现代控制理论与控制算法ppt课件.ppt

结构振动控制的现代控制理论数学基础与控制算法 2013春季学期研究生结构振动智能控制 1 第1章动态系统及其重要特性 动态系统的数学描述动态系统的稳定性线性定常系统的能控性线性定常系统的能观性线性系统能控性和能观性的对偶关系 2 基本概念 外部描述 传递函数输入 输出描述描述的前提是把系统视为一个 黑箱 不去表征系统的内部结构和内部变量 只是反映外部变量间的因果关系 即输入 输出间的因果关系 表征这种描述的数学方法为传递函数 内部描述 状态方程 输出方程是基于系统内部分析的一类数学模型 它需要有2个数学方程来组成一个是反映系统内部变量组和输入变量组间的因果关系的数学表达式 称状态方程 另一个是表征系统内部变量组及输入变量组和输出变量组间转换关系的数学表达式 称输出方程 3 基本概念 状态变量动力学系统的状态是指能完整地 确定地描述系统的时域行为的最小一组变量 如果给定了t to时刻这组变量值 和t to时输入的时间函数 那么 系统在t to的任何瞬间的行为就完全确定了这组变量称为状态变量状态向量以状态变量为元所组成的向量 称为状态向量 如x1 t x2 t xn t 是系统一组状态变量 则状态向量为状态空间以状态变量x1 x2 xn为坐标轴 组成的n维正交空间称为状态空间状态空间中的每一点都代表了状态变量的唯一的 特定的一组值 4 动态系统的数学描述 动态系统的运动方程描述 无控SDOF SDOF无控结构运动方程 写成向量矩阵形式 激励 SDOF结构 5 动态系统的数学描述 动态系统的运动方程描述 有控SDOF SDOF主动控制结构的运动方程 引入状态向量定义 主动控制结构状态方程 写成向量矩阵形式 激励 SDOF结构 控制器ABS 6 动态系统的数学描述 动态系统的运动方程描述n个自由度的土木工程结构在环境干扰F t 作用下的运动方程可以表示为其中 是结构位移向量 字母上标 表示对时间t求导数 M C和分别是结构质量 阻尼和刚度矩阵是环境干扰是环境干扰位置矩阵 分别是结构初始位移向量和初始速度向量 7 动态系统的数学描述 受控系统的运动方程描述为控制结构的反应 在结构上安装p个控制装置p个控制装置给结构提供的控制力向量为相应的作用位置矩阵为则 受控系统的运动方程为其中 都是独立变量 8 动态系统的数学描述 受控系统的状态方程描述受控系统的运动方程为定义为系统的状态向量则式 1 2 所描述的受控系统可以用如下的状态方程描述其中 9 动态系统的数学描述 系统的输出方程受控系统的状态方程为需要实时量测部分或全部的系统状态量Y t 上式称为系统的输出方程为输出向量称为输出矩阵称为直接传递矩阵 10 动态系统的数学描述 主动控制问题的状态方程描述主动控制的一个重要特征是反馈状态反馈线性反馈 非线性反馈 自适应反馈以及智能反馈线性反馈Gi i 0 1 2 3 是恰当维数的反馈增益矩阵代入受控系统运动微分方程 得主动控制通过改变干扰和结构动力特性控制结构响应 11 动态系统的数学描述 结构主动控制的基本形式 12 动态系统的数学描述 特征值设线性定常系统状态方程为 式中 A为常阵 B为常阵 系统特征值就是其系数矩阵A的特征值 即特征方程的根特征值性质一个n维系统的n n方阵A 有且仅有n个特征值 物理上存在的系统 方阵A为实常阵 其n个特征值或为实数 或为共轭复数对 对系统作非奇异线性变换 其特征值不变 设 为A的一个特征值 若存在某个非零向量V 使AV V则称V为A的属于 的特征向量 注下角标i 13 基本概念 传递函数输入 输出描述 对于多输入多输出线性系统 进行Laplace变换并整理 得 输入到输出的传递函数 对于一线性系统 