 PF2 1 从而 PM PN PF1 2 PF2 1 PF1 PF2 3 2a 3 5 5 9 2009 辽宁 已知F是双曲线 1的左焦点 A 1 4 P是双曲线右支上的动点 则 PF PA 的最小值为 解析设右焦点为F 由题可知F 坐标为 4 0 根据双曲线的定义 PF PF 4 PF PA 4 PF PA 要使 PF PA 最小 只需 PF PA 最小即可 PF PA 最小需P F A三点共线 最小值即4 F A 4 4 5 9 9 三 解答题10 已知 AOB的顶点A在射线l1 y x x 0 上 A B两点关于x轴对称 O为坐标原点 且线段AB上有一点M满足 AM MB 3 当点A在l1上移动时 记点M的轨迹为W 求轨迹W的方程 解因为A B两点关于x轴对称 所以AB边所在的直线与y轴平行 设M x y 由题意 得A x x B x x 所以 AM x y MB y x 因为 AM MB 3 所以 x y y x 3 即x2 1 所以点M的轨迹W的方程为x2 1 x 0 11 已知离心率为的椭圆的中心在原点 焦点在x轴上 双曲线以椭圆的长轴为实轴 短轴为虚轴 且焦距为2 1 求椭圆及双曲线的方程 2 设椭圆的左 右顶点分别为