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第三章 几种常见的概率分布律 1 一 离散型概率分布律二项分布泊松分布 本章内容 二 连续型概率分布律正态分布 三 中心极限定理 2 第一节二项分布 binomialdistribution 一 应用二项分布概率函数的条件 随机试验的每次试验有两种不同的结果 它们互不相容 各自出现的概率恒定 独立地将此随机试验重复n次 在n次试验中 一种结果出现y次的概率可以通过二项分布概率函数计算出来 3 其特点如下 1 每次试验结果 只能是两个互斥的结果之一 A或非A 2 每次试验的条件不变 即每次试验中 结果A发生的概率不变 均为 3 各次试验独立 即一次试验出现什么样的结果与前面已出现的结果无关 4 二 二项分布概率函数表达式 n 试验次数 或样本含量 y 在n次试验中事件A出现的次数 事件A发生的概率 每次试验都是恒定的 1 事件A的对立事件发生的概率p y Y的概率函数 P Y y 5 例 3 1 从雌雄各半的100只动物中做一抽样试验 第一次从这100只动物中随机抽取一只 记下性别后放回 再做第二次抽取 共做了10次抽样 计算抽中3只和3只以下雄性动物的概率 n 10y 3 2 1 0 1 2 解 6 三 服从二项分布的随机变量的特征数 随着样本含量的增加 偏斜度和峭度趋向于0 二项分布逐渐接近于正态分布 平均数 n 方差 2 n 1 7 四 二项分布应用实例 例 3 2 例 3 3 例 3 4 8 例3 4 用棕色正常毛 bbRR 的家兔和黑色短毛 BBrr 兔杂交 杂种F1为黑色正常毛长的家兔 F1雌 雄兔近亲交配 问最少需要多少只F2代的家兔 才能以99 的概率至少得到一只棕色短毛兔 9 解 由题目知 在F2代家兔中棕色短毛兔出现的概率为1 16 非棕色短毛兔出现的概率为15 16 假设最少需要n只F2代家兔 才能以99 的概率至少得到一个棕色短毛兔 结论 最少需要72只F2代家兔才能以99 的概率至少得到一只棕色短毛兔 则在n只F2代家兔中至少出现一只棕色短毛兔的概率为0 99 那么在n只F2代家兔中出现0只棕色短毛兔的概率为0 01 ny 0 1 16 10 第二节泊松分布 Poissondistribution 一 符合泊松分布的条件 在二项分布中 当某事件出现的概率特别小 0 而样本含量又很大 n 且n 时 二项分布就变成泊松分布 泊松分布实际上是二项分布的极限分布 11 二 泊松分布的概率函数 12 三 服从泊松分布的随机变量的特征数 平均数 n 方差 2 13 四 泊松分布的应用 Poisson分布是描述在一定空间 长度 面积和体积 或一定时间间隔内点子散布状况的理想化模型 主要用于描述在单位时间或空间中稀有事件的发生数 例如 1 放射性物质在单位时间内的放射次数 2 在单位容积充分摇匀的水中的细菌数 3 野外单位空间中的某种昆虫数等 14 麦田内平均每10m2有1株杂草 现在要问每100m2麦田中 有0株杂草 1株杂草 2株杂草 的概率是多少 例3 5 解 每100m2麦田中 平均杂草数为 每100m2麦田中 有y株杂草的概率为 15 第三节另外几种离散型概率分布 超几何分布负二项分布 16 第四节正态分布normaldistribution 随机变量数据大部分集中在平均数附近 在平均数两侧呈对称分布 即两头少 中间多 两侧对称 数据的这种分布规律称为正态分布 正态分布密度函数的图像 称为正态曲线 17 一 正态分布的密度函数和分布函数 正态分布的密度函数 总体平均数 总体标准差 以N 2 表示平均数为 标准差为 的正态分布 18 正态分布由参数 和 确定 是位置参数 当 不变时 越大 则曲线沿横轴越向右移动 反之 越小 曲线沿横轴越向左移动 是变异度参数 当 不变时 越大 