状态方程系数矩阵形式可能不唯一 通过非奇异线性变换 但是传递函数矩阵是不变的 系统特征值是唯一的 14 动态系统的稳定性 Lyapunov函数直接法间接法主动控制效果显著并且可以根据需要调整 但是其面临的两个实际问题 需要外界能量输入控制系统稳定性 15 一般系统的状态方程可以表示为 一般情况下F为时变的非线性函数 若F不显含时间t 则系统是定常的非线性系统 如果F既不显含t又是Z的线性函数 则系统是定常线性系统 在输入U t 0情况下 若 则Ze为系统的平衡状态 满足平衡方程 注意 对任意系统平衡点未必存在 也未必唯一 动态系统的稳定性 16 零输入情况下 系统的状态方程可以表示为 系统的稳定性根据自由响应是否有界来定义 若系统初始条件 在此初始条件下 若 则系统是Lyapunov稳定的 原点稳定 并且若初始条件与时间无关则系统是一致稳定的 动态系统的稳定性 17 若系统原点稳定 且 则系统在原点是渐进稳定的 只有渐进稳定的结构才是稳定的结构 Lyapunov稳定的结构为临界稳定结构 属于不稳定结构 此外 它们都是系统的局部性质 系统的平衡状态在多大范围内具有稳定性质 如何扩大该范围 系统大范围稳定的必要条件 在求解域内只有一个平衡状态 思考 动态系统的稳定性 18 零输入情况下 线性系统的状态方程可以表示为 系统存在状态转移矩阵 根据矩阵范数性质 系统Lyaponov稳定的充分必要条件是存在正实数s 满足 若下式成立则系统是渐进稳定的 动态系统的稳定性 线性系统的稳定性 19 线性系统的稳定性与系统初始状态无关 其在整个定义域是渐进稳定的 考虑线性定常系统的状态转移矩阵 因此线性定常系统状态转移矩阵的性质决定于系统系数矩阵A的特征值的性质 若全部特征值实部小于0 则 线性定常系统稳定的充要条件 动态系统的稳定性 线性系统 20 Lyapunov直接法或第二法 A M Lyapunov 定义弹簧 质量 阻尼SDOF系统能量 例如 若 则系统渐进稳定 若 则系统Lyapunov稳定 若 则系统不稳定 很难找到统一的能量函数描述系统的能量关系 定义一个正定的标量函数v Z 引出如下稳定性判据 动态系统的稳定性 21 判据1 若存在Lyapunov函数v Z t 使 则系统是Lyapunov稳定的 判据2 若存在Lyapunov函数v Z t 使 则系统是渐进稳定的 判据3 若存在Lyapunov函数v Z t 使且当则系统在整个定义域是渐进稳定的 Lyapunov函数不唯一 即使不能找到一个Lyapunov函数 也不能说明系统是不稳定的 动态系统的稳定性 22 线性定常系统的能控性 系统的能控性能控性是存在于系统输入U t 和系统状态之间的性质 因此 仅涉及系统状态方程的矩阵A B 状态能控 在有限时间区间 t0 t1 内存在U t 使系统由状态Z0转移到状态Z1 则称状态Z0能控 系统完全能控 若系统的任何初始状态都是能控的 则称系统是完全能控的 系统的能控性特点能控性考察的是控制系统状态转移的可能性 因此 能控性与状态的具体量值无关 也不管系统状态转移的轨迹 23 线性定常系统的能控性 系统能控性的判别方法对线性定常系统1 系统矩阵判别法系统能控的充要条件是矩阵的秩为2n 2 系统独立振型判别法略 24 线性定常系统的能观性 系统的能观性背景 实际工程应用中 直接量测系统所有状态信息是不可能的 需要根据量测的少量状态信息 估计系统全部的状态信息 能观性 即能否通过对输出量Y t 的测量 得到系统全部状态Z t 信息 讨论输出量Y t 反映状态量Z t 的能力 与控制作用U t 没有直接关系 可仅考虑齐次状态方程和输出方程数学描述 已知上述系统方程及其在时间区间 