立体几何的证明方法汇总word版.doc

保定 韩爱民 qq867291003 134834541451两线平行的证明方法内 容图 形数 学 语 言定义在同一平面内没有公共点的两条直线叫平行直线初中知识在确定为平面图形的前提下，利用相似三角形或平行四边形或中位线推证平行（中位线是常用知识点）公理4平行于同一直线的两条直线互相平行=acabbc线面平行的性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。aabl两面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 线面垂直的性质垂直于同一平面的两条直线平行2线面平行的证明方法内 容图 形数 学 语 言定义若一条直线和一个平面没有公共点，则它们平行线面平行的判定若平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，则它与这个平面平行两面平行的性质若两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线平行于另一个平面3两面平行的证明方法内 容图 形数 学 语 言定义若两个平面无公共点，则这两个平面互相平行两面平行的判定若一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行两面平行的判定平行于同一平面的两个平面平行线面垂直的性质垂直于同一条直线的两个平面平行4两线垂直的证明方法内 容图 形数 学 语 言定义若两条直线所成角为90，则这两条直线互相垂直线面垂直的定义如果一条直线a与一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面三垂线定理：如果平面内的一条直线垂直于平面的斜线在平面内的射影，则这条直线垂直于斜线三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线垂直于平面的斜线，则这条直线垂直于斜线在平面内的射影两线平行的性质两直线平行，其中一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于这条直线=acabbc6两面垂直的证明方法内 容图 形数 学 语 言定义若二面角的平面角为90度，则这两个平面垂直ab两面垂直的判定如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 aba5线面垂直的证明方法内 容图 形数 学 语 言定义一条直线与一个平面内的任一直线垂直线面垂直的判定若一条直线垂直平面内两条相交直线，则这条直线垂直这个平面。两面垂直的性质两平面垂直，其中一个平面内的一条直线垂直于它们的交线，则这条直线垂直于另一个平面abla两面平行的性质两平面平行，有一条直线垂直于垂直于其中一个平面，则这条直线垂直于另一个平面两线平行的性质两直线平行，其中一条直线垂直于这个平面，则另一条直线也垂直于这个平面7、空间平行、垂直之间的转化与联系：平面与平面平行直线与直线平行直线与平面平行应用判定定理时，注意由“低维”到“高维”： “线线平行”“线面平行”“面面平行”；应用性质定理时，注意由“高维”到“低维”： “面面平行”“线面平行”“线线平行”平面与平面垂直直线与直线垂直直线与平面垂直(1)利用判定定理时，由“低维”到“高维”；利用性质定理或定义时，由“高维”到“低维”；(2)线面垂直是核心，联系线线垂直，面面垂直，线线垂直是基础习题讲解例1已知直线a和平面，那么a的一个充分条件是()A存在一条直线b，ab，b B存在一条直线b，ab，bC存在一个平面，a， D存在一个平面，a，答案：C解析：选项A中，若ab，b可能有a，如图，所以A不正确；选项B中，若ab，b可能有a，如图，所以B不正确；选项D中，可能有a，如图，所以D不正确故选C.例2设b，c表示两条直线，表示两个平面，则下列命题是真命题的是 ()A若b，c，则bc B若b，bc，则cC若c，则c D若c，c，则答案：D解析：选项A中，如图，b，c，直线b与c异面，所以A不正确；选项B中，如图，直线c可能在平面内，所以B不正确；选项C中，如图，直线c可能在平面内，所以C不正确故选D.例3已知直线l平面，直线m平面，下面有三个命题lm；lm；lm.则真命题的个数为()A0B1C2D3答案：C解析：正确；不正确，如图，直线l与m可能异面；正确，是面与面垂直的判定定理故选C.例4一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面的距离相等，那么直线l与平面的位置关系是()AlBl Cl与相交但不垂直 Dl或l答案：D解析：l时，直线l上任意点到的距离都相等；l时，直线l上的所有点与距离都是0；l时，直线l上只能有两点到距离相等；l与斜交时，也只能有两点到距离相等例5已知a，b是异面直线，a平面M，b平面N，则平面M，N的位置关系是()A相交 B平行 C垂直 D不能确定答案：A解析：如果MN，则必有ab，故平面M，N必相交，故应选A.例6下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得到AB平面MNP的图形的序号是()A.、 B、C、 D、答案：C解析：如图中，连结AC，则平面ACB平面MNP，又AB面ACB，AB面MNP；如图中，平面ACD平面MNP，又AB与面ACD相交，所以AB与面MNP也相交；如图中，因为AB与平面NPCB相交，所以AB与平面MNP相交；如图中，ABCD，CDNP，那么ABNP，AB平面MNP.综上所述，正确答案为、.故选C.例7过三棱柱ABCA1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有_条答案：6解析：如图，过任意两条棱中点的直线与平面ABB1A1平行的直线有：DE、DD1、DE1、D1E1、D1E、EE1共6条例8如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1EC1F，求证：EF平面ABCD.解析：欲证线面平行，需要线线平行（或两面平行），这样就要构建与EF平行的直线（或与ABCD平行的平面），以下分别就两种不同的方向进行证明。证明：解法一：分别过E、F作EMAB于M，FNBC于N，连结MN.BB1平面ABCD，BB1AB，BB1BC，EMBB1，FNBB1，EMFN.又B1EC1F，EMFN，故四边形MNFE是平行四边形，EFMN，又MN在平面ABCD中，所以EF平面ABCD.解法二：过E作EGAB交BB1于G，连结GF，则，B1EC1F，B1AC1B，FGB1C1BC.又EGFGG，ABBCB，平面EFG平面ABCD，而EF平面EFG，EF平面ABCD.所以PB平面EFD.例9如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，点E、F分别是AB、BD的中点求证：(1)直线EF平面ACD；(2)平面EFC平面BCD.解析：证明：(1)在ABD中，E、F分别是AB、BD的中点，所以EFAD.又AD平面ACD，EF平面ACD，直线EF平面ACD.(2)在ABD中，ADBD，EFAD，EFBD.