九年级数学上册特殊平行四边形3正方形的性质与判定利用正方形的性质探索线段的数量关系素材.docx

利用正方形的性质探索线段的数量关系正方形是一种特殊的四边形，它里面隐含着许多的线段之间的关系，历年中考题总会出现有关利用正方形的性质探索线段的数量关系问题，求解时只要我们能充分利用正方形的特性，结合图形大胆的探索、归纳、验证即可使问题获解. 例1如图1，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DEAG于点E，BFAG于点F.（1） 求证：DEBF = EF.（2） 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由.（3） 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变.请你在图2中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）.分析：（1）考查正方形的性质及全等三角形的判定及性质，找出图中全等的直角三角形，得两线段的差等于某条线段，（2）利用相似找三角形的性质，然后根据对应边成比例来到处两线段的倍数关系，从而使问题获解.证明：（1） 四边形ABCD 是正方形, BFAG , DEAG DA=AB， BAF + DAE = DAE + ADE = 90 BAF = ADE ABF DAE BF = AE , AF = DE DEBF = AFAE = EF（2）EF = 2FG 理由如下： ABBC , BFAG , AB =2 BG AFB BFG ABG AF = 2BF , BF = 2 FG由（1）知, AE = BF， EF = BF = 2 FG（3） 如图3DE + BF = EF评注：正方形是有一个角是直角的菱形；正方形又是对角线相互垂直的矩形；正方形是中心对称对称图形，也是轴对称图形.正方形的对角线分其四个全等的等腰直角三角形.例2已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG.（1）求证：EG=CG；（2）将图4中BEF绕B点逆时针旋转45，如图5所示，取DF中点G，连接EG，CG.问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.（3）将图4中BEF绕B点旋转任意角度，如图6所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）FBACE图6DFBADCEG 图5FBADCEG图4分析：要猜想EG与CG之间的大小关系，由正方形的图形特征，可以先证CG= FD，进而可以利用G为DF中点的知识或全等三角形的知识即可验证.解：（1）证明：在RtFCD中，G为DF的中点， CG= FD.同理，在RtDEF中，EG= FD. CG=EG.（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG.证法一：连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点.在DAG与DCG中， AD=CD，ADG=CDG，DG=DG， DAGDCG. AG=CG.在DMG与FNG中， DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG， DMGFNG. MG=NG在矩形AENM中，AM=EN.在RtAMG 与RtENG中， AM=EN， MG=NG， AMGENG. AG=EG. EG=CG.（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG.其他的结论还有:EGCG.评注：求