t0 t1 的输出Y t 能否唯一地确定系统在初始时刻的状态Z t0 Z0 若能 则称该系统在t0是能观的 若对所有t0和Z0系统能观 则称系统完全能观 简称能观 25 线性定常系统的能观性 系统能观性的判别方法对线性定常系统1 系统矩阵判别法系统能观的充要条件是矩阵的秩为2n 2 系统独立振型判别法略 26 线性系统能控性与能观性的对偶关系 两线性系统互为对偶的定义两个线性系统其中 如果 称两系统是互为对偶的线性系统 1 是一个p维输入m维输出的系统 其对偶系统 2 是一个m维输入p维输出的系统 互为对偶的两个线性系统的输入端和输出端互换 信号传递方向相反 对应的系统矩阵转置 27 线性系统能控性与能观性的对偶关系 线性系统能控性与能观性的对偶关系两个互为对偶的线性系统对偶性原理 互为对偶的两个线性系统 1 2 则 系统 1 的能控性等价于系统 2 的能观性 系统 1 的能观性等价于系统 2 的能控性 上述关系称为对偶性原理 对偶性原理的应用利用上述对偶性关系 可以把一个线性系统的能控性分析得出的结论用于其对偶系统的能观性分析 反之亦可 28 坐标系一致性 两套坐标系 结构模型相对坐标系统层间坐标系统 29 坐标系一致性 两种坐标下系数矩阵A 30 坐标系一致性 两种坐标下位置矩阵B 31 第2章结构振动的主动控制算法 线性定常系统的极点配置线性二次型最优控制线性定常系统的模态控制滑移模态控制 SlidingModeControl SMC 控制算法结构振动控制算例 32 线性定常系统的极点配置 系统的极点即系统矩阵A的特征值分别是系统第j阶自振频率和阻尼比分别反映系统的阻尼特性和频率特性系统的每个特征值分别对应复平面上一个点 系统的动力特性很大程度上决定于系统的极点在复平面上的位置 极点配置利用状态反馈或输出反馈 可以把一个系统的极点移至复平面内的任意位置 这个过程称为系统的极点配置 系统极点配置与干扰无关 讨论如下的线性定常系统 33 线性定常系统的极点配置 状态反馈的系统极点配置对线性定常系统设控制输入为 代入上式得闭环系统的状态方程为则闭环系统的特征值方程为 其中 不是原开环系统的特征值 34 线性定常系统的极点配置 状态反馈的系统极点配置闭环系统的特征值方程可写为矩阵行列式等于零 该矩阵存在零行或零列假设选取的G使得其中 当存在时 1 如果是不同的特征值 那么 在矩阵中 总可以找到2n个线性独立的列 组成可逆方阵 2 相应地 从Ip中选取2n个列向量组成矩阵e ej1 ej2 ej2n 35 线性定常系统的极点配置 状态反馈的系统极点配置例2 1已知求状态反馈增益矩阵G 使闭环系统极点为解 2 计算 36 线性定常系统的极点配置 状态反馈的系统极点配置例2 1 3 对于期望的闭环系统极点 分别有 37 线性定常系统的极点配置 状态反馈的系统极点配置例2 1 4 计算反馈增益矩阵 方法二 选取 38 线性定常系统的极点配置 输出反馈的系统极点配置对线性定常系统设控制输入为 代入上式得闭环系统的状态方程为则闭环系统的特征值方程为 其中 其中 不是原开环系统的特征值 则系统特征值方程可写为 39 线性定常系统的极点配置 输出反馈的系统极点配置闭环系统的特征值方程可写为 设从中找出m列构成一个 m m 的非奇异矩阵 相应地 从Ip中选取m个列向量组成矩阵 40 线性二次型最优控制 基本思想对于线性系统 选取系统状态和控制输入的二次型函数的积分作为性能指标函数寻找最优控制输入U t 使所选取的性能泛函取最小值二次型性能泛函对线性系统其二次型性能泛函为 41 线性二次型最优控制 最优控制问题的数学描述 泛函条件极值问题对二次型性能泛函求U t 优化目标 