在BCD中，CDCB，F为BD的中点，CFBD.EF平面EFC，CF平面EFC，EF与CF交于点F，BD平面EFC.又BD平面BCD，平面EFC平面BCD.例10如图，三棱柱的所有棱长都相等，且底面，为的中点，与相交于点，连结，（1） 求证：平面；（2）求证：平面。解析：证明：（1）取的中点，连结、，可以证明，故平面. （2）由题意四边形是正方形，则.连结、，易证得，故，又为的中点，故，平面 例11如图所示，四边形为矩形，平面，为上的点，为上的点，且平面 （1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积。解析：（1）证明：平面，平面，则 又平面，则平面 （2）证明：由题意可得是的中点，连接平面，则，而，是中点在中，平面（3）解：平面，而平面，平面是中点，是中点，且， 平面，中， 例12 如图，已知棱柱的底面是菱形，且面，为棱的中点，为线段的中点，（1）求证：面；（2）判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论；（3）求三棱锥的体积.ABCDA1B1C1D1FM解析： （1）证明：连结、交于点，再连结， ，且， 又，故且， 四边形是平行四边形，故，平面。ABCDA1B1C1D1FMOE（2）平面，下面加以证明：在底面菱形中， 又平面，面 ，平面，平面。 （3）过点作，垂足，平面，平面 ，平面，在中，故，。例13 如图，在矩形中，、分别为线段、的中点，平面.（1）求证: 平面；（2）求证:平面平面；（3）若，求三棱锥的体积.解析：（1）证明:在矩形中， 与平行且相等，故四边形为平行四边形.故 ，故平面. （2）证明： 平面，平面， . ，为的中点， . 连结, 四边形为正方形，故. 平面. 平面. 平面平面. （3）解：平面 为三棱锥的高， 所以. 课下训练：（2011年全国高考题汇总，答案略）1下列命题中错误的是A如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面，平面，那么D如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面2若直线不平行于平面，且，则A内的所有直线与异面 B内不存在与平行的直线C内存在唯一的直线与平行 D内的直线与都相交3，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（A），（B），（C），共面（D），共点，共面4如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，OAB, OAC, ODE, ODF都是正三角形.（）证明直线BCEF;（）求棱锥F-OBED的体积.5如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.()求证：平面（）若求与所成角的余弦值；（）当平面与平面垂直时，求的长.6如图，在四面体PABC中，PCAB，PABC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.（）求证：DE平面BCP； （）求证：四边形DEFG为矩形；（）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由. 7如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD中，ABAD，AB+AD=4，CD=，.（I）求证：平面PAB平面PAD；（II）设AB=AP. （i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长； （ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。8如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，（）证明：;（）求与平面所成角的大小9 如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且DAB=60，,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点. (1) 证明：AD 平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B的余弦值.10下图5所示的集合体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的A，A，B，B分别为,的中点，分别为的中点（1）证明：四点共面；（2）设G为A A中点，延长到H，使得证明：11如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.()证明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。12如图，已知正三棱柱-的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且,.(I) 求证：；(II) 求二面角的大小。13如图，在圆锥中，已知的直径的中点（I）证明：（II）求二面角的余弦值14、如图，在四棱锥中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF平面PCD；（2） 平面BEF平面PAD15如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角16如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD （I）证明：平面PQC平面DCQ； （II）求二面角QBPC的余弦值17在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB=，平面，EF，.=.（）若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角-的大小18已知是底面边长为1的正四棱柱，高。求： 异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数表示）； 四面体的体积。19 如图，在直三棱柱AB-A1B1C1中 BAC=90，AB=AC=AA1 =1D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1平面BDA(I)求证：CD=C1D：(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；()求点C到平面B1DP的距离20如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1PA1C1，连接AP交棱CC1于D（）求证：PB1平面BDA1；（）求二面角AA1DB的平面角的余弦值；21如图，在三棱柱中， 是正方形的中心，平面，且（）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值