表示数据越分散 曲线越平坦 越小 表示数据越集中 曲线越陡峭 以N 2 表示平均数为 标准差为 的正态分布 19 2 正态分布的累积分布函数 20 二 标准正态分布 标准正态分布 0 1时的正态分布称为标准正态分布 以N 0 1 表示标准正态分布 standardnormaldistribution 1 概念 21 2 标准正态分布的密度函数 3 标准正态分布的累积分布函数 22 2 当u不论向哪个方向远离0时 e的指数都变成一个绝对值愈来愈大的负数 因此 u 的值都减小 4 标准正态分布特征 1 在u 0时 u 达到最大值0 399 3 曲线在纵坐标轴两侧对称 即 u u 4 曲线在u 1和u 1处有两个拐点 23 5 曲线和X坐标轴所夹的面积等于1 6 正态分布表查出的 u 的值表示随机变量U落入区间 u 的概率 7 累积分布函数图形的特点是围绕点 0 0 5 对称 8 正态分布的偏斜度 1 0 峭度 2 0 24 5 一些重要值 正态分布概率密度曲线在 1 1的区间内占总面积的68 27 在 1 960 1 960的区间内占总面积的95 在 2 576 2 576的区间内占总面积的99 25 三 正态分布表 1 正态分布表 附表2 是根据标准正态分布累积分布函数编制的 全称标准正态分布累积分布函数表 表中数值是由标准正态分布累积分布函数公式计算出来的 2 正态分布表中数值的含义 表示随机变量U的取值落在区间 u 内的概率 3 正态分布表的作用 用它可以查出随机变量落在任一区间内的概率 4 正态分布表的查法 26 5 常用关系式 P 0 U u P U u u 1 2 1 2 u u 1 u 27 5 常用关系式 P U u P U u 2 u 1 2 u 28 5 常用关系式 P u1 U u2 u2 u1 29 利用正态分布表 查u 0 82及u 1 15时的 u 的值 例3 7 解 查正态分布表知 u 0 82时 u 0 20611 u 1 15时 u 0 87493 例3 8 服从标准正态分布的随机变量U的值落在 0 1 21 间的概率是多少 P 0 U u u 1 2 0 88686 0 5 0 38686 解 例3 9 服从标准正态分布的随机变量U的值落在 1 96间的概率是多少 解 P U u 1 2 u 1 0 05000 0 95000 30 6 普通正态分布的标准化 随机变量Y服从N 2 计算Y落在特定区间内的概率很困难 可以先把N 2 转化为标准正态分布 再从正态分布表中查出相应的概率 从而简化计算 u y 此标准化实质上是作了一个坐标轴的平移和尺度变换 普通正态分布标准化的原因 标准化公式 31 已知高粱品种 三尺三 的株高Y服从正态分布N 156 2 4 822 求 Y164cm的概率 Y在152 162cm间的概率 例3 10 解 32 1 正态分布的上侧临界值 正态曲线右侧尾区 面积下所对应的u值u 满足P U u u 称为 的正态分布上侧临界值 2 正态分布的下侧临界值 正态曲线左侧尾区 面积下所对应的u值 u 满足P U u u 称为 的正态分布下侧临界值 四 正态分布的临界值 33 3 正态分布的双侧临界值 将正态曲线下 面积平分到两侧尾区 则每一尾区的曲线下面积只有 2 满足P U u 2 时的u 2称为 正态分布双侧临界值 利用正态分布上侧临界值表 附表3 可以查出某些 的上 下侧及双侧临界值u u 和u 2 34 例某地调查正常成年男子144人 其红细胞数近似服从正态分布 获得均数 标准差 试估计该地成年男子红细胞数的95 参考值范围 解 红细胞过多或过少均属于异常 故此参考值范围应是双侧范围 该指标近似呈正态分布 故可用正态分布法求95 参考值范围的上下限如下 u x 下限为 上限为 35 第五节另外几种连续型概率分布 指数分布 分布 36 若已知总体平