使得J取最小值min J 约束条件 系统的状态方程 42 线性二次型最优控制 受控系统的稳定性定义Lyapunov函数因为P正定 所以v Z 为正值 而又有和得 43 线性二次型最优控制 受控系统的稳定性对Lyapunov函数由于P和Q是正定的或半正定的 所以为负所以 最优控制下的闭环系统是渐近稳定的即闭环系统的系统矩阵的特征值均具有负实部不管原系统稳定性如何 44 线性二次型最优控制 控制输入对系统特性的影响代入受控系统运动方程 得最优状态反馈控制改变了结构的刚度和阻尼权矩阵Q R的影响规律权矩阵Q R对控制效果和控制力都有显著影响一般 Q越大 受控结构响应越小 控制效果越好R越大 控制输入越小 控制效果越差综合考虑控制目标和控制输入 选取合适的权矩阵 45 线性二次型最优控制 控制算法LQR 全状态反馈C0 I2n 2n B0 02n p D0 02n r LQG 部分状态输出反馈 用Kalman观测器进行状态估计C0 B0和D0根据实际情况不同取不同值 46 线性二次型最优控制 控制算法LQR 全状态反馈LQG 部分状态输出反馈 用Kalman观测器进行状态估计 47 线性二次型最优控制 说明干扰不确定使最优控制不精确土木工程结构在干扰下的控制问题状态方程为此方程求解复杂 且其中的F t 往往是未知的因此 假定F t 0 得到最优控制的近似解实际应用中需要用到状态估计计算最优控制输入U t 时 需用到系统的全部状态信息实时量测系统的全状态信息不经济 也不可行实际应用中 量测系统少量信息 通过观测器估计系统全状态 再计算最优控制输入U t 48 线性定常系统的模态控制 模态控制振型 模态 控制 通过控制少数振型分量来实现对系统反应的控制基础土木结构的动力反应仅以少数振型分量起主要作用 仅考虑这些振型分量影响的动力分析结果有足够的精度实际的土木结构在正常工作状态下是渐近稳定的 即要求非控模态的渐近稳定性形式状态方程的模态控制运动方程的模态控制更方便 物理意义更明确 49 线性定常系统的模态控制 运动方程的模态控制n自由度受控系统运动方程为设系统的无阻尼模态矩阵为 作模态变换式中 将模态变换式代入运动方程 然后左乘 并假定阻尼矩阵C关于模态矩阵正交 则得广义模态坐标运动方程式中 广义矩阵 50 线性定常系统的模态控制 仅考虑nc个广义模态的模态控制仅考虑nc个广义模态坐标 则广义模态坐标运动方程为式中 的前nc列构成的n nc维矩阵是nc p维矩阵计算广义最优控制力 51 线性定常系统的模态控制 仅考虑nc个广义模态的模态控制广义最优控制力由于广义模态坐标向量qc t 是不可量测的量 因此 广义最优控制力无法直接实现 需要转换为用表示的最优控制力U t 其中 的上nc行组成的nc n维矩阵 52 滑移模态控制 滑移模态控制 SlidingModeControl SMC 也称变结构控制 适合在控制过程中系统参数不断变化的主动变刚度和变阻尼控制 可用于线性或非线性结构的控制 基本思路设计一种控制器 使结构的运动趋向滑移面 在该滑移面上结构是稳定的滑移模态控制包括滑移面的确定和控制器的设计两部分 解耦方程 53 结构振动控制算例 本节目的 1 明确各种控制算法设计控制力的步骤 2 说明结构控制系统的反应分析方法 3 明确各种控制算法参数的影响 4 比较各种控制算法的控制效果 系统模型3层剪切型框架结构层质量为层间刚度为结构阻尼矩阵按Rayleigh阻尼确定前两阶振型阻尼比为结构的外干扰为ElCentro NS 1940 地震波 峰值200Gal 54 结构振动控制算例 1 系统矩阵 55 结构振动控制算例 2 受控结构系统运动方程设在结构各层均设主动控制器 则控制力